关于空间几何体截面问题的探究

仇善丽

作为高中数学的主干知识之一，立体几何重点研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系.《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，学生学习立体几何的目的是能直观地认识和理解空间点、线、面的位置关系;用数学的语言表达平行、垂直的性质和判定;用直观感知、操作确认、推理认证、度量计算的方法认知和探索空间图形的性质，建立空间观念[1].

空间几何体作为研究立体几何的重要载体，几乎包含了立体几何的所有研究对象，空间几何体截面问题探究也越来越多的出现在高考命题中.然而，目前教学对截面问题重视不够，且教材中对此内容相对较少，教学要求也不明确.为此，加强对截面问题探究，对于发展和提升学生的空间探究能力具有重要的意义，应当引起足够重视.

1 引导独立分析，亲历探究过程

例1 用一个平面截正方体，探究截面的形状.

探究思路 截面是指一个平面与空间几何体相交所得的图形，包括边界及其内部.给出截面图形的分类原则，找到截得这些形状的方法，画出这些截面的示意图.例如，可以按照截面图形的边数进行分类（如图1），结合正方体截面设计一系列的问题，引导学生完成探究、发现、证明新问题的过程，积累空间几何体截面问题的探究经验.

引导学生探讨 如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形？如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？还能截出哪些多边形？

进一步探讨 能否截出五边形？有没有截出边数超过6的多边形？是否存在正六边形的截面？

这是一个有较大跨度的问题串，可以通过许多方法实施探究.例如，可在透明的正方体盒子中注入有颜色的水，观察不同水量、不同摆放位置时液体表面的形状;还可以借助信息技术手段，直观地展示各种可能的截面，并证明哪些形状的截面一定存在或者一定不存在.

学生通过操作观察，形成猜想，证明结论.经历这样逐渐深入的探究过程，有利于培养学生发现问题、分类讨论、作图表达、推理论证等能力，以期达到空间想象能力的再提高， 奠定解决未来问题的基本思想方法.

2 确定思维导向，提升数学素养

本题是2018年高考数学全国卷Ⅰ理科选择题12题，是以最常见的空间几何体——正方体为命题素材，重点考查了高中数学几何直观与逻辑推理、空间想象等核心素养，对学生提出了较高的要求，起到了考卷压轴与把关的作用.

此题对于数学核心素养的考查体现在以下几个方面：一是在获取信息的基础上进一步加工信息，从复杂条件向简单条件转化，将无从下手的问题经转化而精准切入;二是在探究过程中，确定明确的思维指向，确保在每一个思维的关键结点处，确定正确的转折方向;三是在逻辑转化的过程中，能够及时发现问题、提出问题、分析问题，从而进一步解决问题;四是提升知识的构建和应用能力，即在分析和解决问题的过程中，建构知识，并且灵活运用.求解本题核心素养能力和思维路线如下：

（4）数学计算能力素养：计算最大截面面积.

通过分析解题的思维过程可以发现，基本数学素养在分析和解决问题时贯穿始终.数学核心素养的关键是数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象，此题的求解过程中有充分的展示：把“所有棱”转变为“三条棱”，把“三条棱”选在同一个点，再考虑“三条棱”与平面α所成的角相等，结合线面角原理的“数学模型”，得到平面α必与平面AD1B1平行，进而得出面积最大截面.由此重点训练了抽象、逻辑、建模和直观想象能力.

3 结束语

空间几何体截面的探究，首先，要坚持“动手”原则，重视培养“几何画图”的能力，通过对空间位置关系的转化，提高观察力，进而培养学生的直观想象能力.其次，要坚持“思维与能力第一”的原则，在空间几何体的教学中，要注意对思想方法内涵的渗透以及操作程序的强化，持续提升学生运用知识解决问题的能力.第三，要把握数学知识的本质，把握学生认知的规律，提出合适的数学问题.第四，启发学生思考，让学生在思考与交流中理解知识本质，感悟数学思想，积累思维经验，形成和发展数学核心素养.

参考文献

[1] 中華人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017版） [M].北京：人民教育出版社.

[2] 陈良骥.空间几何体[J].中学数学教学参考（上旬），2019（1-2）：112.