函数在极值点处不一定连续

甘志国

(北京市丰台二中 100071)

2017年清华大学能力测试已于2017年1月14日举行，试题包括数学与物理两部分，每部分考试时间均为90分钟，学生均在电脑上作答.

数学试题是40道选择题(均为不定项选择题)，且这40道题的顺序对于考生不是固定的(由电脑随机分配给每位考生).下面的题1是其中的一道：

D．使f(x)连续的a有3个取值

众所周知，函数在极值点处不一定可导.比如，函数y=|x|在x=0处不可导但是该函数的极小值点.

图1

下面给出题1的完整解答：

图2

进而可得：当a≤-1时，f(x)是増函数，没有极值；

所以：

使f(x)连续的a的取值是-1,0,1，所以选项D正确．

笔者还发现题1与2016年高考北京卷理科第14题(即下面的题2)很相似且解法也相同，这道高考题及其解法是：

①若a=0，则f(x)的最大值为____；

②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是____．

解①2；②(-∞，-1).由(x3-3x)′=3x2-3=0，得x=±1，进而可作出函数y=x3-3x和y=-2x的图象，如图3所示．

图2

①当a=0时，由图象可得f(x)的最大值为f(-1)=2.

②由图象可知，当a≥-1时，函数f(x)有最大值；当a<-1时，y=-2x在x>a时无最大值，且-2a>a3-3a，所以a<-1.