地震波入射角对地震动特性的影响研究

华 凯，范留明，2，车军鹏

(1.西安理工大学土木建筑工程学院，陕西西安710048；2.西安理工大学陕西省黄土力学与工程重点实验室，陕西西安710048)

在场地地震反应研究中，通常假定场地地层是水平无限大成层介质，将入射地震波简化为从基岩垂直向上传播的体波。事实上，越来越多的研究表明，地震波并非以垂直方式透过基岩入射至近地场，而是以斜入射的方式透过基岩入射至自由表面。特别是对于浅源地震，将地震波入射视为垂直入射与实际不符[1]。按照所研究对象的不同，大致可将地震波斜入射作用下的动力反应问题分为两大类[2]，一类是工程场地或复杂地形的地震反应问题[3-6]，另一类是大型建(构)筑物的地震响应问题[7-10]。无论哪一类问题，地震波的入射角都成为了研究场地地震反应一个不得不考虑的问题。这个问题本质上是一个二维空间问题，地震波垂直入射实际上是地震波斜入射入射角等于0°的一个特殊情况。二维场地反应分析方法主要分为频域和时域两种方法。其中传递矩阵法和刚度矩阵法是频域分析法中典型的两种方法。如果考虑土体本构关系的非线性行为时，就需要使用时域数值分析方法。非线性方法虽然更接近实际，但因其参数选择较为困难，工程应用并不是十分广泛。本文基于以上两种方法存在的问题，提出射线传播理论的场地反应分析方法，该方法原理清晰、计算简捷、适用性强。从研究现状看[11-17]，其他学者采用不同的方法对斜入射地震波作用下的地表响应或地表建筑响应进行了相应研究，研究成果均表明地震波斜入射时地表响应比垂直入射地表响应有所增强。但对于地震动其他特性的研究相对较少。为此，本文以均匀场地为例，在推求得到场地反应理论解的基础上，详细地研究了地震波入射角对地震动幅值大小、持续时间、运动轨迹的影响。

1 斜入射波作用下的场地响应

斜入射地震波作用下的场地振动与垂直入射情况有很大不同，从动力学角度而言，前者较后者复杂得多。为了能够找到一种精确计算场地反应的模型，下面以单层均匀场地为例，假定基岩面为无限大水平面，推求其在斜入射地震波作用下场地反应的理论解。在推导过程中，把场地地层看作为均匀弹性介质，与基岩共同构成双层弹性介质模型；把来自基岩的地震波看作成从无限远处发射的平面波，把沿着不同传播路径到达地面同一点处地震波按照到达时间先后进行叠加运算，形成地震时程，则此地震时程就是斜入射地震波作用下场地振动的理论解。为了解决这一问题，首先应该清楚地震波是如何在场地中传播的。

1.1 地震波的传播路径

按照地震学原理，当地震波传播至弹性界面时，不仅发生反射现象，而且产生波型转换，各类体波的振幅关系由Zoeppritz方程确定。因此，无论是哪一种类型的入射波，场地中必然同时存在P波(纵波)和S波(横波)两种体波，其传播路径遵从Snell定律，据此可以得到P波倾斜入射情况下场地地震波的传播路径(见图1)，采用同样的方法，可以得到S波倾斜入射情况下场地地震波的传播路径。不过，应该特别强调的是，本文所指的S波是SV波，而不是SH波。

图1 地震波在单层场地中的传播Fig.1 Seismic wave propagation in single layer

由图1可见，基岩面(场地地层与基岩的接触面)以及地面都是弹性波阻抗界面，地震波在此处将发生波型转换现象(因基岩中的转换波与计算无关，故未在图上表示出来)。图中，实线表示P波，点划线表示S波，箭头表示传播方向，地震学中称之为地震射线。为了叙述方便，将向上传播的地震波称为上行波，例如，A1B1，A2B2，B1O，B2O，……，这些射线都是向地面方向传播的上行波；O1B1，O2B1，O2B2，……，则是向基岩方向传播的下行波。研究发现，地震波在地层中的传播具有如下特点。

1) 到达地面观测点O的地震波有两种传播路径。其一是入射波透过基岩面后直接到达地面，这些路径仅有A1B1O和A2B2O两条，其地震射线均是上行波。其二是入射波透过基岩面后，经过地面和基岩面反射之后到达地面，这种路径有无限多条，例如，A3B3O1B1O，A6B6O3B2O，A9B9O6B5O3B2O，其地震射线既有上行波，又有下行波。

2) 到达地面观测点O的射线与地面或基岩面的交点数量分布有明显规律性，从右向左，地震射线与地面的交点数量依次分别为3，5，7，…，与基岩面的交点数量依次分别为2，4，6，…。

3) 在场地地层中，同类型的上(下)行波射线彼此平行。由于平面波只有一个入射方向，假定地面与基岩面水平，则按照Snell定律，无论P波或S波，上行波射线互相平行，下行波射线也互相平行。

4) 在场地地层中，同类型波射线长度相等。由2)可知，同类型的上行波或下行波射线与垂直界面方向夹角相等，而场地地层厚度不变，因此根据几何学原理可知，其射线长度必然相等。

1.2 地震波的到达时间

地震波的到达时间是指来自基岩的入射波到达地面某观测点的时间，由传播路径所决定，包括地震波在每条路径上的传播时间和地震波斜入射造成的延迟时间两部分。下面以A1B1O和A2B2O路径为例，说明其计算过程。

1) 传播时间

(1)

式中：h1是场地地层厚度，h2是假定计算面距离基岩面的距离，vs1是场地地层的横波速度，vp2是基岩的纵波速度，θ是来自基岩的地震波的入射角，β是场地地层中横波传播方向与垂线的夹角。

(2)

式中：vp1是场地底层的纵波速度，α是场地地层中横波传播方向与垂线的夹角(见图1)。

2) 延迟时间

正如斜射阳光以不同时间达到地面情况一样，倾斜入射地震波到达基岩面的时间也因其位置不同而不同，由此造成的时差称为延迟时间。由于假定震源位于无限远处，不能确定地震波到达基岩面的绝对时间，因此计算中采用相对延迟时间。

(3)

(4)

据Snell定律，有：

(5)

式中：p是射线参数。

将式(5)分别代入式(3)～(4)，可得：

(6)

(7)

3) 到达时间

地震波到达地面O点的时间等于传播时间与延迟时间之和，据式(3)～(4)及式(6)～(7)可得：

(8)

(9)

为了方便表达，定义：

(10)

(11)

(12)

综合式(8)～(12)，可得到地震波到达O点的时间表达式：

(13)

(14)

表1 传播路径及达到时间(S波)

表2 传播路径及达到时间(P波)

Tab.2 Seismic ray and arrival time (P wave)

序号i传播路径到达时间tip1A2B2Ot0 + tp2A4B4O2B2Ot0 + 2ts+ tp3A5B5O2B2Ot0 + ts+ 2tp4A5B5O3B2Ot0 + ts+ 2tp5A6B6O3B2Ot0 + 3tp6A8B8O5B4O2B2Ot0 + 4ts+ tp7A9B9O5B4O2B2Ot0 + 3ts+ 2tp8A9B9O6B4O2B2Ot0 + 3ts+ 2tp9A10B10O6B4O2B2Ot0 + 2ts+ 3tp10A9B9O6B5O2B2Ot0 + 3ts+ 2tp

1.3 地震场地响应的理论解

1) 传播路径的响应函数

见图1，假定来自基岩的地震波函数为f(t)，则按照某一路径到达地面O点的地震波函数称之为该传播路径的地震波响应函数(简称响应函数)，其表达式为：

(15)

(16)

表3 传播路径及响应振幅(S波)

Tab.3 Seismic ray and source response (S wave)

序号i 传播路径响应振幅Ais1A1B1OTps2A3B3O1B1OTpsRss1Rss23A4B4O1B1OTppRps1Rss24A4B4O2B1OTpsRsp1Rps25A5B5O2B1OTppRpp1Rps26A7B7O4B3O1B1OTpsRss1Rss2Rss1Rss27A8B8O4B3O1B1OTppRps1Rss2Rss1Rss28A8B8O5B3O1B1OTpsRsp1Rps2Rss1Rss29A9B9O5B3O1B1OTppRpp1Rps2Rss1Rss210A8B8O5B4O1B1OTpsRss1Rsp2Rps1Rss2

表4 传播路径及响应振幅(P波)

Tab.4 Seismic ray source response (P wave)

序号i传播路径 响应振幅Aip1A2B2OTpp2A4B4O2B2OTpsRss1Rsp23A5B5O2B2OTppRps1Rsp24A5B5O3B2OTpsRsp1Rpp25A6B6O3B2OTppRpp1Rpp26A8B8O5B4O2B2OTpsRss1Rss2Rss1Rsp27A9B9O5B4O2B2OTppRps1Rss2Rss1Rsp28A9B9O6B4O2B2OTpsRsp1Rps2Rss1Rsp29A10B10O6B4O2B2OTppRpp1Rps2Rss1Rsp210A9B9O6B5O2B2OTpsRss1Rsp2Rps1Rsp2

在获取这些系数后，就可以计算各条传播路径响应函数的振幅。例如i= 3时，S波响应函数所对应的传播路径是A4B4O1B1O，表明入射P波经过基岩面，形成同类型P波，透射系数为Tpp；经过地面反射，形成转换S波，反射系数为Rps1；再经过基岩面反射，最终形成S波后抵达地面，反射系数为Rss2。因此，响应振幅就等于此三个系数的乘积TppRps1Rss2。以此类推，可以计算得到任意一条路径的响应振幅。

2) 场地响应的理论解

(17)

(18)

按照矢量合成方法，可将us，up表示成为水平地震动时程ux和垂直地震动时程uy：

(19)

式中：

(20)

虽然上述推求计算场地响应的理论解的方法是针对倾斜入射P波提出来的，但是同样适用于倾斜入射S波。所不同的是，在应用上述方法计算倾斜入射S波时，为了保证入射S波转换的P波不发生折射现象，入射角θ须满足：

(21)

2 模型算例

2.1 地震场地模型

为了验证上述斜入射场地响应理论解法是否正确，选取文献[16]模型进行验算，以便对比分析。此模型场地土厚度50 m，密度1 000 kg/m3，P波速度346 m/s，S波速度200 m/s；下卧层为半无限空间基岩，密度1 500 kg/m3，P波速度866 m/s，S波速度500 m/s。P波入射角60°，S波入射角30°，地震入射波的计算面位于地下100 m。

2.2 计算结果

采用上述方法编写了计算机程序，并对模型进行了计算。震源波函数采用位移形式，位移时程见图2。时间间隔取0.001 s，地震路径n取65 536 条，计算结果见图3和图4，与文献[16]的理论解非常接近。而且通过对比特征点数值，发现两者误差不超过5%，表明此理论算法是正确可靠的。

图2 入射波位移时程Fig.2 Time history of displacement of incident wave

图3 P波60°角入射时地面位移时程Fig.3 Time history of displacement on ground surface under P wave of 60°angle incidence

3 地震动特性

3.1 地震动的幅值大小

当来自基岩的地震波进入场地地层后，在地面与基岩面之间多次往复传播，使地面振动持时较入射波持时长。由于地面与基岩面的反射系数的绝对值都不大于1，所以地面位移呈现随时间逐渐减少趋势。但是，与垂直入射情况不同的是，无论倾斜入射波是P波还是S波，都会同时形成水平方向和垂直方向的振动(见图3和图4)，其大小与入射角有密切关系。

表5分别列出了P波与S波入射角与最大位移的关系。由于S波大于临界角(35.26°)时会出现折射波，所以入射角大于40°的最大位移值未在表中列出。

表5 最大位移(绝对值)与入射角的关系

Tab.5 Maximum displacement and incident angle

入射角/(°)最大位移(入射P波)水平方向垂直方向最大位移(入射S波)水平方向垂直方向003.1583.1580100.4963.1113.0950.493200.9592.9722.9120.933301.3622.7552.6601.247401.6792.476501.8812.155601.9401.803701.7781.414

由表5可见，除70°入射角外，总体而言，最大水平位移(绝对值)随P波入射角的增大而增大，随S波入射角的增大而减小；最大垂直位移(绝对值)则相反，随P波入射角的增大而减小，随S波入射角的增大而增大。

3.2 地震动的持续时间

位移随时间的变化不仅与地震波型有关，而且还与入射角有密切关系。为此，采用对比地震动持时(持续时间的简称，下同)的方法，研究位移随时间的变化特性。

地震动持时的定义种类较多，本文采用位移相对幅值定义持时[15]，其具体定义是位移绝对值第一次和最后一次达到或超过最大位移绝对值的1%所经历的时间，这一定义方式能够较好地反映位移随时间衰减的快慢程度。

表6分别列出了P波与S波入射角与地震动持时的关系，其中S波大于临界角的持时未在表中列出。表6中虽然存在个别异常情况，例如P波入射角等于20°时的水平及垂直方向的持时、50°时垂直方向的持时。但是，总体上地震动持时随入射角的增大而减小。出现个别异常情况，可能与相对幅值的定义方式有关，由于这种定义方式具有很大的主观性，不能完全涵盖地震动情况。

表6 地震动持时与入射角的关系

3.3 地震动的运动状态

当地震波以倾斜方式入射至场地地层后，由于地层界面及地面对地震波类型转换作用，使场地内同时存在P波与S波两种不同类型的振动，S波所引起的地面振动状态与单一的体波振动有显著差异，下面借用相图分析法进行研究。

相图是相轨线图的简称，反映了系统状态变量随时间变化的动态特性。图5是S波分别以10°，20°和30°入射时引起的地面振动的相图，其中横坐标x为水平位移，纵坐标y为相同时刻的垂直位移，轨线上任一点表示在xoy平面上的运动状态，其箭头表示振动状态随时间变化的先后顺序。

图5 S波入射时地面振动轨迹Fig.5 Movement trajectory on groundsurface under S wave of incidence

由图5可见，地面振动轨迹为复杂旋转曲线，与Rayleigh面波的某些特征有一定程度类似，总体上表现为水平正向位移(x> 0)偏大的旋转运动，相轨线图的形状及其构成的轮廓受入射角影响显著。

1) 当θ= 10°时，相轨线图形呈扁平状，其中在x> 0一侧的轨迹轮廓呈“辣椒形”，最大水平位移与最大垂直位移之比为6.3(见图5(a))，表明在小入射角情况下，转换P波能量很小，垂直方向振动很弱，地面振动以水平振动为主，旋转运动不明显。

2) 当θ= 20°时，相轨线图形在水平方向收缩变短，而在垂直方向拉长变宽。其中，在x> 0一侧的轨迹轮廓接近“尖刀形”，最大水平位移与最大垂直位移之比为3.1(见图5(b))，表明随着入射角增大，转换P波能量增强，引起的垂直方向振动随之增大。地面振动仍然以水平振动为主，但是旋转运动特征增强。

3) 当θ= 30°时，转换P波能量继续增强，引起的垂直方向振动进一步增大，相轨线图的轮廓面积增大明显，最大水平位移与最大垂直位移之比为2.1(见图5(c))。表明当入射角接近临界角时， 虽然地面振动表现为水平偏强、垂直偏弱的特征，但是旋转运动特征却非常显著。

4 结 论

斜入射地震波作用下的场地响应与垂直入射情况不同，前者的动力学问题及动力特性较后者更为复杂。在斜入射地震波作用下，地震入射角与地震动特性关系密切，对地震动的幅值大小、持时、运动状态有显著影响，是有别于垂直入射作用下地震响应的一个重要参数。研究发现，随着入射角的增大，场地地震动特性有如下变化。

1) 入射P波引起的水平位移与入射S波引起的垂直位移通常会增大。

2) 地震动持时变短，尾振(接近于地震结束部分的振动,像小尾巴一样)减小。

3) 水平与垂直方向的振动幅值越来越接近，地震相轨线构成的轮廓面积增大，旋转运动特征愈加明显。

上述结论是入射角小于临界角情况下得到的。当入射角大于临界角时，将出现地震波沿场地地面或地层界面滑行现象。在这种情况下，场地的振动特性与入射角的关系更为复杂，有待进一步研究。