Lüscher公式等价性证明*

荔 宁，高探彪

(西安工业大学 理学院，西安710021)

自然界中有四种基本相互作用，即强相互作用、电磁相互作用、弱相互作用及引力相互作用。低能强子-强子散射在研究强相互作用的研究中占据重要地位。由于强相互作用的非微扰性，需要用到非微扰的方法。目前为止，格点量子色动力学是公认的从量子色动力学第一性原理出发来研究强相互作用的非微扰理论。LÜSCHER建立了一个非常重要的“Lüscher公式”。用于在格点上数值研究低能的强子-强子散射，将有限体积内的两粒子能量与连续空间中的两粒子的散射相移联系起来[1-4]。通过在格点上数值计算两粒子关联函数提取两粒子能级，同时可以通过实验的手段测量连续空间中两粒子散射相移。Lüscher公式的提出，促使人们在格点上通过淬火以及非淬火的组态来研究强子-强子散射[5-10],开创了人们在格点上研究强子-强子散射的可能性。但是由于原始的Lüscher公式基于非相对论量子力学，而格点量子色动力学是一个基于量子场论的理论。因此，论证Lüscher公式在量子力学和量子场论中的等价性就显得尤为重要。

文献[11]证明了自旋为零的介子-介子的散射。这一论证在使用Lüscher公式的时候有一些局限性，这是由于实际的研究中，经常会碰到散射粒子带自旋的情形[12-14]。非常典型的例子为K介子和核子的散射，这两个粒子的自旋分别是0和1/2,而研究两粒子散射有助于研究Λ(1405)共振态。另一个非常典型的例子为核子-超核的散射，例如：N,Σ的散射以及N,Λ的散射，这两个散射粒子的自旋均为1/2,而对于核子-超核散射的研究与核物质的形成以及中子星的形成密切相关。本文基于文献[1]，将等价性证明推广到自旋0-1/2(介子-重子)的散射以及自旋1/2-1/2(重子-重子)的散射，论证带自旋粒子散射的Lüscher公式在两种理论的基础上是等价的。

1 Lüscher公式

由文献[15]可知量子力学和量子场论下的Lüscher公式分别为

1.1 非相对论性量子力学下的Lüscher公式

介子-重子散射，即自旋为0和1/2粒子的散射的Lüscher公式

(1)

(2)

其中J为总角动量的量子数，而

(3)

式(3)中的K为约化矩阵。散射矩阵元S和散射相移之间的关系为

(4)

将式(4)代入式(1)，可得量子力学下Lüscher公式的简化形式

|tanδJlKJMl;J′M′l′-δJJ′δMM′δll′I|=0

(5)

其中I为单位矩阵。

1.2 量子场论下的Lüscher公式

介子-重子散射也就是自旋为0和1/2粒子的散射的Lüscher公式

(6)

(7)

式中:E为两粒子的总能量；FFV和非相对论量子力学中的约化矩阵K的关系为

(8)

2 等价性证明

两粒子的四动量标记为P=(E,P)，将其推广到质心系下可得到四动量的形式为P*=(E*,0)，而初始的两粒子三动量形式分别是q*和-q*，本节主要计算量子场论形式下的散射振幅。文献[1]中给出了非相对论情形下的散射振幅MNR和散射矩阵T之间的关系如下

(9)

根据能量守恒可以得到q*=|q*|=|q′*|，其中TNR(q*,q′*)是在壳的跃迁矩阵，根据波恩展开可得

TNR(q*,q′*)=V(q*,q′*)+

(10)

(11)

量子场论中的散射振幅通过两粒子关联函数(四点关联函数)得到，即iG(q,P-q,-q′,-P+q′)，具体形式为

iG(q,P-q,-q′,-P+q′)=

iKqk1G2(k1)iKk1k2G2(k2)…iKknq′

(12)

式中:G2(k)=G(k)G(P-k)，G(k)为重子的传播子;G(P-k)为介子的传播子。具体形式为

(13)

(14)

(15)

(16)

C(k*)=(k0γ0+m1)|k0=ω1k

(17)

(18)

(19)

(20)

通过引入势

k′*)||k*|=|k′*|=q*

(21)

由于k*=q*,因此,两个粒子均属于在壳的粒子。通过关系式

(22)

可以得到

(23)

由此可以将式(1)写成如下形式

(24)

通过对比式(10)和式(24)，可以得到量子场论和量子力学下的散射振幅的关系式为

M(q*,q′*)=8πE*C-1(q*)MNR(q*,q′*)

(25)

(26)

其中C-1(q*,q′*)为C(q*,q′*)的逆矩阵。

将式(25)和式(7)代入式(6)，由于散射振幅关于轨道角动量是对称的，因此，可以将(6)式简化为

(27)

通过和量子力学下的Lüscher公式(6)作对比，可以发现，量子力学下的Lüscher公式与量子场论下的Lüscher公式是等价的。

3 结 论