《解三角形的进一步讨论》教学设计

肖奋勇

摘 要 正余弦定理是解三角形的重要工具，是三角函数的重要应用，是在生活及生产实际中有着广泛的应用。

关键词 解三角形;教学设计

中图分类号：G632                                                      文献标识码：A                                      文章编号：1002-7661（2019）13-！！PageNum！！-01

一、教学目标

（一）知识与技能：正余弦定理在解三角形中的应用讨论

（二）过程与方法：讨论总结，讲练结合

（三）情感态度与价值观：体会数学中多角度看问题的思维，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美;使学生获得研究数学问题的规律和方法;培养学生主动学习、合作交流的意识。

二、教学重点与难点

教学重点：正余弦定理的应用

教学难点：判断三角形解的个数

三、教学过程：

（一）课前游戏导入

师：第一组快速回答特殊角的正弦值：在30?，45?，60?，90?，120?，135?，150?中随机选，让学生快速回答;

第二组快速回答特殊角的余弦值：在30?，45?，60?，90?，120?，135?，150?中随机选，让学生快速回;

第三组快速回答特殊角的正弦或余弦值：在30?，45?，60?，90?，120?，135?，150?中随机选，让学生快速回答;

师：大家回忆下三角形中的边角关系：

生：A+B+C=180?

师：（2）边与边之间的关系：

生：a+b>c;a-b

师：（3）边与角之间的关系：

生：大边对大角，正弦定理，余弦定理。

（二）师生互动、探究新知

正弦定理的其他表示形式：

师：从方程的思想看，四个量的方程中可以“知三解一”，从而求出B。

让学生思考以下问题：

在直角三角形ABC中，已知a=3，b=3，A=30°，求角B？

师：sinB等于多少？那么B等于多少？满足题目要求的三角形有几个？

练习1：在三角形ABC中，b=20，A=60°，a=20，求B

师：这两个解都对吗？为什么？怎样才能避免出错呢？

生：解出答案后要记得验证。

师：在上例中，将已知条件改为以下几种情况，再求角B，结果如何？

（1）a=15，b=20，A=60°

（2）a=10，b=20，A=60°

师：思考：已知两边和其中一边所对的角，讨论求三角形的解的情况？

师：判断在下列条件下，三角形解的个数：

（1）.a=20，b=25，A=120   （2）a=20，b=12，A=135°

（3）.a=20，b=25，A=90°  （4）.a=20，b=12，A=90°

师、生：当A为直角或钝角时，分析如上。（无解或一个）

师：随堂练习2、不解三角形，快速判断三角形的个数.

（1）a=5，b=4，A=120°  （2）a=7，b=14，A=30°

（3）a=9，b=10，A=60°  （4）a=6，b=9，A=45°

（5）c=50，b=72，C=135°  （6）a=30，b=30，A=50°

师：课后思考：能否用余弦定理判断三角形解的个数？

例：b=20，A=60°，a=20，求c

师：思考2：利用余弦定理可以判断三角形形状：

例.在△ABC中，已知a=7，b=10，c=5，判断△ABC的形状

师：随堂练习3：一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（ ）

A、1，2，3  B、2，3，4  C、3，4，5  D、4，5，6

師：应用：怎样运用正、余弦定理判断三角形形状？

课堂练习4：已知ΔABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若bcosC+ccosB=asinA，则三角形ABC的形状为（ ）

课堂练习5：设ΔABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若acosA=bcosB，

则三角形ABC的形状为（ ）

随堂练习6：已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边.若a=ccosB且b=csinA，判断△ABC的形状.

师：通过本节课的学习，你对正、余弦定理的内容和作用有什么认识？你有什么收获？

作业：在△ABC中，若（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）·sin（A+B），请判断△ABC的形状。