半主动控制弹簧-电磁铁隔离器的隔冲性能研究

曾泽璀， 张 磊， 张春辉， 闫 明

(1.沈阳工业大学 机械工程学院，沈阳 110870；2. 海军研究院，北京 100161)

随着海上战争局势日益严峻，武器的破坏能力不断增强，为了增强舰艇设备的抗冲击能力，必须提高冲击隔离器的性能。近年来，在被动振动控制装置中，准零刚度隔离器具有高静态-低动态刚度特性，相对传统被动线性隔振器具有明显的优势。被动式恒力缓冲装置就是具有高静态-低动态刚度特性的隔离器，研究发现其具有良好的隔冲性能[1]。但是目前的准零刚度结构仅在小振幅情况下才具有良好的隔冲性能[2-6]。而且准零刚度是由系统弹性元件的特性，只有当系统在冲击隔离过程中不考虑阻尼效应，才能保证准零刚度的优势所在，而在工程实际中阻尼是不可忽视的[7-8]。

在振动控制中，主要由三种常见的控制手段：被动控制、半主动控制和主动控制[9]。半主动控制是在被动控制基础上附件简单控制，仅需简单控制就能达到近似主动控制的控制效果。Karnopp等[10-12]都利用半主动控制结构完成在振动控制，提高了设备的振动隔离性能。另外，研究发现弹簧-电磁铁在半主动控制方法下具有较好的振动控制效果，其能够有效吸收外激励下作用下所产生的振动能量，从而减小外激励对系统的干扰[13-19]。

针对目前舰船设备海上冲击隔离需求，基于弹簧-电磁铁结构提出一种半主动控制方法，来提高隔离器冲击隔离效率。首先通过讨论电磁铁半主动控制隔离器的特性，并结合冲击环境来设计隔离器结构；然后建立隔离器运动方程和设计控制方法，并利用解析方法和数值方法求解方程；接着分析不同控制方法对冲击隔离性能的影响，通过计算对比获得较优控制方法；最后将其隔冲性能与被动式恒力缓冲隔离器进行对比完成验证。

1 线性系统冲击响应及隔离器性能考核指标

1.1 线性系统冲击响应

为了解结构冲击响应特性，这里以经典的弹簧-质量-阻尼系统为研究对象，并对其施加冲击载荷，强迫振动运动微分方程见式(1)。在式(1)中F0为强迫力幅值；相对位移x=u-y，其中u为质量块位移，y为基础位移。

(1)

令

(2)

可得式(3)

(3)

其中Asin(wt)为基础加速度激励信号，具体表达式为(4)，对于受到基础激励的弹簧-质量-阻尼系统，利用杜哈曼积分公式求解[20]。可以获得无阻尼(ζ=0)系统方程的解x(t)，如式(5)～式(7)所示

(4)

当t≤t1时，设备与基础的相对位移x(t)为

(5)

式中:r为固有频率wn与激励频率w之比。

当t>t1时，相对位移x(t)为

(6)

所以系统的位移解为

x(t)=x1+x2

(7)

从系统位移响应解析解表示可以看出，线性系统的稳态响应频率是由系统自身固有频率决定，其与外激励幅值和频率无关。位移响应和加速度响应与系统固有频率、激励载荷幅值和脉宽相关。图1为无阻尼系统在冲击载荷作用下的冲击响应。冲击载荷为半正弦加速度曲线，其幅值A=50g，脉宽为5 ms。

图1 结构无阻尼冲击响应Fig.1 Shock response of undamped structure

2.2节中的控制方法就是根据图1中的线性系统的冲击响应规律设计。

1.2 考核指标-系统缓冲系数

系统缓冲系数为评价冲击隔离系统抗冲击性能的综合指标，其值越小表示系统的抗冲性能越好。系统缓冲系数的定义为

(6)

式中:amax为受保护设备的绝对加速度响应幅值;dmax为设备与基础之间的相对位移响应幅值;v0为系统冲击信号的阶跃速度。

2 SSEM的半主动控制

2.1 结构原理

基于图1所示的响应规律，为提高隔离器的隔冲能力来适应复杂的振动冲击环境，提出一种半主动控制的弹簧-电磁铁结构。图2为SSEM隔离器的结构原理图，主要由基础1、电磁铁2、永磁铁3、机械弹簧4和设备5组成。图中y表示基础激励输入；u表示设备响应输出；x表示两者的相对位移输出，x=u-y。

图2 电磁控制结构原理图Fig.2 Schematic of electronic-magnetic absorber

SSEM隔离器所要实现的功能：在冲击过程及冲击结束后，通过调整电磁力的方向和大小从而快速降低设备响应。其所对应的控制原理：通过改变电磁铁中电流的方向和大小来产生不同大小的吸引力和排斥力，这两个力作用在设备上，根据设备速度响应反馈控制吸引力和排斥力产生时机，从而提高隔离器的隔冲性能，减少冲击对设备的干扰。

根据设备的运动状态，隔离器中的电磁铁分别处于三种状态，不通电状态，顺时针通电状态(排斥力状态)，逆时针通电状态(吸引力状态)。

在SSEM隔离器中，弹簧主要用于控制隔离系统的响应频率。为了提高SSEM隔离器的隔冲性能，并且能够在冲击作用下快速恢复至平衡位置。接下来通过分析对应弹簧刚度下的无阻尼经典振动系统的半正弦冲击响应规律，如图1所示，从而设计SSEM隔离器的控制方法。

具体实施方式：当在正向冲击作用下，设备离开平衡位置相对基础向下运动，这时电流为顺时针方向，电磁铁产生排斥力阻止设备向下运动，从而减小设备的位移响应；当设备达到下极限位置时，电磁铁断电；当设备从下极限位置向平衡位置运动时电磁铁逆时针通电，而且电流逐渐减小，直至设备恢复平衡位置；当设备恢复平衡位置，电磁铁断电；设备由于惯性离开平衡位置相对基础向上运动，通过改变电流方向为逆时针方向，电磁铁产生吸引力，并逐渐增大电流，阻止设备向上离开平衡位置，直至运动到上极限位置。

SSEM隔离器的隔冲效果利用缓冲系数η作为隔冲能力的考核标准，并将其与恒力缓冲装置进行比较。

2.2 控制方法

SSEM隔离器的响应状态与图1所示的无阻尼系统响应状态类似，主要为四个状态：向下离开平横位置；向上靠近平衡位置；向上离开平衡位置；向下靠近平衡位置。分别对应图中的Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个区域。

为了使设备快速恢复到静平衡状态，在设备向下远离平衡位置时，电磁力表现为向上的排斥力；当设备向上远离平衡位置时，电磁力表现为向下的吸引力；当设备向下靠近平衡位置时，电磁力表现为向上的排斥力；当设备向上靠近平衡位置时，电磁力表现为上下的吸引力。

所以根据以上四种状态可以利用以下四个逻辑条件表示：

A、向下离开平横位置

xv>0,x<0,v<0,a>0;

B、向上离开平衡位置

xv>0,x>0,v>0,a<0;

C、向上靠近平衡位置

xv<0,x<0,v>0,a>0;

D、向下靠近平衡位置

xv<0,x>0,v<0,a<0.

式中:x为相对位移响应；v为相对速度响应；a为绝对加速度响应。

根据2.1节中所提及的控制原理和本节所提及的四个逻辑控制条件，可以获得SSEM隔离器的运动微分方程为

(9)

式中:f(x)为电磁力函数，其为分段函数，当电磁力为正，表示为排斥力；当电磁力为负表示为吸引力。用ψ表示x,v和a的状态，记做ψ=(x，v，a)。

(10)

由于Fd=mAd，F0=mA0，式中:m为质量块质量;Ad和A0分别为电磁力、基础激励力作用在质量块上的加速度，利用n表示电磁力-激励力的比值

(11)

利用MATLAB/Simulink模块进行数值模拟，并使用闭环反馈进行控制，也就是根据设备的运动方向进行冲击隔离控制。

2.3 方程解析解

为获得式(9)的解析解，对方程进行简化求解。无阻尼隔离系统在冲击激励作用下所产生的稳态响应解，可以近似看做隔离系统在一个较大初始位移条件下的自由响应过程。因此将式(9)中的基础激励项换算为初始位移条件

(12)

由于方程为非线性方程，引用文献[21]中的参数展开法进行求解。对方程中的几个参数进行级数展开，如下

x(t)=x0(t)+px1(t)+p2x2(t)+…

(13)

(14)

l=1+pa1+p2a2+…

(15)

l′=pc1+p2c2+p3c3+…

(16)

并令

(17)

将式(13)～式(16)代入式(9)中得

(18)

令

(19)

则

(20)

因为fp(q)为常数，所以

(21)

所以

fp(x)=fp(x0)

(22)

当p=0时，式(18)为线性方程

(23)

方程的初始条件为

(24)

则方程解为

x0(t)=B0coswt

(25)

所以

(26)

其中

(25)

接下来求解式(9)的一阶近似解。令式(26)展开式中的永年项为零，就需要令含有coswt项的系数和为零，所以取式 (26)中的第一项，并获得式(28)。

(28)

当p=1时，c1=1，a1=0。则非线性方程可转化为方程

(29)

式(29)对应的固有圆频率解和冲击响应周期解分别为式(30)和式(31)。

(30)

(31)

该解为方程的一阶近似解，通过相同的步骤能够继续推导出方程的高阶近似解，从而获得更为精确的解析解。由于高阶近似解求解过程繁琐这里不具体列出，通过一阶近似解同样能够了解冲击载荷幅值以及所设定电磁力对系统冲击响应的影响。接下来结合式(9)的数值计算结果来说明。

2.4 非线性方程数值求解

利用四阶龙格库塔方法求解SSEM隔离器的运动微分方程。这里首先对SSEM隔离器的相关参数进行定义，SSEM隔离器频率为10 Hz；基础激励载荷为半正弦加速度冲击，激励幅值为50g，冲击脉宽为5 ms。

2.4.1 控制方法α

根据冲击响应规律，结合SSEM隔离器原理设计一种闭环控制方法α，主要是对方程中的f(x)进行控制，其中条件函数为

(30)

式中：n为不同电压状态下的电磁力(n=0，1，2，3，…)，其中n=0时为电磁铁断电状态。利用四阶龙格库塔计算在控制方法α下的非线性式(10)，获得系统的冲击位移响应和加速度响应，这里以n取值为0，0.5，1.0和1.5为例，其冲击响应计算结果如图3和图4所示。

图3 冲击位移响应(方法α)Fig.3 Shock response of displacement by method α

图4 冲击加速度响应(方法α)Fig.4 Shock response of acceleration by method α

从图3可以看出，电磁力的存在使得系统在自由响应过程中的动平衡位置与静平衡位置不同，两者的相对距离随电磁力变化而变化。该响应特征与含库伦阻尼的线性系统响应特征相类似。因为在控制方法α的作用下，SSEM隔离器中的电磁力与线性系统的库伦力性质相同，两者在整个系统动态响应过程中都为恒值，而且其方向仅与运动方向有关。

从图4的加速度响应可以看出系统的的固有频率与比值n高度相关，随着n值的增大，系统自由响应频率响应增加，这是非线性系统才具有的属性。

由于系统控制方法是根据线性系统的响应曲线设定，从而保证了系统响应呈现线性规律。这就是虽然系统为非线性系统，但是系统响应频率不受振幅影响的原因。

根据计算结果可以发现位移及加速度响应在冲击结束后的一个周期内完成衰减，其抗冲击性能主要通过这个期间内的位移响应及加速度响应进行评估。通过观察图4和图5发现，虽然电磁力在冲击阶段及第一周期内较好地完成冲击缓冲，但是在第一周期过后，由于自由振动的存在，导致电磁力持续作用，不能快速回复到平衡位置，所以对该控制方法进行改进。通过设定定时函数，当时间到达0.1 s时自动取消电磁力作用系统开始自由振动，并在自由振动过程中加入黏性阻尼，使得系统快速恢复到平衡位置。

2.4.2 控制方法β

由于上述控制方法α虽然能够在冲击阶段及第一响应周期阶段有效地对冲击进行缓冲，但是不能够快速恢复到静平衡位置。所以基于方法α进行改善，提出方法β。其所对应的条件函数为

(31)

加上控制方法β后，所计算得到的冲击位移响应和加速度响应如图5和图6所示。

图5 冲击位移响应(方法β)Fig.5 Shock response of displacement by method β

图6 冲击加速度响应(方法β)Fig.6 Shock response of acceleration by method β

通过对比图3和图5，可以看出运用控制方法β后，系统能够逐渐向平衡位置靠近，在0.3内完成恢复到初始平衡位置。图6为系统运动相图，可以看出SSEM隔离器基本在冲击结束后的一个周期内完成恢复平衡位置。

改变冲击脉宽和激励力获得一系列缓冲系数相对于频率比和激励力幅值比的曲线。

通过观察图7可以发现，当n=1时，也就是电磁力与激励力相等时缓冲系数出现最小值，此时系统具有最优缓冲性能，对应缓冲系数为0.014。

图7 运动相图Fig.7 Motion phase by method β

图8 缓冲系数与n的关系Fig.8 Relation between isolation factor and ratio n

3 对比分析

理论上当电磁力与恒力相同时，半主动弹簧-电磁力系统所吸收的能量要大于恒力系统，但是在初始阶段系统承受较大能量就会导致加速度响应大，所以其抗冲性能不一定优于恒力系统；缓冲系数作为冲击隔离系统的抗冲击性能的一项重要标，通过分别计算恒力系统与SSEM隔离器在不同初始力与激励幅值比值下的缓冲系数，分别求得两者的最优缓冲系数，从而判别两者的优劣。

3.1 恒力缓冲装置

被动式恒力缓冲装置的优点是能够在振动过程中，最大程度地吸收振动能量，从而达到较好的隔振性能。恒力隔离器为强非线性系统，其固有频率与振幅高度相关，为说明两者之间关系，利用2.3节中的参数展开法对恒力系统方程进行求解。恒力系统方程如(34)所示

(34)

在方程中加入kx项(其中k=0)，则式(34)可转换为式(9)相类似的形式，则其对应周期解为式(31)。由于系统刚度k=0，导致固有频率w0=0，所以方程(34)的周期解为式(35)

(35)

(36)

式(35)为方程的周期解形式，且比值n1是关于Ah和B0的函数。所以从式(35)和式(36)可以看出，SSEM隔离器冲击响应周期与恒力值-激励幅值比n1相关，比值n1越大周期越小。为了进一步说明周期与比值n1的关系，这里列举n1分别等于0.5,1.0和1.5的例子。利用数值方法计算式(34)可获得如图9所示的冲击响应曲线。

图9 恒力装置冲击响应Fig.9 Motion phase by method β

从图9可以看出，恒力缓冲装置在不同冲击载荷作用下可能产生不同响应频率，这是不可预测的，可能会对舰船其它频率设备产生影响。

为了说明恒力缓冲装置的隔冲性能，同样引入系统缓冲系数η来对其隔冲性能进行评估。与分析SSEM隔离器的方法类似，由于恒力缓冲装置的隔冲性能主要由恒力Fh决定，同样引入变量n1，计算在不同恒力值-激励幅值比下恒力缓冲系统的系统缓冲系数变化规律，计算结果如图10所示。

图10 比值n1与缓冲系数关系Fig.10 Relation between ratio n1 and isolation factor

3.2 系统能量消耗

这里说明一下SSEM隔离器与恒力缓冲装置两者的吸收能量情况，从而了解不同隔振系统的耗能过程。如图11所示，箭头线为SSEM隔离的力-位移曲线。在图中，k1表示弹簧-电磁力系统弹簧刚度；k2为恒力隔离器等效刚度；k3为SSEM隔离器等效刚度；S1,S2和S3分别表示三个阴影部分的面积；F1为恒力隔离器的恒力，同时也为SSEM隔离系统的电磁力；xmax为系统最大响应位移；xlim为系统极限位移；其中S1=S2=0.5S3。

图11 隔离器力-位移曲线Fig.11 Force-displacement curve of isolator

如图11所示，假设不同隔离系统在冲击作用下的最大位移为xmax，那么基于能量等效的线性刚度计算方法，不同系统在变形过程中所吸收的能量等于力-位移曲线对位移x的积分，而且积分范围为0～xmax。所以恒力Fh对应的恒力隔离系统等效刚度为k2；SSEM隔离系统对应的等效刚度为k3。曲线BCDEFA为SSEM隔离系统的力位移曲线，当设备速度大于零时为ABC段，当速度小于零时为DEF段。而k1为SSEM隔离系统的弹簧刚度，由于电磁铁在不同工作状态下对系统恢复力产生影响从而致使系统力位移曲线发生变化。而且为了与恒力系统对比，将设置电磁力与恒力相同。恒力系统相对等效刚度的线性系统，在同一冲击作用下，恒力系统在冲击过程中所吸收的能量明显要大于线性系统 。

从图11可以看出，SEEM隔离器在速度大于零时候，系统所吸收的能量大于恒力系统；而且与被动线性系统不同，当靠近平衡位置时，由于电磁力的存在，系统在DE阶段仍然处于吸收能量的状态。所以弹簧-电磁铁系统所吸收的能量要大于恒力系统，能够更高效地吸收冲击能量，增加缓冲效果。

4 结 论

SEEM隔离器与被动式恒力缓冲装置同为非线性系统，其自由响应频率分别受到比值n和n1的影响。但是由于SEEM隔离器的条件控制，能够将系统响应频率控制在一定范围之内。而被动式恒力缓冲装置产生不同的周期，其所对应响应频率可能会与相同频率的舰船设备元件产生共振作用，从而破坏设备原件。通过对比SEEM隔离器与被动式恒力缓冲装置的隔冲性能可以得出以下结论：

(1)在冲击过程中，SSEM隔离器相对恒力缓冲装置能吸收更多冲击能量，并且其所产生的最优缓冲系数(ηs=0.014)比被动式恒力缓冲装置(ηh=0.164)小很多。

(2)安装有10 Hz的SSEM隔离器的设备，在幅值为50g、脉宽为5 ms的加速度冲击载荷作用下，能够在0.3 s内恢复到初始平衡位置。

(3)被动式恒力缓冲装置加入阻尼后，会增加原有系统的系统缓冲系数；而SSEM隔离器在冲击阶段吸收能量后再加入阻尼作用快速恢复到初始平衡位置，保持了原有的最优缓冲系数。