回路范畴的扩张及其应用
2019-08-08郑丽红
冯 清 , 黄 菊 , 郑丽红
(1.福建师范大学福清分校 电子与信息工程学院, 福建 福清 350300; 2.闽南师范大学 数学与统计学院,福建 漳州 363000; 3.福建师范大学 数学与信息学院, 福建 福州 350100; 4.列东中学,福建 三明 365000)
1968 年,Bass[1]为研究范畴 K1群结构,引入了回路范畴,并给出了一族范畴同构.2012 年,张锦州[2]给出关于K1群的一个定理,并构造出回路范畴上的一个Recollement.在此基础上,文献[3]讨论了平凡扩张范畴、冲积范畴与回路范畴的交换关系.受此启发,本文主要讨论函子范畴、推出范畴与回路范畴之间的交换关系.
1 回路范畴与函子范畴
范畴论中,研究范畴间的函子关系是研究两范畴关系的一个基本手段,函子范畴是指两个范畴间的函子所具有的范畴结构,是范畴论发展的一个重要分支.许多常见的范畴均为函子范畴,如G-集范畴,直向图范畴等等.本节讨论回路范畴与函子范畴的交换关系,并给出实例.
先给出回路范畴,函子范畴的定义,具体参见文献[1,4].
定义1[1]设D 是范畴,定义回路范畴D 如下:
定义2 设C 是小范畴,D 是范畴,定义函子范畴DC如下:
DC的对象为F:C→D 为共变函子.
DC的态射为:F→G.合成是自然变换的合成.
现给出函子范畴DC与回路范畴D 之间的关系,即
再由H 中态射的对应易知H 是忠实的.综合上述讨论知H 是等价函子, 所以有范畴等价.
现将定理1 应用于Abel 群范畴及图范畴.
例 1 设 R 是环 R 的单对象范畴, Ab 是 Abel 群范畴, R-Mod 是环 R 的左模范畴,则.其中对应关系为
图1 图范畴交换图Fig.1 The exchange graph of graph category
图2 回路范畴的图范畴交换图Fig.2 The exchange graph of graph category of Loop category
2 回路范畴与推出范畴
拉回与推出(纤维积与纤维余积)是范畴论中两个重要的对偶概念.沈倩芳[5]定义了推出范畴,并证明了加法范畴的推出范畴仍是加法范畴.事实上,推出范畴作为范畴的一种扩张保持原范畴的诸多同调性质.本节讨论回路范畴与推出范畴之间的交换关系.
定义5[5]设D 是范畴,以D 中的推出作为对象,推出态射作为态射构成范畴,称之为D 的推出范畴,记为DO.
现给出本节的主定理,即
图3 推出范畴交换图Fig.3 The exchange graph of push category