数学课程内容主线文献综述及反思与展望

赵俣婕 陈碧芬

【摘 要】 在高中数学课标修订过程中，数学课程内容主线逐渐引起了广大教育研究者的关注.目前指向数学课程内容主线的相关研究成果主要集中于内容主线的确定与发展.结合我国内容主线研究的现状，今后的研究要更加重视内容主线的进一步梳理和细化，进一步关注内容主线纵向发展的深度以及确定主线时要關注学生的认知发展和生活经验.

【关键词】 数学课程;内容主线;核心概念;反思与展望

随着全球范围内数学课程改革的推进，一些学者认为中小学数学课程要围绕“Big ideas”来联系和组织，如2010年尤西斯金（Usiskin）[1]提出了数学课程发展的九大主线.并且，教师也必须了解他们所教学科的结构和主线，一方面有助于深刻理解教材，另一方面可以以此作为认知路标来指导学生的作业、评价学生的进步[2].同时，主线成为了数学课程中内容结构的主要方式.美国全国州长协会最佳实践中心（National Governors Association Center for Best Practices， NGA Center）和各州教育长官委员会颁布的《共同核心数学课程标准》（The Common Core State Standards for Mathematics）[3]按照学科分支确定了9-12年级的内容标准.我国重新修订的《普通高中数学课程标准（2017年版）》[4]（以下简称《标准（2017年版）》）采用了“主线—主题—核心内容”的课程内容结构，通过梳理出 “统整”不同数学内容的主线，将数学知识编织在一起形成一个整体，以凸显数学课程的整体性.史宁中[5]认为数学核心素养蕴含于数学逻辑体系之中，因此研究数学内容主线是提升学生数学核心素养的一个抓手.为了能够将数学课程中内容主线更加丰富化，很多研究者在不断地进行主线研究.本文将对这些研究进行概括分析，以期为课标的再一次修订和教学提供参考.

1 数学课程内容主线研究概况

对中国知网上搜索到的与内容主线相关（包括内容主线、发展主线等）的论文进行分析后发现，与数学课程内容主线相关的研究主要涉及以下几个方面：一是“内容（发展）主线”概念的界定.如有5篇硕士论文[6][7][8][9][10]通过与学习进阶/学习路径进行类比来界定“中小学课程内容发展主线（发展主线）”.二是如何确定内容主线.如吴春燕[11]通过阐述函数、运算与数学课程中其他知识的联系确定了函数主线和运算主线.尤西斯金[1]在APEC数学教育大会上的报告中指出了中学数学课程发展的九条主线（如何确定主线的呢？）;赵炯美、鲍建生[12]通过梳理度量的核心概念与思想方法理出了度量这一课程主线;贾光辉[13]通过挖掘运算内容蕴含的核心素养和育人价值确定运算主线;三是如何发展内容主线.如5篇硕士论文通过挖掘主线中蕴含的核心内容和思想方法，并从国际比较的视野出发确定了函数、几何等内容的发展主线;再如李锦涛[14]从概率课程的递进逻辑顺序出发，探索概念内容的发展主线.

纵观上述文献，对于内容主线的研究并不是很多，并且研究的主线相对比较集中;确定主线的主要依据是数学内容在课程中的重要地位、与其他数学知识之间的联系以及其思想方法和育人价值;发展主线的依据是这条主线所蕴含的核心概念及其逻辑顺序.

2 数学课程内容发展主线具体分析

2.1 内容发展主线的内涵

“主线”一词虽然还没有一个统一的界定，但从已有研究看主要是与“学习进阶”进行类比的基础上来进行界定的.但实际上，“学习进阶”一词尚未有统一的定义，目前较为大家认可的是美国国家研究理事会（National Research Council，简称NRC）给出的定义，即在一个较大的时间跨度内，学生对某一学习主题的思考和认识不断丰富和深入的一种过程，是基于大量实证研究的一种可检验的假说[15].可见学习进阶强调的是学生学习某一主题的纵向发展过程.

借鉴学习进阶的定义，冀伟民[6]、邓少博[7]、郑明月[8]、杨洁[9]、邵铭宇[10]五人将发展主线定义为：从小学到高中，某一数学课程主题的核心内容以适合学生学习的方式是如何从简单到复杂、从低水平到高水平，不断发展、深入的过程，并揭示蕴含在这一主题内不断深刻的思想方法和数学能力.可见，发展主线仍与学习进阶不同，前者偏向于对某一主题知识内容的纵向发展过程的刻画，强调的是知识内容在中学阶段的纵向展开方式.

除此之外，王嵘、章建跃[16]在对五国教材进行比较时发现，各国都在围绕着核心概念建立教材的结构体系，建构以核心概念为中心的概念图，包括纵向发展主线和横向联系节点，以形成一个主线明确、联系畅通的网络体系.

可见，对内容主线的关注主要是知识内容的纵向发展，目的是为了呈现出每个学段学生能够接受的内容并且整理出这一内容所蕴含的思想方法， 但同时也有人已经关注到了主线的网络式发展.

2.2 内容发展主线的确定

内容主线是由一些知识内容组合而成的，那么如何确定核心内容（概念）、哪些内容可以以什么样的方式连成主线呢？

2.2.1 确定核心概念的原则

由上述可知，内容主线蕴含数学中的核心概念，我国学者对此给出了确定核心概念的一些原则.如章建跃[17]认为：梳理数学核心概念时，需要考虑这几个问题：首先对数学学科本身而言，是否具有重要性，是否处于主干地位;其次对学生的数学认知结构而言，是否具有重要的，不可或缺的基础地位;最后在数学上是否具有逻辑的连贯性和一致性，在思维上是否与人的思维发展水平相协调，这样分析出的概念和构建的体系才能形成中学数学课程的主干.

所以，数学课程内容主线的核心概念必须在数学课程内容中处于中心地位，其他的数学内容可以围绕它进行展开，同时有利于学生发展适应社会生活所必不可少的数学能力.

2.2.2 主线的发展途径

①纵向发展

数学是站在“巨人的肩膀”上发展起来的，其特点是不断完善和深化概念.根据这一特点，内容主线可以通过纵向发展.如尤西斯金的中学数学课程发展的九条主线是按照上、下位概念逐步展开，从纵向展示学生从小学到高中学习的数学内容顺序.如冀伟民[6]研究函数的发展主线时其主要思路如下：首先，确定中小学课程中函数知识的主要内容;其次，研究学生可以以什么样的顺序学习这些内容，从而来确定函数在基础教育阶段的呈现方式.

②网络发展

由于数学具有整体性和系统性特点，并且核心概念是数学概念体系的中心点，自我生长能力强，可以生成一个“概念群”.因此，有学者认为在研究数学课程内容主线时，可以将核心概念作为数学学科的主干知识，根据其内容的丰富性、联系的广泛性、表现方式的多样性和育人功能的全面性等特点，网络式发展相关数学内容.如章建跃[17]认为核心概念的组织和呈现，既要考虑此概念的发生和形成，还要从整体入手，做到以此概念为中心，形成概念网络的体系和节点.

3 反思与展望

通过以上对已有文献的分析后发现，内容（发展）主线研究已经得到了大家的关注，但是核心内容的展开方式比较单一，内容主线有待细化.因此，我们认为还可以从以下几个方面进一步研究：

3.1 关注网络式的内容主线

在所查到的文献中，大多数研究只关注了核心内容的纵向或横向一个维度.如在5篇硕士论文中，他们对于核心内容的展开方式只考虑了这个核心内容的纵向发展主线，容易使人忽视数学知识是一个连贯的、统一的整体，知识与知识之间有很多联系.比如，在研究向量内容的发展主线时，没有对向量与函数、解析几何、三角等其他属性内容的联系;而吴春燕在梳理主线时主要考虑了函数与其它数学知识的横向联系，忽略了函数的纵向发展脉络.我们认为，合理的发展主线应该既考虑核心内容纵向的联系，又考虑横向联系，建立网状的知识结构.如王嵘、章建跃[16]

在比較五国教材中函数概念的发展主线时发现各国都注重函数内容的联系性，并且联系的方式表现出多样性.

章建跃[18]在分析美国高中数学的“核心概念图”所用的方法对于我们进一步梳理主线有着借鉴作用.首先，选取各领域中的基本知识作为绘制概念图的节点;其次，根据知识的概括性和包容性确定知识的等级，按照从上位到下位逐渐分化的原则对知识进行分层;最后，用线条将相关概念连接起来，这种连接可以是同一领域内的连接，也可以是建立在不同领域的交叉连接.这样的概念图是一个主线明确、联系通道顺畅的网状体系，不同领域的概念图通过一些联系点也能表明相互之间的联系.这样构建起来的课程结构体系能让学生了解知识的发展脉络，体会到数学知识之间的联系，感受数学的整体性，发展学生的数学核心素养.

3.2 进一步细化内容主线

目前，《标准（2017年版）》所确定的四条主线有点宽泛，需要进一步细化这些主线.数学核心概念之所以具有强大的生命力和深刻思想性，原因就在于它是一个拥有“核”的“概念群”，是由核心概念及其生长出的子概念组成的知识体系.因此，可以从核心概念的子概念着手，去探索四大核心概念下的子概念是否也有利于发展学生的数学核心素养，将粗的主线细化成若干个小主线.我们还可以站在国际数学课程发展的视角，借鉴国外课程中的主线去挖掘我国数学课程发展主线.如赵炯美、鲍建生[12]通过与美国、英国、韩国等课程内容的比较分析，理出蕴涵在“数与代数”、“图形与几何”中的“度量”这一内容主线.

3.3 确定主线纵向发展的深度

大部分文献在研究主线时，关注的是在这条主线上，数学课程应该设置什么内容，即应该学习哪些核心概念，对于学生掌握核心概念到什么样的程度关注的并不多.关注主线纵向发展的深度，一方面可以结合学生的认知发展过程，为学生学习过程提供恰当的脚手架;另一方面，可以让教师准确把握教学知识，在教学过程中做到有详有略.所以，今后可以进一步关注主线纵向发展的深度，如可以借鉴学习进阶的研究.学习进阶中有两个要素为成就水平和预期表现.其中，成就水平指的是学习进阶发展路径中的多个中间层级，反映了学生不同阶段的能力发展;预期表现指的是每个发展阶段学生所应达到的发展层级的操作性定义，之后通过试卷或者其他的评价工具可以测评学生的现有知识储备、目前所处的学习阶段、可能存在的学习障碍，有助于教师优化和改进教学过程.因此，从成就水平和预期表现等方面进一步关注内容主线发展的深度.

3.4 关注学生的认知发展和生活经验

由以上分析发现，在确定内容主线时主要依据知识的逻辑发展，在一定程度上忽略了学生的认知发展和学生的生活经验.然而，学习进程或学习轨迹关注的是学生在学习某一主题时，从尚未接受教学到开始学习，最后至完成此学习阶段，学习者对于该主题概念的想法与理解程度逐渐精致化并趋于成熟的发展变化[18].因此，以后在构建内容主线时，需要重视学生对某一核心知识的认知发展，在大量教学实践中不断地修正主线;同时，在今后的研究中要关注学生的哪些生活经验有助于构建学生对核心概念的深入理解[19].

数学课程内容主线已经受到教育理论者和实践者的关注，但相对而言还是一个新的研究领域，需要在不断研究和实践中完善其体系结构，还有待进一步实践探索.

参考文献

[1] 鲁小莉.中学数学课程发展的九条主线——美国Usiskin教授在泰国APEC会议上的报告 [J].数学教学，2010（09）：19-22.

[2] 约翰·布兰斯福特著，程可拉译.人是如何学习的[M].上海：华东师范大学出版社，2003.

[3] 曾小平，刘效丽.美国《共同核心数学课程标准》的背景、内容、特色与启示[J].课程·教材·教法，2011，31（07）：92-96.

[4] 教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[5] 史宁中.高中数学课程标准修订中的关键问题[J].数学教育学报，2018，27（01）：8-10.

[6] 冀伟民. 中小学数学课程中函数内容的發展主线研究[D].华东师范大学，2017.

[7] 邓少博. 中学数学课程中向量内容的发展主线研究[D].华东师范大学，2018.

[8] 郑明月. 中小学数学课程中统计内容的发展主线研究[D].华东师范大学，2018.

[9] 杨洁. 中小学数学课程中几何内容的发展主线研究[D].华东师范大学，2018.

[10] 邵铭宇. 中小学解析几何课程内容发展主线的设计[D].华东师范大学，2018.

[11] 吴春燕.中学综合数学课程内容的主线[J].北京教育学院学报（自然科学版），2009，4（01）：46-47.

[12] 赵炯美，鲍建生.中小学数学课程中的一条主线——度量[J].小学教学（数学版），2017（10）：8-12.

[13] 贾光辉.从数学核心素养与育人价值看运算主线[J].数学教学研究，2016，35（10）：2-6.

[14] 李锦涛.高中阶段概率内容学习主线探索[J].高中数学教与学，2015（04）：19-21.

[15] 吴颖康，邓少博，杨洁.数学教育中学习进阶的研究进展及启示[J].数学教育学报，2017，26（06）：40-46.

[16] 王嵘，章建跃，宋莉莉，周丹.高中数学核心概念教材编写的国际比较——以函数为例[J].课程·教材·教法，2013，33（06）：51-56.

[17] 章建跃.“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题简介[J].中学数学教学参考，2007（09）：51-53+57.

[18] 林哲民.国小因数与倍数学习进程研究[D].台湾师范大学，2013.

[19] 刘晟，刘恩山.学习进阶：关注学生认知发展和生活经验[J].数学教育学报，2012，8（02）：81-87.