数理经济中可数状态下的私核与竞争均衡

黄泽曦, 李克典

（闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000）

1 背景介绍

Arrow 和Debreu 在文献[1]提出数理经济中均衡模型的竞争均衡概念，并证明了在完备信息下竞争均衡的存在性，随后Aumann 在文献[2]提出了核的概念，并证明了在该经济体中核与竞争均衡是等价的，称为核等价定理.Radner 在文献[3]将竞争均衡等概念推广到有限多种状态的不对称信息经济体中.Yannelis在文献[4]中最早提出了私核的概念，Einy E 等在文献[5]中证明了配置为自由处置可行的、商人空间为无原子测度空间、状态空间为有限空间的情况下私核与竞争均衡等价，Angeloni 等在文献[6]中证明了E.Einy et al.等人的结果在配置为可行的、商人空间为无原子测度空间、状态空间为有限空间的情况下仍然成立，并在该经济模型中讨论了私弱核与私核、竞争均衡间的关系.本文将Angeloni L 在文献[6]中的部分结果推广到配置为可行的、商人空间为无原子测度空间、自然状态空间为可数空间的情况，推广了Angeloni L等关于状态空间为有限空间的部分结果.

2 经济模型

在本节将数理经济中具有不对称信息经济体的模型记为E.用无原子测度空间（T，∑，μ）代表商人空间，其中T 代表商人的集合，用 t∈T 代表商人，∑是由T 的子集生成的 σ 代数，这里∑代表商人所形成的联盟， μ 是∑上的无原子测度，用 t 代表商人.这里有可数多种的自然状态，记为 Ω=｛ωi｝t∈N，用 Ω的划分∏t表示每个商人 t 的信息， 用F 表示由∏t生成的代数.经济体分为两期， 即=0，1.在=0时期，自然状态存在不确定性；在=1 时期，商人根据已实现的自然状态进行消费.在每种状态下，每个商人 t∈T 的消费集用表示.

对于每个商人 t∈T，用 ut代表商人的效用函数，其中满足对每个映射（t，x）ut（wi，x）是∑×B 可测的，其中 ωi是 Ω 中的某种状态，B 是的Borel 子集生成的 σ 代数.用qt代表每个商人 t 的先验知识.若用 ht（x）代表每个商人 t∈T 的期望效用函数，即

由上，可将经济体E 记为

3 基本假设

本节介绍文中使用的基本假设.

1）[5]对几乎所有的 t∈T，函数 e（t，·）是 Tt可测的.

2）[5]对所有的 ωi∈Ω 和 t∈T， ut（ωi，·）是连续的、严格递增的和凹的.

3）[5]存在 K＞0 使得对任意的 t∈T 和 ωi∈Ω 都有 0ut（ωi，·）K.

4）[7]存在 β ＞0 使得对任意的 ωi∈Ω 都有 ut（t，ωi）β1.

5）[7]存在＞0 使得对任意的 ωi∈Ω 都有

4 竞争均衡与私核、私弱核

本节将私核、私弱核和竞争均衡的概念推广到可数多种状态空间，并讨论三者间的部分关系.

定义1 经济体的一个配置x 被称为可行的私人分配，若它满足

1）对几乎所有的 t∈T，函数 x（t，·）是 Ft可测的，且

2）对所有的 ωi∈Ω 都有

令 Mt为所有由的 Ft可测函数的集合，那么对于价格系统 p，每个商人 t 的预算集可以表示为

定义2 在经济体E 中配置 x 被称为私弱核分配（记为E（WC）），若它满足以下条件

1) x 是私人分配，

2) 不存在一个联盟 S∈∑和一个配置 y 使得

a） μ（S）＞0，

b） 对所有的 t∈S， y（t，·）是 Ft可测的，

c） 对所有的 ωi∈Ω 都有

d） 对几乎所有的 t∈S 有 ht（y（t，·））＞ht（x（t，·））.

定义3 在经济体E 中配置 x 被称为私核分配（记为E（C）），若它满足以下条件

1) x 是私人分配，

2) 不存在一个联盟 S∈∑和一个配置 y 使得

a） μ（S）＞0，

b） 对所有的 t∈S， y（t，·）是 Ft可测的，

c） 对所有的 ωi∈Ω 都有

定理1 假设1)-5), 则经济体E 中每个私核分配都是私弱核分配，即E（C）E（WC）.

证明由私核分配与私弱核分配的定义可得.

定义4 在经济体E 中（p，x）被称为竞争均衡（其中 p 是价格系统，x 是私人分配），若它满足以下条件.

1) 对几乎所有的 t∈T，使得 ht达到最大的函数 x（t，·）在预算集 Bt（p）中，

若存在一个价格系统 p 使得（p，x）是一个竞争均衡，那么称可行的私人分配 x 为竞争分配（记为E（WC））.

定理2 假设1)-5), 则经济体E 中每个竞争分配是一个私核分配，即E（W）E（C）.

由定理1 和定理2 可得推论1.

推论1 假设1）-5），则经济体E 中竞争分配、私核分配和私弱核分配的关系为E（W）E（C）E（WC）.