似是而非的抽象函数问题剖析

李盛 李世杰

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图象，只给出函数所满足的某些性质、运算法则或特殊条件的一类函数.

抽象函数问题往往会包括函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性、定义域、值域等知识，题目综合性强，叙述比较抽象复杂，解答难度较大.含有抽象函数的数学试题考查功能强大，具有较大的区分度，既能考查学生对函数概念和函数性质的掌握情况，学生具有的阅读理解、逻辑推理、数学论证的综合运用能力，又能考查学生对 “一般”与“特殊”的辩证关系的认识水平，以及学生数学思维发展的潜能，因而频频受到命题人的青睐，命制以抽象函數为背景或题设条件的试题，在当前各级各类考试中呈现出“百花齐放”的态势，已成为命题热点之一.

但不少这类试题或教学参考资料中出现的抽象函数问题，其解答过程看上去似行云流水，天衣无缝，但一旦深入思考研究，就会暴露出题目本身存在的极其隐蔽的科学性问题，下面举几例加以说明：

也是值得商榷的，如果函数的定义域D不明确，没有具体给定，讨论函数f（x）的周期性是没有意义的[6].

从上可见，尽管函数是高中数学中一个重要的核心概念，抽象函数问题能全面考查函数的基本概念与性质，综合考查学生分析问题和解决问题的能力，但抽象函数试题不宜随意编造.如果需要命制抽象函数有关试题，一定要注意试题本身的科学性和合理性.

参考文献

[1] 温和群.抽象函数性质中的易错问题[J].教学考试高考数学，2017（52）.

[2] 李世杰，李盛.不等式探秘[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2017年1月版.

[3] 李盛，杨樟松，李世杰. 函数的性态及其应用[M].杭州：浙江大学出版社，2012年1月版.

[4] 李世杰，李盛.函数元不等式理论及其应用[M].杭州：浙江大学出版社，2011年10月版.

[5] 宋波.换元法求抽象函数周期常见类型例析[J].数学教学，2007（6）.

[6] 李世杰.周期函数论[M].杭州：浙江大学出版社，2005年9月版.