辨析知道真伪 比较弄清本质

文贵双

(甘肃天水市一中 741000)

数学问题中许多貌似相同但有本质区别的题目，若不仔细辨析，最容易混淆而错解.因此，在高考复习中把这些问题放到一块对比，加强对相关概念的理解，养成仔细阅读题意，弄清题目本质的好习惯，是解决这类问题的有效的办法.本文针对容易混淆几对问题加以剖析比较，揭示问题的求解方法.

一、定义域与值域

例1(1)若函数y=lg(ax2+2x+a)的定义域为R,求实数a的范围；

(2)若函数y=lg(ax2+2x+a)的值域为R，求实数a的范围.

点评函数的值域是函数值的集合，由对应法则与定义域确定.对数型的复合函数值域是R时，真数要能取遍所有的正数.例如通过求y=lg(x2+1)，y=lg(x2-4)值域，理解此解法.

二、定义域与有意义

点评若函数f(x)在M上有意义，则M是函数f(x)定义域的子集.

三、主元与次元

例3(1)若函数f(x)=x2+ax+1，当x∈[0,2]时恒有f(x)>0成立，求实数a的取值范围；

(2)若函数f(x)=x2+ax+1，当a∈[0,2]时恒有f(x)>0成立，求实数x的取值范围.

解(1)由题意知，f(x)=x2+ax+1>0，对∀x∈[0,2]恒成立，即[f(x)]min>0.

综上a的取值范围是(-2,+∞).

点评这两道题都是二次函数问题，选择恰当的变量为主元，从而使问题简化.主元不同，函数的类型也不同.

四、有解与恒成立

例4(1)已知函数f(x)=|x-2|-|x+3|，若f(x)>a恒成立，求实数a的取值范围；

(2)已知函数f(x)=|x-2|-|x+3|，若f(x)>a有解，求实数a的取值范围.

点评“有解”是要求某范围内存在x使得不等式成立即可.g(a)f(x)有解⟺g(a)>[f(x)]min.

五、相等关系中任意与存在

例5(1) 已知函数f(x)=x-4,x∈[0,1]，g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1](其中a≥1)，若对于任意的x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)=f(x1)成立，求实数a的取值范围；

(2)已知函数f(x)=x-4,x∈[0,1]，g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1](其中a≥1)，若存在x1∈[0,1]，x2∈[0,1]，使得g(x2)=f(x1)成立，求实数a的取值范围.

(2)g(x)的值域是[1-3a2-2a,-2a],而f(x)的值域是[-4,-3].

由题意知，函数g(x)与f(x)的值域中至少有一个相同的值,当a≥1时，1-2a-3a2≤-4,故只需-4≤-2a，即a≤2，又a≥1，所以1≤a≤2，即a的取值范围是[1,2].

点评∀x1∈D1,∃x2∈D2，使得f(x1)=g(x2)，设f(x)与g(x)的值域分别为A,B,则A⊆B.

这个结论如何理解？西游记中的孙悟空“任意”一个变化，二郎神都“存在”一个相克的变化，说明孙悟空的“本领”不高于二郎神的“本领”.以这个例子有助于我们理解此结论.

∃x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)=g(x2)，设f(x)与g(x)的值域分别为A,B,则A∩B≠∅.

六、不等关系中任意与存在

例6(1) 已知函数f(x)=x-4,x∈[0,1]，g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1](其中a≥1)，若对于任意的x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得f(x1)

(2)已知函数f(x)=x-4,x∈[0,1]，g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1](其中a≥1)，若存在x1∈[0,1]，x2∈[0,1]，使得f(x1)

(2)“若存在x1∈[0,1]，x2∈[0,1]，使得f(x1)

点评涉及两个变量的“任意”“存在”问题所涉的知识面广，思辨性强，解题灵活，有利于考查逻辑思维能力.解决此类问题应当充分理解“任意”“存在”的深刻含义，转化成函数最值间的关系来解决.相关结论为：

∀x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⟺[f(x)]min>[g(x)]max；

∃x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⟺[f(x)]max>[g(x)]min；

∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⟺[f(x)]min>[g(x)]min；

∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⟺[f(x)]max>[g(x)]max.