“问题串”在高中数学概念教学中的应用*

广东省惠州市第一中学 (516007)

余 军

1.引言

数学概念是数学学习的起点，是构成定理、法则、公式的基础，是学好其它数学知识的前提.对于数学学科而言，数学概念就有如楼之地基，水之源头[1].在实际教学中，不少数学课堂教学重解题轻概念,有的教师还是刻意的追求概念教学的最小化和习题教学的最大化,并誉名“快节奏、大容量”.实际上这是应试教育下典型的舍本逐末的错误做法，这也是造成学生低效学习的一大原因.那么，数学概念教学应该如何更好的进行呢？笔者在教学实践中发现，教师可以设计“问题串”来促进数学概念的有效生成，数学问题通过“问题串”的形式来对某种数学概念进行表达，有助于揭露数学概念的本质.“问题串”的教学形式能够很好地使学生了解、掌握概念的形成过程及其结构.“问题串”的设计目的是加强学生的自主学习能力，从而培养学生的学习兴趣，提升学生思维品质和数学素养，并使学生能够积极参与到教师的课堂教学交流中来.

2.“问题串”的概念

对于“问题串”的定义，笔者搜索了相关的参考文献，借鉴了何敏老师的定义[2]，并增加了自己对“问题串”的理解.“问题串”是指在一定的学习范围和主题之内，教师围绕一定目标或某一个中心问题，按照一定的逻辑结构而精心设计的一组问题.通过几个问题的前后联系以及解决这些问题的方法的变化，形成一种更高层次的思维方法，以达到对问题本质的了解、问题规律的掌握、知识技能的巩固、思维的拓展与迁移等目的.

3.“问题串”在数学概念教学中的应用

以笔者的教学实践来看，在数学概念课上使用“问题串”的情况是比较多的,数学概念和命题是最重要的数学基础知识之一,很多问题都是由它演变而来,它反映了数学对象的本质属性.我们知道每一个数学概念都具有两个作用,一是判断作用,二是性质作用,即我们从任何一个数学概念,都可得到两个真命题,教师要引导学生体会到直接利用概念的两个作用来解决问题,将一些原本复杂的题目转变成简单的判断型或应用型题目,加深学生对概念的理解.对数学概念的教学,既要把握它的内涵,又要了解它的外延.这样才有利于学生对概念的理解[3].对于概念中的各项规定,各种条件,都要逐一认识,综合理解,使之印象清晰,掌握牢固.

下面以人教版必修2中“直线的点斜式方程”一课为例，阐述“问题串”在数学概念教学中的应用：

3.1 教学构思

本节课是学生在学习了《直线的倾斜角和斜率》和《两条直线平行与垂直的判定》的基础上，学习直线方程单元序列的第一课时《直线的点斜式方程》，知识储备充分，过渡自然合理，求曲线方程的一般方法和解析几何的思想开始渗透.

在学习本节课之前，学生刚刚学习了直线的斜率与倾斜角的概念，经历了探索确定直线位置的几何要素的过程，“(已知)一个点和直线方向(斜率)”就是学生已经熟悉的条件之一；过已知两点的直线的倾斜角(几何意义)可以用斜率(数)刻画，这为探索直线的点斜式方程奠定了知识基础；学生之前经历了探索用代数方法表示直线斜率(几何意义)的过程，为探索直线的点斜式方程提供了可借鉴的探索经验.

本节课设想通过数学“问题串”的设计，让学生探索并自然得出直线点斜式方程的一般形式，并从中渗透求动点轨迹的一般方法，同时通过“问题串”强化方程纯粹性和完备性的分析，培养学生建立推导曲线方程的严谨性意识，最后再设置“问题串”来巩固新课知识.

限于篇幅，舍去了教学目标，教学重难点等内容，着重说明教学过程的片段设计.

3.2 教学设计

3.2.1 复习导入

回顾2：下列判断正确的有.

(1)任何一条直线都有一个对应的倾斜角；已知直线的倾斜角可以确定一条直线；

(2)任何一条直线都有对应的斜率；

(3)经过两定点可确定一条直线；

(4)已知直线上一点和直线的斜率(或倾斜角)可确定一条直线.

解析：(1)任何一条直线都有一个对应的倾斜角，但倾斜角相同的直线有无数条，它们互相平行，所以已知倾斜角一个几何要素确定不了一条直线(的位置)，故(1)错误；(2)倾斜角为90°的直线没有斜率，故(2)错误；(3)，(4)正确.

问题1既然由(3)(4)可以确定一条直线，并且平面直角坐标系内的一个定点可以用坐标即一个有序的实数对来表示，那么直线如何用代数形式来表示呢？

解析：结合初中所学的关于一次函数的图像为一条直线的事实，引导学生形成一个关于直线代数形式的初步印象——关于x,y的二元一次方程.

设计意图：在学生此前已获得的知识储备和已有的认知水平的基础上，通过基本公式回顾和设置一些问题来为新课引入做好准备，不但列出接下来点斜式方程推导过程当中所需要的公式基础，而且通过设问提到一次函数的图像为直线，也在思维上给学生做好铺垫，即本节课所推导出的直线的代数形式为关于x,y的二元一次方程.

3.2.2 直线的点斜式方程的推导

问题2若直线l过定点A(-1,3),斜率为-2,由(4)可知直线l就确定了，请完成以下问题：

(1)写出直线l上除A点之外任意一点B的坐标，能否用数字写完直线l上所有点的坐标？

(2)若在直线l上任取除A点之外的一点P(x,y),试写出有序实数对(x,y)所满足的关系式.

解析：(1)因直线l上有无数个点，故用数字不能写完直线l上的所有点，只能去探求直线l上所有点所满足的一般规律(或关系式)；

问题3将问题2推广，若定点A的坐标改为一般的已知点(x0,y0),设直线l的斜率为k,则在直线l上的一个动点P(x,y)所满足的关系式又是什么？

问题4由以上问题3可知，直线l上的任意一点都是方程(*)的解；反之以方程(*)的解为坐标的点，是否都在直线l上呢？

答：说明直线P1A的斜率和直线l的斜率相同，即它们的位置要么平行，要么重合，非此即彼.由于P1A与l有一公共点A，所以P1A与l不会平行，只会重合.也就是说点P1只能在直线l上.

若要是点A(x0,y0)与点P1(x,y)重合呢，毫无疑问，点P1(x,y)肯定在直线l上.故以方程(*)的解为坐标的点都在直线l上.经过定点A(x0,y0)斜率为k的直线l的方程为：y-y0=k(x-x0).这个方程是由直线上一定点及其斜率确定，所以我们把它叫做直线的点斜式方程.

问题5点斜式方程能表示所有的直线吗？若不能，此时该直线怎么表示？

解析：特例1：当直线l的倾斜角α=0°时，即k=0，则直线l的方程：y-y0=0(x-x0),即y=y0.

特例2：当直线的斜率不存在，即倾斜角α=90°时，直线l与x轴垂直，l上每一点的横坐标都为x0,此时直线的方程为x=x0.

设计意图：通过一系列“问题串”的设置，本着“从特殊到一般”的认识规律，逐步引导学生探索并导出直线点斜式方程的一般形式，并从中渗透求动点轨迹的一般方法以及推导曲线方程的一般过程，为后续直线其它形式方程及圆的方程甚至于圆锥曲线方程的学习奠定基础；同时通过对点斜式方程纯粹性和完备性的分析培养学生建立推导曲线方程的严谨性意识.

3.2.3 直线的点斜式方程的应用

例1 已知直线经过点P(-2,3),斜率为2,求这条直线的方程.

问题6由以上可知：直线l:y-3=2(x+2),即y=2x+7，所以直线的点斜式方程可以转化为y=kx+b的形式，现在我们知道x的系数k表示直线的斜率，那么b的含义是什么呢？

解析：当x=0时，y=b，故直线y=kx+b与y轴的交点坐标为(0,b)，故当直线的斜率为k且过点(0,b)时其方程就为y=kx+b,即y-b=k(x-0),所以也是由点斜式方程变形而来的.即为点斜式方程的一种特殊形式.

3.2.4 直线的斜截式方程

如果直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则直线l的方程：y-b=k(x-0)，即y=kx+b，把b称为直线l在y轴上的截距,y=kx+b称为直线的斜截式方程.

问题7斜截式方程能表示所有的直线吗？截距是否等同于距离？

解析：(1)同点斜式一样斜截式方程不能表示斜率不存在即与x轴垂直的直线；

(2)截距b不是距离的意思，是直线与y轴交点的纵坐标，是一个可为正、负、零的数.

例2 已知直线过点(0,-1)，且与直线y=3x-2平行，求该直线的方程.

解析：所求直线的斜率为3，截距为-1，则所求直线的方程为：y=3x-1.

变式已知直线过点(0,-1)，且与直线y=3x-2垂直，求该直线的方程.

设计意图：强化并巩固新课知识，让学生自然的感受到斜截式方程来自于点斜式方程，斜截式方程是点斜式方程的特例，让学生体会它们之间的联系.当直线与y轴交点坐标已知时，利用斜截式方程求解更简捷.

3.2.5 课堂小结

(1)直线的点斜式方程(已知直线的斜率及直线上一点)：y-y0=k(x-x0).

适用范围：不能表示斜率不存在(即与横轴垂直)的直线；

(2)直线的斜截式方程(已知直线的斜率及截距)：y=kx+b.

适用范围：不能表示斜率不存在(即与横轴垂直)的直线.

3.2.6 思维拓展

问题8下列直线方程各表示什么几何特征的直线？

(1)y=2x+m,(2)y=kx+2,(3)y=kx+2k-3.

解析：(1)表示斜率为2的平行直线系，(2)表示截距为2的共点直线系，(3)表示恒过定点(-2,-3)且斜率存在的直线系.

设计意图：对已有的问题进行变式拓展，能开阔学生的解题思路，激起学生的求知欲和学习兴趣，而强烈的求知欲和浓厚的学习兴趣是创新能力发展的内在动力.

3.2.7 课后作业

必做题:课本(人教A版必修2)P95页练习1，2，3.

选做题 1.a为何值时,直线l1:y=-x+2a，与直线l2:y=(a2-2)x+2平行?

2.求过点P(3,-2)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程.

设计意图：练习的设置有梯度，有层次感，适合不同层次的学生学习，体现分层教学.选做题是两道开放性题目，有助于培养学生的发散思维，为学有余力的学生安排的.从而体现了新课程理念：以学生为本，让不同的学生在数学学习上得到不同的发展.

3.3 教学设计评析

笔者认为教学中，所设计的问题应当符合学生的实际，否则，如果问题过大、过难，学生往往无从下手，难以形成有效的探究活动；同样道理，问题也不能过小、过碎，这样的引导，在很大程度上就失去“发现”的意义．因此，所设计的“问题串”，要留给学生恰到好处的思维空间，而且所设计的“问题串”，不仅包含知识层面，还应包含认知层面.

本节课通过一系列“问题串”的设计，本着“从特殊到一般”，再从一般到特殊的认识规律，符合学生的认知特点.首先从学生熟悉的直线的“形”入手，转为用斜率进行“数”的表达，反过来再分析所得“数集”与原图形的对应关系.本节课让学生经历几何问题代数化、代数形式几何化的转变过程是教学关键，理解直线的点斜式方程及形成过程是教学重点，正确认识新出现的“直线的方程”概念是教学难点.通过“问题串”强化并巩固新课内容，让学生更深刻的掌握数学知识.

4.结束语

“问题是数学的心脏”，在数学教学中“问”是很重要的，也是很有技巧的.数学教学应该围绕着数学问题进行，数学教学过程应贯穿于提出问题和解决问题的始终.“问题串”在高中数学概念教学中的应用正体现了：数学课堂教学设计的理念应完成由知识主线到思维活动主线再落实到问题为主线的转变.数学课堂“问题串”教学既有利于学生提高学习效率和学习能力，也有利于激发和强化学生学习的动机.通过探究问题和情境的设置，能够充分调动学生学习的能动性，还能够提高学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，从而能够有效地将数学概念的掌握与数学能力的提高进行有机的统一.由此可见数学课堂“问题串”教学是一种高效的教学，可以减轻学生学习的负担，使学生学得主动而快乐，符合数学教学新课程改革的要求.因此，我们应学会用“问题串”，善用“问题串”，用好“问题串”，努力为教育事业拓展一片新的世界.