设而不求 突破运算瓶颈

江苏省扬州大学数学科学学院(225000)史玉梅

一、“设而不求”在定点、定值问题中的应用

例1椭圆的离心率是它的左焦点到点P(2,1)的距离为

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求证：直线l 过定点,并求出该定点的坐标.

解析(1)椭圆C 的标准方程为

(2)由题意可设直线l 的方程为y=kx + m,设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=kx + m 带入椭圆方程得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.由韦达定理可得

又因为以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点A2(2,0),所以由可得

将方程整理可得7m2+16km+4k2=0.于是或m=-2k.当时,直线l 为恒过定点当m=-2k 时,直线l 为y=kx-2k=k(x-2),恒过定点A2(2,0),不符合题意舍去.

本题是“设而不求”在直线与椭圆问题中的应用.点A和点B 的坐标在计算过程中没有具体去求出,而是利用韦达定理整体去求出的表达式,进而求解.这是常见的“设而不求”的应用,也是学生最熟悉的一种“设而不求”题型.当然,在利用韦达定理时应该先确保联立所得的二次方程有解,即Δ ≥0.本题直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点所以可确保Δ ≥0.在解决此类题目时,学生的解题思路往往没有问题,但在运算上会出现问题.[4]所以对于此类问题的教学,教师要放手让学生独立求解,自行突破运算化简的“瓶颈”.这样在以后的运算过程中学生才能从容应对,提高运算的准确性.

二、“设而不求”在最值问题中的应用

例2已知△ABC 是边长为3 的等边三角形,点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点,点Q 满足则的最小值是多少?

图1

解析建立如图 1 所示的平面直角坐标 系.设 P(cos θ,sin θ),则 A(0,0),

本题利用平面几何的特征,根据题意建立恰当的直角坐标系,将几何问题坐标化,通过引入参数θ 进行坐标运算,继而得到目标函数,进而再利用三角函数的辅助角知识求出最值.[2]在解答过程中增设了未知量θ,但对这里的θ 是“设而不求”,只是在θ 的帮助下求得三角函数的最值.

三、“设而不求”在函数零点问题中的应用

例3已知函数f(x)=x2-2a ln x-2ax,(a ＞0),若f(x)有两个零点,求实数a 的取值范围.

解析定义域x ∈(0,+∞),

即方程x2-ax-a=0 在(0,+∞)上有一个解,设为x0,令g(x)=x2-ax-a,在(0,x0)上,f′(x)＜0,f(x)单调递减；在(x0,+∞)上,f′(x)＞0,f(x)单调递增；所以f(x)有最小值f(x0),并且f(x0)=x20-2a ln x0-2ax0＜0,x0是方程x2-ax-a=0 的解,故x20-ax0-a=0,所以把a 带入上述不等式化简得到1 - 2 ln x0- x0＜0,令k(x)=1-2 ln x-x,k′(x)＜0,所以k(x)是减函数,且k(1)=0,所以不等式1-2 ln x0-x0＜0 的解集为x0＞1,

对于零点问题,一般都是找出函数的单调区间,显然本题求解方程f′(x)=0 比较复杂,再利用这个解进行解题不可行,此时采用“设而不求”的方法,[3]引入了新的未知量,把该未知量带入分析,从而得到函数的单调性,这样灵活处理的做法比较省时省力.

四、“设而不求”在轨迹方程问题中的应用

例4在平面直角坐标系xOy 中,已知定点F(1,0),点P 在y 轴上运动,点M 在x 轴上运动,点N 为坐标平面内的动点,且满足求动点N的轨迹方程.

解析设点N(x,y),M(a,0),P(0,b).由可知点P 是线段MN 的中点,所以解得所以可得即y2=4x,所以动点N 的轨迹方程是y2=4x.

在平面解析几何问题中,常常需要设出点的坐标,但不具体求出这些坐标,而是运用设而不求的思想简化解题过程,再利用曲线与方程之间的关系达到解题目的,这样就避免了非必要的运算.

五、总结

“设而不求”是为了运算中的合理简洁而采用的一种解题技巧,从数学解题的总体上看,“设而求”是普遍现象,“设而不求”是特殊形态.其实“设而不求”在很多“数学板块”中都能适用.作为教师,对此应该要有全面的认识,不能以偏概全,更不能绝对化.否则会出现学生在解题时是“死记硬背、套用模式”.长此以往,解题能力没有提高,相反还抑制了学生的思维发展.我们应该摒弃一些陈旧的、定势的思维,努力培养学生多元化的创新思维.[4]波利亚曾经说过“没有任何一个题目是彻底完成了的”.因此,我们可以将任何解题方法加以改进,深化我们对答案的理解.[5]