浅谈数学史在中学数学教学中的价值

蓝新容

【摘要】抽屉原理也被称为鸽巢原理，它是初等数学中一个重要的原理.本文首先给出了它的起源与历史，接下来给出了其数学表达形式并且给出了原理的证明以及使用规范，其次分析了在初等数学教学中讲述抽屉原理的必要性，同时给出了初等数学不同学段对抽屉原理的讲授程度、方式，以及与之相对应的典型案例，最后给出了关于原理的认识与小结.

【关键词】抽屉原理;起源;历史;使用规范;初等数学教学

一、抽屉原理的起源与历史

（一）国外起源与历史

抽屉原理又叫鸽笼原理，它是由德国数学家狄利克雷首先于19世纪初期发现的，亦称狄利克雷原理，狄利克雷给出的定义是这样的：“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子.”最早狄利克雷是运用抽屉原理去解决数论的问题.

19世纪中叶德国数学家闵可夫斯基也运用该原理得到许多重要结果.20世纪初期杜尔首次利用鸽笼原理来解决不定方程的有理数解的问题.并且发表了12篇论文都用到了抽屉原理.大约同一时期西根利用杜尔的结果发现了西根引理，并且将其作为最基本的工具研究超越数.

（二）国内起源于历史

中国古代数学在许多领域都取得了重大成就，当然，对抽屉原理也是有过一些自己的表述，《晏子春秋》里有一个“二桃杀三士”的故事.这个故事就包含了一个重要的数学原理──抽屉原理.另外，在宋代费衮的《梁溪漫志》中，就曾运用抽屉原理来批驳“算命”一类迷信活动的谬论.费衮指出：把一个人出生的年、月、日、时作算命的根据，把“时”作为“抽屉”，不同的抽屉只有12×365×24=105120个.从而有力地从数学角度上反驳了“算命”.

二、抽屉原理的数学表达形式

（一）第一抽屉原理

原理1 把多于（n+1）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件.

证明 （反证法）如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n×1，而不是题设的n+k（k≥1），故不可能.

推论一 设把（n+1）个元素划分至n个集合中（A1，A2，…，An），用a1，a2，…，an分别表示这n个集合对应包含的元素个数，则至少存在某个集合Ai，其包含元素个数值ai大于或等于2.

证明 （反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai<2，则因为ai是整数，应有ai≤1，

于是有：a1+a2+…+an≤1+1+…+1=n

所以，至少有一个ai≥2，即必有一个集合中含有两个或两个以上的元素.

原理2 把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体.

证明 （反证法）将无穷多个元素分为有限个集合，假设这有限个集合中的元素的个数都是有限个，则有限个有限数相加，所得的数必是有限数，这就与题设产生矛盾，所以，假设不成立，故必有一个集合含有无穷多个元素.（借由康托的无穷基数可将鸽巢原理推广到无穷集中.）

说明一 原理1，原理2，都是对第一抽屉原理的表述，其反映的问题本质数相同的，其中对“至少”的理解应该是思维的核心.

说明二 由康托的无穷基数理论可将鸽巢原理推广到无穷集中.

（二）第二抽屉原理

原理1 把（m×n-1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m-1）个物体.

例 将19个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体至多为3个.由第二抽屉原理条件：n=5（m×n-1=19），即5m-1=19，m=4;由第二抽屉原理结论必有一个抽屉至多有m-1=4-1=3个物体.

证明 （用反证法）假设结论不成立，即对每一ai都有ai≤nk，a1+a2+…+ak≤nk+nk+…+nk=knk=n，k个nk，∴a1+a2+…+ak

说明三 高斯函数[x]定义：对任意的实数x，[x]表示“不大于x的最大整数”.一般地，我们有：[x]≤x<[x]+1.

三、抽屉原理使用规范

在使用抽屉原理解决问题时，实质是对“至多”“至少”问题的一种处理方式，关键恰恰是对抽屉的构造，在所谓的“二桃杀三士”中，桃子是“抽屜”，只有两个，勇士是“物体”，有三个，物体数多于抽屉数，所以产生矛盾.

在抽屉原理的使用中，抽屉的构造是关键，构造抽屉实际上就是要“寻找到合理的分类，将问题数学抽象化”，在数学之中易于想到的是区间，数组，图形等构造抽屉.下面将给出在初等数学不同学段对抽屉原理的讲授程度、方式，以及与之相对应的例子，希望对广大初中数学教师所帮助.

四、对抽屉原理在初等数学教学中的认识

在初等数学的不同阶段有不同的目标.其中，知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度的发展四个方面的目标是一个密切联系的有机整体，对人的发展具有十分重要的作用，它们是在丰富多彩的数学教学活动中实现的.抽屉原理在初等数学教学中可以体现数学好玩的作用，帮助学生学会数学抽象，数学的思考，学会运用数学的思维分析问题的意识，因此，在初等数学之中结合学生思维及心理发展以及教材安排讲解抽屉原理是不可或缺的.

（一）对抽屉原理在小学数学教学中的认识

在小学阶段的新课标数学教学总目标之中明确提出了知识与技能目标：经历提出问题、收集和处理数据、做出决策和预测的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题.解决问题目标：形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.为进一步学习数学打下基础，培养好的数学习惯.

以教育部2013年审定通过北京师范大学出版的义务教育小学教科书为参考，容易发现在书中第一册至十二册都有以数学好玩为单独模块，在四年级上册的第八节讲解了“可能性”即不确定性.同时在五年级上册第七节也安排了“可能性”的内容作为补充.另外，在四年级下册第六节讲解了“数据的分析与表示”，在六年级上册第五节安排了“数据处理”，这样安排是完全符合学生数学发展心理学的.

根据这样的安排可以在六年级上册第五节讲完数据处理之后，在下一次课程可以通过“二桃杀三士”的故事，通过引导将抽屉原理一讲述给学生，再举下面一个简单的问题.

首先教师：讲述“二桃杀三士”的故事，给出国外数学家狄利克莱解决这样问题的方法“狄利克莱原理”也称为第一抽屉原理.提出解决这样类似的问题关键是寻找“抽屉”在这个故事之中2个桃子就是抽屉.

下面给出一个关于抽屉原理的实际问题

问题：将4支铅笔放入3个笔筒一共有多少种放法？这些放法有什么特点？

学生分组讨论：每组准备4支铅笔3个笔筒.

小组合作：将铅笔放进笔筒，观察结果，并做如下记录，第一个笔筒放1支，第二个笔筒放枝1支，第三个笔筒放2支，计为（1，1，2）.

汇总小组结果：发现结果有（0，0，4），（0，1，3），（0，2，2），（1，1，2）.

引导学生观察四种放置结果有何共同点，得出至少有一个笔筒里面有两支铅笔.

教师板书：4÷3=1（支）……1，教师引导学生归纳得出：至少数=商+1.

教师进一步提出假如变成5支铅笔放入3个笔筒，提问学生得出结果教师板书出为（0，0，5），（0，1，4），（0，2，3），（1，1，3），（1，2，2）.

教师板书：5÷3=1（支）……2，至少数=商+1仍然成立.

教师总结：“本题之中抽屉就是笔筒数量”，总结出的结论至少数=商+1，实际上就是抽屉原理的一种表述形式.

（二）对抽屉原理在初中数学教学中的认识

在初中数学教学总目标当中指出发展学生的基础知识与基础技能、逻辑推理能力、运算能力、空间观念、解决简单数学问题的能力.

所以在数据整理与概率统计部分在2012年教育部审定通过的北京师范大学出版社出版的义务教育教科书中在七年级上册第六章给出了“数据收集与整理”等关于概率统计的入门知识，接着在七年级下册的第六章“概率初步”给出了随机事件与简单的概率的计算，在八年级上册第六章“数据的分析”给出了平均数、中位数、众数、方差等来对数据进行刻画，在九年级上册中“对概率的进一步认识”则通过游戏是否公平，投针试验，生日日期相同的概率三个比较具有代表性的案例.

初中阶段的学生具有了自己对概率统计问题的认识与思考，同时在初中阶段是学生身心发展最迅速的时期，对知识的渴求十分强烈，苏联维果茨基的最近发展区指出教学一方面，要适应学生现有的水平，但更重要的是发挥教学对发展的主导作用，走在儿童发展的前面，在九年级上册讲解了三个案例之后根据最近发展区理论给出第二抽屉原理，同时可以给出类似于下面的一个例子，以帮助初中学生进一步提升运用数学知识解决实际问题的能力.

例 在3×4的长方形中，任意放置七个点，必有两个点的距离至多为5.

分析 如图1所示的为3×4=12的长方形，将其分割成2×1的小矩形如图2所示，可以得到6个形如图2所示的2×1的小矩形，由此就构造了6个抽屉，那么对任意放置的七个点，必有两点落入其中一个形如图2所示的小矩形之中.

教师引导学生分析问题的本质，唯有揭示本质的东西才是易于推广的，分析问题实质是第二抽屉原理的应用，构造6个抽屉，由第二抽屉原理12÷7≈1.71，[1.71]=2，故至少有一个抽屉要放置两个点.根据对角线最长原理，容易得到5.

（三）对抽屉原理在高中数学教学中的认识

高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要.包括必要的数学基础知识和基本技能，空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力.提高提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力.

以2004年审议通过的人民教育出版社出版的人教A版普通高中实验教科书的编排来看，在必修三用一册书来在义务教育的基础之上进一步讲统计概率，学完这部分知识，中学阶段学生已经具有了很强的统计思维以及概率意识，但是，对学过的概率统计知识的有用性缺乏信心，在这样的情况之下数学教师作为学生学习的引导者可以给出利用阶段学过的知识为背景的一个情境丰富，实际应用性较强的关于抽屉原理的案例，幫助这个阶段的学生提升对概率统计知识的重要性的认识.同时发展学生的核心素养.

例 证明对任意给定的2010个自然数ai（1≤i≤2010）中可以找到若干个数，使得它们的和是2010的倍数.

证明 以0，1，2，…，2009，即被2010除的余数分类制造抽屉，将下列数作为抽屉中的元素：

s1=a1，s2=a1+a2，s3=a1+a2+a3，…，s2010=a1+a2+a3+…+a2009+a2010.

如果上述2010个数中有一个数是2010的倍数，则问题得证;如若不然，根据抽屉原理，至少存在两个数sm，sn，它们被2010整除余数相同，则它们的差sm-sn，仍然为ai（1≤i≤2010）中若干个数之和可以被2010整除，综上，命题得证.

五、小 结

总之，在给出抽屉原理的背景及相关概念的基础之上，结合现行使用相对广泛的初等数学教材教法详细分析了在初等数学教学之中讲述抽屉原理的时间阶段、内容、程度，力求符合数学教育学的规律和教育心理学对学生身心发展的要求，并且希望通过抽屉原理渗透数学文化，数学史的一些内容使得学生在初等数学阶段爱上数学，同时对广大的中学数学教师教学有所帮助和启发.

【参考文献】

[1]张文俊.数学欣赏[M].北京：科学出版社，2011：137-142.

[2]李雪敏，沈林.抽屉原理及其应用[J].旅游纵览，2013（9）：292.