三角不等式的证明

甘肃省兰州市榆中县恩玲中学(730100)张 科

三角不等式的证明是初等不等式证明问题的难点,因为不仅要运用代数不等式的方法,而且要使用三角函数的许多性质如正弦、余弦函数的有界性、三角函数的单调性等,各种三角函数之间的变换在证明不等式过程中的目的性、规律性不强,还有一些特殊方法不在数学学习过程中,三角不等式证明是一个非常重要的内容,这些内容在初等数学中都有很好的体现.三角不等式的证明一直都是基础数学的重要内容和难点,不仅要求系统掌握知识的内在联系,运用所学知识解决较为复杂或综合性的问题,还要求有很强的逻辑思维能力、分析和解决问题的能力,证明三角不等式,是没有固定的模式可以套用的,它方法灵活多变,技巧性强.从而系统的掌握好不等式的性质,是解决不等式证明问题的基础.

三角不等式的几种证明方法

下面结合实例给出证明三角不等式的5 种方法.

1.几何法

借助几何知识来证明代数或三角中的命题.

例1已知x,y,z ∈R,0 ＜x ＜y ＜z ＜证明：+2 sin x cos y+2 sin y cos z ＞sin 2x+sin 2y+sin 2z.

分析原不等式等价为+sin x sin y +sin y cos z ＞sin x cos x+sin y cos y+sin z cos z,再考虑利用几何意义构造证明.

证明因为原不等式等价为+sin x sin y+sin y cos z ＞sin x cos x + sin y cos y + sin z cos z,即＞sin x(cos x -cos y)+ sin y(cos y - cos z)+ sin z cos z.如图1,OM1=cos x,OM2=cos y,OM3=cos z,M1A=sin x,M2B =sin y,M3C =sin z,

图1

点评此题巧妙地利用三角线几何意义,构造矩形的面积证明,有较强的技巧性.对于不等式中含有自变量二个及二个以上的三角函数的这种混合型的三角不等式,常用几何法证明,其思路、步骤是：先将题干中的不同量在单位圆中相应地反映出来,如用线段、角度、弧长、面积等表示,然后结合儿何中等量或不等量关系,如圆心角等于所对的圆弧的弧度数、弧长大于所对的弦长、整体大于局部以及相似关系等,从而建立问题所需要的等量或不等量的关系式.如果建立关系式的过程受阻,应设法添加辅助线.

2.公式法

例2已知求证：(tan α-tan β)2≥(tan γ-2 tan α)(2 tan β-tan γ).

分析所证不等式中涉及三个变量α,β,γ,结合结构特征,考虑一元二次方程构造证明.

证明当tan γ - 2 tan α=0 时,原不等式显然成立.当tan γ -2 tan α /= 0 时,构造一元二次方程(tan γ -2 tan α)x2+2(tan α-tan β)x+(2 tan β -tan γ)=0.因为(tan γ-2 tan α)+2(tan α-tan β)+(2 tan β-tan γ)=0,所以所作方程必有一根x=1,从而Δ=4(tan α-tan β)2-4(tan γ -2 tan α)(2 tan β -tan γ)≥0,即(tan α-tan β)2≥(tan γ-2 tan α)(2 tan β-tan γ).

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点评三角不等式的证明常通过代数方法去解决.

3.配方法

对某些三角式,可以通过恒等变形,使它变成一元二次函数的形式,然后用配方法解之.

例3在△ABC 中,求的整数部分.

分析利用三角形内角和的特点考虑.

证 明在 △ABC 中,由幂平均不等式,则

又当0 ＜x ＜1 时,x2＜x,所以,

点评证明过程中利用了幂平均不等式和0 ＜x ＜1 时,既考虑了三角特点,又结合了代数不等式知识.

4.换元法

在解决三角不等式证明时,将三角函数用非三角函数的新变量代换,从而达到证明的目的,这种方法就是代数换元法.

例4求实数a 的取值范围,使不等式恒成立.

分析对题中+sin θ)与sin 2θ 关系换元解决.

解设sin θ+cos θ =x,由可得sin 2θ =x2-1.原不等式可化为2a ＞0,即因为所以即易知f(x)在上单调递减.所以故a ＞3.

点评换元之后,将三角不等化为代数不等式解决,既转化了形式,又简化了不等式.

5.辅助函数法

不等式和函数有着广泛的联系,函数的增减性是通过不等式体现的.因此,在证明某些三角不等式时,可引人辅助函数,通过对函数性质的研究来达到证明不等式的目的.

例5已知a,b,A,B ∈R,若对于一切实数x,都有f(x)=1-a cos x-b sin x-A cos 2x-B sin 2x ≥0,求证：a2+b2≤2,A2+B2≤1.

分析分析题中结构,考虑引入辅助角方法证明.

证明若a2+b2=0,A2+B2=0,则结论显然成立.若令于是,

点评此题在恒成立的不等式中,通过赋值得 ②、③是关键的技巧.

从以上几个方面浅谈了三角不等式的证法,可以看到这些方法的运用使问题的解答别开生面、独具一格,大有妙不可言之感.当然,使用这些方法,还需要对问题条件、结论作全面细致的分析,通过分析发现应该借助哪些知识.而这些方法的使用既要有敏锐的观察力、由此及彼的联想能力,又要有娴熟的转化问题的技能.因此,它有利于培养良好思维的品质.