数学模型在西安市人口预测中的应用*

高 梅,康宝生,曹黎侠

(1.西北大学 信息科学与技术学院，西安 710127；2.西安工业大学 理学院，西安 710021)

近年来，随着我国人民的物质文化和精神生活水平的不断提高，大量人口向城市集聚，导致城市人口不断增长，从而引发资源、环境与发展等各类问题。为了保证城市的可持续发展，城市人口分布和增长速度必须趋于合理。对城市本身来说，城市的用地规模、城市的布局以及城市基础设施的组成和规模均与城市人口规模有着十分密切的关系。城市人口规模预测合理与否，将对城市的建设和发展产生重要的影响[1-2]。

人口预测是一个国家或者地区根据规划区域人口现状和对影响人口发展的各种因素的假设，对未来某段时间人口规模、趋势和水平所做的预报的技术或方法。城市人口预测是城市总体规划的首要工作，准确的预测未来人口的发展趋势，对于确定城市规划的目标和具体技术指标，制定合理的人口布局方案和人口规划，保证和促进人口、资源、环境与经济相互协调发展具有重大的理论意义和现实意义。然而，影响人口发展过程的因素很多，要想将这些因素均准确地包含在预测范围内，显然比较困难。人口预测的方法有很多，如传统人口预测方法包括平均增长率法、带眷系数法、剩余劳动力转化法和劳动平衡法等；现代人口预测方法包括线性回归法、马尔萨斯人口模型和Logistic增长模型等[3-5]。本文通过西安市统计局官网的西安市往年人口发展变化的实际统计资料[2]，建立马尔萨斯人口模型[6-8]和Logistic模型[9-11]并加以分析比较，对西安市人口规模在未来20年的发展做出预测，试图为本市的经济建设和社会发展的决策提供思考。

1 西安市人口现状描述与分析

根据2016西安统计年鉴[2]：2015年年末西安市常住人口870.56万人，比上年末净增加7.81万人，其中，男性人口446.91万人，占总人口的51.3%；女性人口423.65万人，占总人口的48.7%，性别比例为105.51∶100 (女性以100为基准，男性对女性的比例)。全年出生人口8.80万人，出生率为10.15%；死亡人口4.78万人，死亡率为5.51%；自然增长率为4.64%。城镇人口635.68万人，占73.02%；乡村人口234.88万人，占总人口的26.98%。年末全市户籍总人口815.66万人，比上年增长0.05%。与2005年相比，这10年西安市共增人口74.00万人，平均每年增长人口7.40万人。从1985-2015年，西安市人口总数(见表1)来看，总人口始终处于增长状态。

表1 西安市1985-2015年历年总人口表Tab.1 Total populatiou in Xi’an in 1985-2015

注：数据来源于西安市统计年鉴和统计公报。

人口指标的变化情况如图1所示，从图1可看出，西安市的人口自然增长率状态大体上呈下降的趋势，1985-2001年的人口自然增长率状态呈现不规律变动。其中，1989年和2000年两次出现峰值，第一次出现峰值之后的下降主要得益于计划生育政策的落实，第二次出现峰值之后下降再上扬是由于前一时期人口出生高峰的效应。从2001-2015年，人口自然增长率基本处于平稳状态。

图1 西安市1985-2015人口指标变化Fig.1 Demographic change in Xi’an in 1985-2015

2 模型预测

西安市的比较完整的人口统计资料为人口预测提供了较为充分的依据。本文选择西安市1985-2015年的统计数据来建立模型，采用马尔萨斯人口模型和Logistic模型两种方法来预测西安市未来20年内的总人数。

2.1 马尔萨斯人口模型

英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了著名的基于指数增长的人口模型。该模型假设人口的增长率为常数，即人口随着时间的增加按指数规律无限的增长。

假设在t时刻(单位以年记)人口为P(t)，则人口的增长率dP(t)/dt由出生率B(p,t)和死亡率D(p,t)来决定。假定B(p,t)和D(p,t)不随着时间的变化而变化，即相对于t来说，B(p,t)和D(p,t)为常数，从而有B(p,t)=B(p)和D(p,t)=D(p)。假设1 000个人中每年有50个小孩出生，那么文中认为2 000个人中每年有100个小孩出生是合理的，则出生率与人口成正比。设出生率为R1，死亡率为R2，则有B(p,t)=B(p)=R1P(t)，同理，D(p,t)=D(p)=R2P(t)。此处R1和R2均为大于0的常数，一般来说R1-R2>0。

由以上的叙述可以得出

假设在基年t0时的人口数量是P(t0)，则对dP(t)/dt=αP(t)进行积分，可以解出P(t)=P(t0)eα(t-t0)，即为马尔萨斯人口模型[3]。

西安市1985-2012年的年平均人口自然增长率为7.13%，设定预测期内人口自然增长率做高、中、低3个方面预测。其中，高方案认为：2013-2036年西安市人口自然增长率为1985-2012年的年平均人口自然增长率7.13%；低方案认为：2013-2036年西安市人口自然增长率为1985-2012年的自然增长率的最小值3.10%；中方案取高方案和低方案的平均值5.12%。

对应上述3种人口自然增长率的方案，以2012作为基准年，以2013-2015年的数据来检验模型，根据马尔萨斯人口模型，通过Matlab求解，得到3种方案下的预测值，将预测值与实际值进行比较，结果如图2所示。

图2 西安市2013-2015年总人口3种方案预测Fig.2 Three schemes for forecasting Xi’an’s total population in 2013-2015

比较上述3种方案发现，高方案的预测值与实际人口数值误差最小，研究认为高方案的预测比较符合西安市未来人口发展的动态趋势。因此，运用马尔萨斯人口模型时选用高方案来预测西安市2016-2036年的总人口数。

2.2 Logistic模型

由马尔萨斯人口模型可知人口将无限增加，这显然是不可能的，当人口增长到一定数量后增长率就会下降，原因是自然资源、环境、食物、医疗卫生等因素对人口的增长起阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用会越来越大，所以荷兰生物数学家VERHULST于1837年提出增加竞争项：-bP2,将马尔萨斯人口模型改进为Logistic模型[3]：

(1)

为了计算模型中的a,b，选择t0,t1,t23年的数据P0=P(t0)，P1=P(t1)，P2=P(t2)，其中t1-t0=t2-t1=f，代入式(1)有：

本文选择间距相等的3个年份(1986年、1999年和2012年)，总人口分别为P(1986)=564.0万人,P(1999)=674.5万人,P(2012)=795.9万人,计算得a=0.033 6,b=3.6×10-5,代入式(1)得西安市人口增长的计算式为

(2)

根据式(2)，以2013-2015年的数据来检验模型。运用Logistic模型，通过Matlab求解，得到预测值，将预测值与实际值进行比较，结果如图3所示。

2.3 两种模型的验证情况

本文利用西安市1985-2012年统计数据建立预测模型，预测2013-2036年的人口发展规模，通过比较2013-2015年的人口预测值与实际统计值，得出预测误差的大小，见表2。

通过误差对比分析，马尔萨斯人口模型的平均相对误差为0.65%，Logistic模型的平均相对误差为0.94%，说明两种模型均可以较好的模拟预测，但前者比后者的误差更小，模拟精度更好，故本文选用马尔萨斯人口模型来预测2016-2036年的人口。

图3 西安市2013-2015年总人口数预测Fig.3 Prediction of Xi’an’s total population in 2013-2015

表2 两种模型的预测值及误差Tab.2 Predicted values and residue errors obtained by the two models

3 未来人口的预测结果

本文采用马尔萨斯人口预测模型中的高方案来预测2016-2036年的人口，预测结果见表3，在2026年总人口数达到882.3万人，2016-2026年平均年净增长为5.52万人，到2036年总人口数达到947.5万人，2026-2036年平均年净增长为5.93万人，说明人口增长呈现较稳定的状态。

表3 西安市2016-2036年人口预测值Tab.3 Prediction of Xi’an’s total population in 2016-2036

4 结 论

本文通过建立马尔萨斯人口模型和Logistic模型，并用这两种模型分别对西安市2013-2015年人口规模进行了预测，通过2013-2015年实际人口与预测人口数进行对比发现：

1)马尔萨斯人口模型和Logistic模型均能满足预测精度要求。

2)与Logistic模型相比，马尔萨斯人口模型的相对误差较小，原因在于本文预测的时间较短，研究的年份较少，所以可以获得良好的预测效果。对于长期的人口预测而言，Logistic模型是更为合适的模型。

3)预测得到2036年西安市的人口规模将达到947.5万人，这是仅从历史数据的变化趋势所做出的预测，未考虑国家放开的二孩政策，西安入围国家中心城市等因素，这些因素将使得西安市实际的人口规模可能超过预测的人口规模。

综上所述，人口增长会受多种因素的影响，任何一种模型均不能完整地预测其发展情况，具体采用何种模型可得到理想的结果，应当按照实际情况加以选择。