2018年全国Ⅰ卷理科数学第16题的变式探究

福建省福清龙西中学 (350315)

施家贵

历年高考都会涌现出一系列的好题,吸引着人们对其进行研究拓展，18年全国卷Ⅰ理科数学第16题就是其中比较醒目的一道，本文拟从系数、函数名、指数三个方面对该题做变式探究.

试题再现已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是.

本题表述简洁，考查内容丰富，以三角函数为背景，考查三角函数求导、利用导数处理最值问题等知识，考查转化化归思想、推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，体现了数学运算、数据处理等核心素养.

试题探源本题来源于人教A版必修4教材第147页复习参考题A组第11题的第1小题：已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)，求f(x)的最大值.将函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)变为f(x)=2sinx(1+cosx)，再还原为f(x)=2sinx+sin2x，并把所求“f(x)的最大值”变为“f(x)的最小值”，把解答题变为填空题，即可得高考试题.[1]

思考1(变换系数):将函数f(x)=2sinx+sin2x中的两个系数2变换为3，可得如下难度升高的试题：

变式1 已知函数f(x)=3sinx+sin3x，则f(x)的最小值是.

点评:本解法的关键是：一“转化”，利用函数周期的定义，将f(x)在R上的最小值问题，转化为求解f(x)在区间[0,2π]上的最小值；二“求导”，求解f′(x)=0在区间[0,2π]上的根，求出根所对应的函数值与端点值进行比较，得到f(x)在R上的最小值.此法是求解三角函数最值问题通用的方法，较利用基本不等式对f(x)进行放缩的方法而言，思维跨度小，学生易于接受.

思考2(变换函数名):将函数f(x)=2sinx+sin2x的正弦函数名依次变换为余弦函数名，可分别得到如下三个变式：

变式2 已知函数f(x)=2cosx+sin2x，则f(x)的最小值是.

变式3 已知函数f(x)=2sinx+cos2x，则f(x)的最小值是.

变式4 已知函数f(x)=2cosx+cos2x，则f(x)的最小值是.

点评:类似于变式1，将上述三个变式中的系数2替换为其他常数，可衍生出其他问题.

思考3(变换指数):将函数f(x)=2sinx+sin2x中系数2的位置做变换，可得到如下两个难度较低的变式：

变式5 已知函数f(x)=sin2x+sin2x，则f(x)的最小值是.

变式6 已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是.

点评:类似于变式3，将变式2-4中系数2的位置做变换，同样可衍生出一系列类似问题.

至此，我们实现了原试题多角度、多方位的探究.高考试题常考常新，但万变不离其宗，研究历年高考真题，对其进行多方位的探究，不失为提升解题境界，跳出“题海”的一个行之有效的途径.

笔者将这上述探究过程在课堂上展示给学生，由几何画板动态演示函数不同系数时的图像，培养学生的直观想象核心素养；针对不同的函数模型，选择最有效的方法求解其最值，培养了学生的数学建模核心素养；在问题的求解中，培养学生数据处理、逻辑推理和数学运算核心素养.