探究(An+B)·qn型数列前n项和的求法

王兰灵

(广东省广州大学附属中学 510006)

设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，则数列cn=an·bn可以化为cn=(An+B)qn的形式，为了方便，我们不妨称之为差比数列.差比数列的求和是数列模块的重难点，常用的方法是错位相减法、裂项相消法和待定系数法.笔者在教学中发现求差比数列的前n项和，除以上三种方法外，还可以用导数去解决.本文先对常用的三种方法进行系统地分析，提出了一些便于操作的方法技巧，最后再探究导数解法，供读者参考.

两式相减，得：

解法2(裂项相消法)设存在常数x、y使得：

将解法2推广到一般情况，对于差比数列(An+B)·qn(其中A、B、q为常数，且q≠0,q≠1)，必然存在常数x、y使得(An+B)·qn=[x(n-1)+y]·qn-1-(xn+y)·qn，证明方法与上题类似，计算等式右边，再结合代数恒等式即可求得x、y的值.通常，当01时，我们采用(An+B)·qn=[(x(n+1)+y]·qn+1-(xn+y)·qn进行裂项.为了便于记忆，类比函数的记号f(x)，我们记f(A,B,n)=(An+B)·qn,f(x,y,(n-1))=[(x(n-1)+y]·qn-1,f(x,y,n)=(xn+y)·qn.如此，当01时，f(A,B,n)=f(x,y,(n+1))-f(x,y,n).

点评裂项相消法的关键是把差比数列的通项公式正确裂项，所以，记住裂项公式f(A,B,n)=f(x,y,(n-1))-f(x,y,n)或f(A,B,n)=f(x,y,(n+1))-f(x,y,n)尤为重要.从计算量而言，裂项相消法略小于错位相减法，故裂项相消法的正确率会略高于错位相减法.

差比数列前n项和公式的证明：

已知数列{an}的通项公式是an=(an+b)·qn-1，求数列{an}的前n项和Sn.

Sn=(a+b)×1+(2a+b)×q+(3a+b)×q2+…+((n-1)a+b)·qn-2+(na+b)×qn-1①,

qSn=(a+b)×q+(2a+b)×q2+(3a+b)×q3+…+((n-1)a+b)·qn-1+(na+b)×qn②.

点评待定系数法公式属于错位相减法的衍生形式，需要学生熟记该公式，计算量相对较小，有计算便捷的优势，适合做选择和填空等小题目，不大适合做解答题.

解法4(导数法) 在解原例题之前，我们先看一个更为简单的例子，求数列an=n·2n-1(n∈N+)的前n项和Tn.

导数法是否适合一般的差比数列求和呢？答案是肯定的，简单证明如下：

设数列{an}为首项a1，公差为d的等差数列，数列{bn}为首项是b1，公比为q(q≠1)的等比数列为，且cn=an·bn,Sn是数列{cn}的前n项和，求Sn.

解由题意得an=a1+(n-1)d,bn=b1qn-1(q≠1)

在求差比数列前n项和Sn的时候，我们可以根据题型选择解题方法.选择填空题，我们可以选择待定系数法，解答题我们有错位相减法、裂项相消法和导数法可以选择.导数法虽然不常见，但是它用函数思想解决了数列问题，体现了函数的工具价值.我们在教学过程中，不能仅仅满足于现有的教学成果，更要注重知识的联系和拓展，多鼓励学生大胆猜想结论和方法，引导他们亲历从猜想到论证的探究过程，由此发展学生的探究能力和逻辑推理能力，同时也为我们的教学带来更多的精彩.《学记》有言：“学然后知不足，教然后知困.知不足，然后能自反也；知困，然后能自强也.”学生常反思学习，可发现不足，激发求学动力；教师常反思教学，可以取得新的突破，提升教学能力.