关于Hom-双代数扭曲子的注记

张晓辉，孙 燕

1 引言

Hom结构源于李理论中对向量场上的量子离散型形变的研究与刻画, 较早的例子出现在Witt代数与Virasoro代数上([2])。2006年, J. Hartwig等人([4])介绍了Hom-李代数的概念。与李代数相比, 其中的Jacobi恒等式在某个自同态下(称为Hom-结构映射)作了相应的扭曲。随着研究的深入, A. Makhlouf等学者陆续提出了Hom-代数, Hom-余代数等概念, 自然地, Hom-双代数和Hom-Hopf代数也被引入([6], [7])。随后, D. Yau研究了Hom-双代数上的拟三角结构([8]), 并由之得到了一组Hom型Yang-Baxter方程的解([9])。2011, S. Caenepeel和I. Goyvaerts引入了张量型Hom-Hopf代数的定义([1]), 这是一种特定范畴中的Hom-型代数, 从而将Hom-理论与范畴论结合在一起。关于Hom-型代数的最新研究, 可见文[3], [5], [8]等。

本文在上述研究的基础上, 给出了Hom-双代数的扭曲子的性质, 刻画了其所诱导的一类张量型Hom-双代数和双代数。

2 预备知识

本文中, 我们总是假定k为特征为0的代数闭域。

定义2.1([6]) 数域k上的一个k-Hom-代数A是指一个k-空间, 伴有k-线性的自同态αA:A→A, 和乘法μ:A⊗A→A, 及单位元1A, 使得对任意的a,b,c∈A, 有下列等式成立:

α(ab)=α(a)α(b),α(1A)=1A;

α(a)(bc)=(ab)α(c),a1A=1Aa=α(a)。

设A,A′均为k-Hom-代数, 线性映射f:A→A′被称为Hom-代数同态, 若f保持Hom-乘法及Hom-单位, 且αA′°f=f°αA。

定义2.2([6]) 数域k上的一个k-Hom-余代数C是指一个k-空间, 伴有k-线性的自同态αC:C→C, 和余乘Δ:C→C⊗C以及余单位ε:C→k, 对任意的c∈C, 有下列等式成立:

Δ(αC(c))=αC(c1)⊗αC(c2),ε°αC=ε;

αC(c1)⊗Δ(c2)=Δ(c1)⊗αC(c2),c1ε(c2)=ε(c1)c2=αC(c)。

设C,C′均为k-Hom-余代数, 线性映射f:C→C′被称为Hom-余代数同态, 若f保持Hom-余乘法及Hom-余单位, 且αC′°f=f°αC。

定义2.3([6]) 设B为k-空间, 若存在k-线性同构β:B→B, 使得(B,α,μ,1B)为Hom-代数, 同时(B,α,Δ,ε)为Hom-余代数, 且Δ,ε均为Hom-代数同态, 则称(B,α,μ,1B,Δ,ε)为Hom-双代数。

定义2.4([1]) 设H为k-空间, 若存在k-线性同构α:H→H, 使得(H,α,μ,1H)为Hom-代数, 同时(H,α-1,Δ,ε)为Hom-余代数, 且Δ,ε均为Hom-代数同态, 则称(H,α,μ,1H,Δ,ε)为张量型Hom-双代数。

注记2.5数域k上的一个Hom-双代数(B,α)同时为张量型Hom-双代数当且仅当B的Hom-结构映射α满足α2=idB。

3 Hom-双代数与张量型 Hom-双代数的扭曲等价

本节中, 我们总是假定设(B,α,μ,1B,Δ,ε)为Hom-双代数, 且其Hom-结构映射α为同构。

定义3.1由文献[5], 称元素σ∈B⊗B为B上的一个广义扭曲子, 若其可逆, 且满足:

下文中, 我们用ρ表示σ的逆元.

引理3.2(1)ρ满足

(α⊗α)(ρ)=ρ;

(3.1)

(2)ρ满足如下2-余循环条件

(3.2)

证明:(1) 由题设知如下等式成立:

(α⊗α)(ρ)=1Hρ(1)⊗1Hρ(2)

即

1H⊗1H⊗1H

(3.3)

此即说明等式(3.2)成立。

证毕。

对任意的x∈B, 定义B上的新的余乘Δσ如下:

Δσ(x)=x[1]⊗x[2]:=(σΔ(α-4(x)))ρ,

(3.4)

此时易知:Δσ(x)=(σΔ(α-4(x)))ρ=σ(Δ(α-4(x))ρ)。

引理3.2(B,α-1,Δσ,ε)为Hom-余代数。

证明: 首先, 对任意的x∈B, 我们有

x[1]ε(x[2])

=(σ(1)α-4(x1))ρ(1)ε(σ(2))ε(α-4(x2))ε(ρ(2))=(1Hα-3(x))1H=α-1(x)。

同理可证

ε(x[1])x[2]=α-1(x)。

其次, 我们计算Hom-余结合性如下:

Δσ(x[1])⊗α-1(x[2])=

⊗α-1((σ(2)α-4(x2))ρ(2))

⊗(α2(σ(2))α-1(x2))α2(ρ(2))

=α-1(x[1])⊗Δσ(x[2])。

最后, 我们有

Δσ(α-1(x))=(σ(1)α-5(x1))ρ(1)

⊗(σ(2)α-5(x2))ρ(2)

⊗α-1((σ(2)α-4(x1))ρ(2))。

这就证明了(B,α-1,Δσ,ε)为Hom-余代数。证毕。

定理3.3Bσ=(B,α,μ,1B,Δσ,ε)为张量型Hom-双代数。

证明:由引理3.2, 仅需证明Δσ为保持单位的Hom-代数同态即可。

一方面知Δσ满足Δσ(1B)=1B⊗1B, 且对任意的x∈B, 我们有Δσ(α(x))=(α⊗α)Δσ(x)。这就证明了Δσ保持单位和Hom-结构映射。

另一方面, 对任意的x,y∈B, 我们有

x[1]y[1]⊗x[1]y[1]

这就证明了Δσ保持乘法运算。证毕。

例3.4考虑Sweedler 4维Hopf代数H4=k{1H,g,x,y|g2=1H,x2=0,y=gx=-xg}, 其结构如下:

δ(g)=g⊗g,δ(x)=x⊗1H+g⊗x,δ(y)=y⊗g+1H⊗y,

ε(g)=1,ε(x)=ε(y)=0,S(g)=g,S(x)=-y,S(y)=x。

则直接计算可知, 若α:H→H为Hopf代数同构, 则其满足

α(1H)=1H,α(g)=g,α(x)=cx,α(y)=cy。

其中0≠c∈k。此时我们得到如下的Sweedler 4维Hom-Hopf代数

αH4=(H4,α,1H,α°m,Δ=δ°α,ε)}。

更进一步地, 经过直接验算可知,αH4中的扭曲子具有如下形式:

· (1) 当c2=1时, 扭曲子为

σ=λ1H⊗1H+(1-λ)(1H⊗g+g⊗1H-g⊗g);

σ′=1H⊗1H+μy⊗x.

· (2) 当c2≠1时, 扭曲子为

σ=λ1H⊗1H+(1-λ)(1H⊗g+g⊗1H-g⊗g)。

ρ′=σ′-1=1H⊗1H+μy⊗x,

此时, 利用定理3.3, 我们即可得到基于H4的一类张量型Hom-双代数:

(αH4)σ=(αH4,α,1H,α°m,Δσ=(δ°α)σ,ε)。

例3.5对任意的x∈B, 定义B上的新的余乘Δσ如下:

Δσ(x)=x(1)⊗x(2):=(σΔ(α-3(x)))ρ，

(3.5)

则易证(B,Δσ,ε)为数域k上的余代数。此时,Bσ=(B,α-1°m,η,Δσ,ε)为k-双代数。

证明:类似于定理3.3, 不再赘述。

注记3.6由定理3.3和定理3.5可知, Hom-双代数与张量型Hom-双代数、双代数有扭曲等价关系。