浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用

摘 要：小学生经常遇到有关“剩余问题”的题，所以学会这类题的解答方法很有必要。这类问题的解法被称为“中国剩余定理”，也有人称为“韩信点兵”。此类问题的解答是利用两数不能整除，若被除数扩大（或缩小）了几倍，而除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数，进而求出每个除数对应的基础数，其次是求三个基础数的和，最后减去三个数的最小公倍数，以此来解答这类问题。

关键词：小学生;剩余定理;学习

在小学生的一些思维拓展训练题中或智力竞赛题中，我们经常遇到有关“剩余问题”的题。下面我们就探究一下这类题的解答方法。

一、

中国剩余定理的由来

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。

这样的问题，也有人称为“韩信点兵”。它形成了一类问题。这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”。它是中国古代数学家的一项重大创造，在世界数学史上具有重要的历史地位。

二、 学习两个定理

要明白具体解法，首先需要知道以下两个定理。

定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。

定理2：两数不能整除，若被除数扩大（或缩小）了几倍，而除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数。

以上两个定理随便举个例子即可证明！

三、 用剩余定理研究解答此类问题的具体方法

题目：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。

1.

求出3、5、7这三个数的最小公倍数。（说明：以下用中括号[ ]来表示最小公倍数）

[3、5、7]=105

2.

求數3、5、7这三个数所对应的基础数。

（1）要找到除以3余2的基础数，就用5和7的最小公倍数3。

[5、7]=35

35÷3=11……2

35正好符合“除以3余2”的条件，所以除以3余2的基础数就是35。

（2）要找到除以5余3的基础数，就用3和7的最小公倍数除以5。

[3、7]=21

21÷5=4……1（余1不符合题意）

根据剩余定理2：

余数、商、被除数同时扩大3倍。

（21×3）÷5=（4×3）……（1×3）

63÷5=12……3（扩大后的余数已符合条件）

这样得到：除以5余3的基础数就是63。

注意：这一步非常重要。把余数1扩大3倍得到3，那么被除数也扩大3倍，商可以不看。

（3）要找到除以7余2的基础数，就用3和5的最小公倍数除以7。

[3、5]=15

15÷7=2……1（余1不符合题意）

（15×2）÷7=（2×2）…（1×2）

30÷7=4……2（扩大后的余数已符合条件）

这样得到：除以7余2的基础数就是30。

3.

把得到的三个基础数加起来。

35+63+30=128（这一步是运用了剩余定理1）

4.

减去3、5、7三个数的最小公倍数105。（在基础数比最小公倍数大的情况下）

128-105=23

那么满足题意的最小的数就是23了。

四、 理解一首诗歌

大家都知道，解这类题时，有下面一首诗歌。而这首诗歌怎么用呢？我们探究一下。

三人同行七十（70）稀，

五树梅花二一（21）枝。

七子团圆正半月（15），

除百零五（105）便得知。

这首诗歌的意思是，一个数除以3、5、7同余“1”符合条件的数分别是70、21、15这三个数。只要记住这三个数，那么有关“一个数除以3、5、7余数是其他数”的题很快能求出答案。

例如上面解答的题目：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。

①因为除以3余1的基础数是70，那么除以3余2的基础数就是70×2=140

同理：除以5余3的基础数就是21×3=63

除以7余2的基础数就是：15×2=30

③可以用如下算式解答：

70×2+21×3+15×2

=140+63+30

=233

这个数=233-105×2=23。

所以说，这首诗歌实际上是求“一个数除以3、5、7有余数”这类题的一种简便方法。

五、

我们再举例解答一个除数不是3、5、7的类似问题，你就对“中国剩余定理”问题更清楚了

题目：把几十个苹果，7个7个地数余2个，6个6个地数余4个，4个4个地数则余2个。这堆苹果至少有多少个？

①求7、6、4的最小公倍数=84

②用6、4的最小公倍数24÷7=3……3（不符合）

（24×3）÷7=3×3……3×3（需扩大3倍）

72÷7=10……2（达到符合）

③用7、4的最小公倍数28÷6=4……4（正好符合）

④用7、6的最小公倍数42÷4=10……2（正好符合）

⑤求符合条件的三个基础数的和=72+28+42=142

⑥求这些苹果至少多少个？

142-84=58（个）

从以上例子可以看出，要解决“中国剩余定理”这样的问题，首先是求每个除数对应的基础数，其次是求三个基础数的和，最后是观察三个基础数的和是否小于三个除数的最小公倍数。如大于三个除数的最小公倍数，大于几个最小公倍数，就减去几个，直至小于为最终结果。

参考文献：

[1]李辉.浅析中国剩余定理及其应用[J].豆丁文库.

作者简介：

陈兹中，甘肃省定西市，岷县梅川学区。