三表对比，建构模型

孙业秋

【摘要】在小学数学中，正比例和反比例是相当重要的内容.本文主要就“正比例的意义”的教学实践进行介绍，并就结合教学实践对教学过程进行反思，以期可以更好地改善教学效果，让学生更好地从变量的角度来认识两种量之间的关系.

【关键词】正比例;小学数学;教学实践

正比例和反比例是刻画某一现实背景中两种相关联的量的变化规律的数学模型.通过本单元的学习，一方面可以帮助学生进一步加深对过去学过的数量关系的理解，初步学会从变量的角度来认识两种量之间的关系，感受函数的思想方法，另一方面，正比例和反比例的知识在日常生活和生产中有着广泛的应用.学习这部分内容，既可以锻炼学生用数学的眼光观察现实生活的意识，发展其解决问题的能力，又可以为进一步学习奠定基础.

教学内容：苏教版《义务教育教科书﹒数学》六年级下册第56～57页例1、“试一试”和“练一练”，练习十第1、2题.

教学实践与思考：

一、在对比中辨析“变”与“不变”

师：下面两个表格表示了甲、乙两辆车的行驶情况：

表1：甲车行驶的时间和所行的路程如下表.

时间/时123456……

路程/千米80160240320400480……

表2：乙车行驶的时间和所行的路程如下表.

时间/时123456……

路程/千米80150248300395490……

师：表1、表2中分别有哪两种现关联的量？

生：“时间”和“路程”.

师：它们在变吗？

生：变.

师：说说它们是怎样变的？

生1：表1变得有规律，时间是1小时1小时地增加，路程是80千米80千米地增加.

生2：表2没有规律，时间是1小时1小时地增加，增加的路程有时多有时少.

师：如果按表1的变化规律继续填下去，该怎样填？

生：时间是7小时，路程就是560千米;时间是8小时，路程就是640千米……

师：那表2呢？

生1：时间是7小时，路程可能是550千米，也可能是565千米……无法确定是多少千米.

生2：表2中每一列对应的路程除以时间所得的结果是变的，例如：第一列是80千米/时，第二列是75千米/时……

师：路程除以时间，也可以说成是路程和相对应时间的比，它们的比值不变，可以说成速度一定.当速度一定时，我们可以说：行驶的路程和时间是成正比列关系，行驶的路程和时间是成正比列的量.

师：上面例子中甲车行驶路程和对应时间是不是成正比例的量？为什么？

【思考】正比例的意义是一个比较抽象的知识，如果能够通过对比来感受相关联的量之间的“变”与“不变”，相信学生能更加深刻地理解成正比例的量的关系.在设计时，安排了表1和表2的对比，来突出“变”（路程和时间）与“不变”（路程和时间的比值，也就是速度一定）.同时正比例意义的归纳也比较难，根据师生、生生互动，设计以下的板书：

路程和时间是两种相关联的量

行驶的路程和时间成正比例

时间变化，路程也随着变化

路程和相对应时间的比的比值一定=速度（一定）

結合这样的板书让学生说出正比例意义就不难了.

课本中只安排了一道例题、一张表格来说明正比例意义，笔者觉得还不够.之前已经对比了“变”和“不变”，这里笔者设计了表3对于“不变”的对比，让学生清楚地辨析成正比例关系要相对应的两个量之间的比值一定，其他方式的一定（例如：和一定）都不能说成正比例关系.

二、在对比中建构“模型”

师：试着判断下面表格中的两种量是不是成正比例的量？

购买一种铅笔的数量和总价如下表.

数量/枝123456……

总价/元0.40.81.21.62.02.4……

生：这个表格中有数量和总价这两个相关联的量，数量变化，总价也随着变化.总价和对应数量比值不变，也就是单价一定.所以数量和总价成正比例关系.

师：你能用式子表示它们之间的关系吗？

生：总价数量=单价（一定）

师：通常我们可以这样说：单价一定，总价和数量成正比例.生活中还有哪些相关联的量成正比例关系？

生：长方形的长一定，长方形的面积和宽成正比例.

师：如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以怎样来表示呢？

引导学生讨论并归纳：yx=k（一定）

【思考】引导学生回顾之前的学习过程，说一说成正比例的量有什么共同的特点，并在充分交流的基础上，通过抽象和概括得到正比例关系的字母表达式，既可以促使学生主动地把已积累的具体经验上升为一般认识，获得对正比例意义的准确把握，又有利于学生初步感悟数学抽象的过程和方法.