基于数学核心素养的概率统计试题命制与分析

张鹄 陈莉 孔峰 郭晓凌 李红春

《普通高中数学课程标准》指出：“数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.这些数学核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体.”同时又指出：“命题应依据学业质量标准和课程内容，注重对学生的数学核心素养的考查.在命题中，选择合适的问题情境是考查数学核心素养的重要载体.”

可见，在新的课程标准指导下，教师不仅要思考如何将学生的数学核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程，更要研究在试题的命制中如何体现对学生的数学核心素养的考查.为此，笔者结合2019年武汉市高三四月调研测试中的一道概率统计题的命制过程，谈谈基于数学核心素养的试题命制问题，旨在与同仁切磋交流.

1 命制过程

考前，市教育科学研究院数学学科命题组召开了全体命题人员会议，确定了试题命制的原则与要求.经过积极的讨论与研究，在概率统计解答题的命制过程中，命题组全体人员认为，最近几年全国Ι卷将概率与统计视为一个有机联系的整体，以当前社会热点应用问题为切入点，紧密联系教材组织试题素材，重点考查学生的数学运算、数据分析、逻辑推理等数学核心素养.因此，作为高考前的最后一次市级大型模拟考试的试题命制，应该积极贯彻落实全国Ι卷的命题精神与特点，引导师生做好后续复习备考.

首先，在试题的命制背景方面，我们主要参考了2018年全国Ι卷理科第4题：

某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下所示饼图：

则下面结论中不正确的是（）.

A.新农村建设后，种植收入减少;

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上;

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍;

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半.

该题以党中央提出的新农村建设工程为背景，引导考生关注社会生活，使学生体会到数学的应用价值，学会用数学知识解决实际问题，同时考查学生的理解能力、读取数表信息能力和数据处理能力.由此可见，此题包含的背景回应了当前社会发展的热点问题，可以作为概率与统计方面的命题切入点.

其次，在试题的知识点考查以及设问方式等方面又参考了2014年全国Ι卷理科第19题：从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

第二小问考查二项分布，以“精准扶贫、不落一人”为背景，旨在提醒考生年收入位于13.432千元～21.368千元之间的概率接近100%，由此可以得出，要顺利解答本题，需要考生平时加强阅读能力和审题能力的训练，2018年全国Ⅰ卷概率统计题之所以能成为考生的压轴题就在于许多考生缺乏这些能力，而若有了这方面的诸多能力就不难分析得出，收入位于13.432千元～21.368千元区间的概率属于大概率事件，又由于每个农民的年收入是否位于该区间相互独立，所以该随机变量服从二项分布，最终得出数学期望.

试题命制出来后，又进行了深入的讨论研究，一致认为最后一小问表述不够简洁和严谨且与全国卷概率统计大题的考查难度还有一定的差距，能否结合后期复习回归教材的要求设计新的合理的设问方式进行考查.最后，在选修2-3第58页阅读材料《服从二项分布的随机变量取何值时概率最大》一文中找到了命题素材.这样就得到了如下的试题：

2 试题解答

十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：

由此可知，在所走访的1000位农民中，最多可能有978人的年收入不少于12.14千元.

3 命题感想

3.1 素材积累，功在平时

俗话说，功夫在诗外.命题也是如此，这次命题让我感觉到要命制一道出色的试题，必须坚持持续的学习与思考，必须注重零星的素材积累与整理.机会总是留给有准备的头脑.如何做到厚积薄发呢？笔者以为，要重视课本例习题的研究、改编、重组;高考真题的收集、整理、归类、研究等.唯有这样方能内化于心，外化于形.

3.2 立足学生，关注发展

著名数学家华罗庚曾说，命题比解题难，命题要测得出水平，测得出能力.这就要求我们命题者要深入思考命题的目的是什么.只有这样，才不会命制出偏題怪题，才能命制出考查学生关键能力与核心素养的好题.因此，命题时一定要心怀学生，立足学生实际，倾听学生心声.即便是命制压轴题，也要站在学生的立场加以考虑，难要合理，新要恰当，不在无关紧要之处设置障碍.

3.3 控制难度，精心磨题

命制一道好的试题就像是在创作一幅艺术作品.艺术作品为什么有强大的感染力，原因在于它能使人易于亲近并感受到它的内在美.命题也是如此，唯有适当降低难度，才能让学生乐于亲近它接受它研究它.所以，命制的题目要尽量控制难度、信息量、阅读量，力求叙述简洁、文字凝练、语言亲切，让学生感受到题目各方面的美，如简约美、对称美、深刻美，让学生在愉悦的状态下积极思考，这也体现了命题者的人文关怀.这些都要求我们命题者要不辞辛劳，精心打磨试题，力求创造出美的试题.这也是我们命题者孜孜不倦的追求.