一类三阶非线性分布时滞动力方程的振动结果

惠远先 ，李培峦 ，戴丽华

（1.广州大学数学与信息科学学院，广东广州510006；2.普洱学院数学与统计学院，云南普洱665000；3.河南科技大学数学与统计学院，河南洛阳471023）

0 引 言

微分方程的振动理论是微分方程定性理论一个比较成熟的分支,在机械振动、生物制药、控制工程、力学等领域具有广泛的应用。

考虑一类三阶广义Emden-Fowler型分布时滞方程

的振动性。方便起见,记Z(t)=x(t)+并假设下列条件成立：

(H1)0＜α≤ 1,β＞ 0,γ＞ 0,且α,β,γ为2个正奇数之商;

定义1若动力方程(1)的一个非平凡解有任意大的零点,则称其为振动解,否则为非振动解。若动力方程(1)的所有解均振动,则称该方程是振动的,否则为非振动的。

近年来,Emden-Fowler型微分方程广泛应用于物理学和工程领域,其振动理论广受关注,成果颇丰[1-15]。PHILOS[1-2]建立了经典Emden-Fowler方程

的若干振动准则;SUN等[3]和BACULIKOVA等[4]给出了方程

的振动结果;文献[5-9]研究了方程

的振动性质;文献[10-15]给出了三阶Emden-Fowler时滞动力方程的若干振动性质。

本文利用广义Riccati变换和不等式技巧,给出方程(1)在0＜α≤1,β＞0,γ＞0下的若干新的振动定理,所得结果不仅将文献[1-9]的研究对象拓展到了三阶情形,而且将文献[10-15]中的振动性质由α=1,β=γ＞0推广到0＜α≤1,β＞0,γ＞0,最后给出了若干例子来验证结论的有效性。

1 相关引理

引理1设x(t)是方程(1)的最终正解,则Z(t)有以下2种可能：

(Ⅰ)Z(t)＞ 0,Z′(t)＞ 0,Z″(t)＞ 0;

(Ⅱ)Z(t)＞ 0,Z′(t)＜ 0,Z″(t)＞ 0。

证明设x(t)是动力方程(1)的最终正解,由Z(t)的定义可得Z(t)≥x(t)＞ 0,

[r(t)|Z″(t)|β-1Z″(t)]'=[r(t)(Z″(t))β]'=

则r(t)|Z″(t)|β-1Z″(t)单调递减且最终定号,因此有Z″(t)＞ 0或者Z″(t)＜ 0两种情形。

假 定Z″(t)＜0, 由 条 件 (H1) 知 ,-r(t)x(-Z″(t))β＜0,故存在一个充分大的正数t1及K1＞ 0,使得

整理得

上式两边从t1到t积分,可得

令t→+∞,由条件(H2)知,Z′(t)→-∞,所以存在t2＞t1及正数K2＞ 0,使得

两边从t2到t积分得

令t→+∞,则Z(t)→-∞,这与Z(t)＞0矛盾,于是Z″(t)＞ 0成立,所求得证。

引理2设X,Y为非负实数,则当0＜λ≤1时,Xλ+Yλ≤ 21-λ(X+Y)λ。

证明由函数f(x)=xλ(0＜λ≤1)的凹凸性便可证得,此略。

引理3[9](Bernoulli不等式) 对任意实数x＞-1,当0≤r≤1时,(1+x)r≤1+rx;当r≤ 0或r≥ 1时,(1+x)r≥ 1+rx。

引理4[16]设存在2个非负函数A＞0,B＞0和θ＞ 0,则

引理5设x(t)是动力方程(1)的最终正解,Z(t)满足引理 1条件(Ⅰ),则

其中,

证明由Z(t)的定义、条件(Ⅰ)、(H3)、(H4)及引理2、引理3可得

由 条 件 (Ⅰ)知 ,Z(t)＞0,Z′(t)＞0, 所 以Z(δ(t,c))≥Z(δ(t1,c)),t≥t1。 记Z(δ(t1,c))=k＞ 0,则Z(δ(t,c))≥k,t≥t1。于是

令

则由方程(1)可得式(2)成立。

引 理 6[3]设Z(t)＞0,Z′(t)＞0,Z″(t)＞0,Z‴(t)≤0,t≥T0,则存在η∈(0,1)和Tη＞to,使得

引理7设x(t)是方程(1)的最终正解,且Z(t)满足(Ⅰ),若存在函数ρ(t)∈C1([t0,∞),R+)且做广义Riccati变换

则可得一类广义Riccati不等式

其中,

证明由ω˜(t)的定义及引理5、引理6可得

(ⅰ) 当γ＞β＞ 0时,

由 方 程 (1)知 ,[r(t)Z″(t)β]'=r′(t)Z″(t)β+β⋅r(t)(Z″(t))β-1Z‴(t)≤ 0, 因 为β＞ 0,r(t)≥0,r′(t)≥ 0,Z″(t)＞ 0,故当t充分大时,Z‴(t)≤ 0,从而

从而

故可得当γ＞β＞0时,广义Riccati不等式

(ⅱ)当β≥γ＞ 0时,

同样,由Z‴(t)≤ 0知,Z″(t)单调递减,故存在充分大的T2＞t2,使得

故

于是得到β≥γ＞0时的广义Riccati不等式

现 记T=max{T1,T2},λ=min{β,γ},m=综合上述(i)和(ii)可得,当β＞0,γ＞ 0时广义Riccati不等式(3)成立。

引理8设x(t)是方程(1)的最终正解,Z(t)满足引理1条件(Ⅱ),若则

证明x(t)是方程(1)的最终正解,Z(t)满足引理 1条件(Ⅱ)。因为Z(t)＞ 0,Z′(t)＜ 0,则由单调有界定理可知则l≥ 0。

假设l＞0,由于存在,记则对任意小正数可得l＜Z(t)＜l+ε,0 ≤p(t)＜ε,从而

两边关于s从t到+∞积分得

两边关于u从t0到+∞积分,关于v从T到+∞积分得

2 主要结果

定理1假设条件(H1)～(H5)及式(4)成立。若

则方程(1)的任意解振动或收敛于0。

证明假设x(t)为方程(1)的任意非振动解,不失一般性,可设x(t)是动力方程(1)的最终正解。当Z(t)满足引理1情形(Ⅰ)时,由引理7可得式(3)成立,再由引理4得

两边从T到t积分得

令t→ +∞,由式(5)可得ω˜(t)→ -∞,这与ω˜(t)＞0矛盾,从而x(t)为方程(1)的振动解。

当Z(t)满足引理1情形(Ⅱ)时,由式(4)和引理8知所求得证。

假设ρ(t)=δ(t,c),定理1则为推论1。

推论1假定条件(H1)～(H5)及式(4)成立。若

则方程(1)的任意解振动或收敛于0。

下文将利用Philos型积分平均条件,给出方程(1)的若干新的振动结果。为此令

若满足：

(iii)存在ρ(t)∈C1([t0,∞),R+),

h(t,s)∈C(D0,R),使得定理2假定(H1)～(H5)及式(4)成立。若

则方程(1)的任意解振动或收敛于0。

证明假设x(t)为方程(1)的任意非振动解,不失一般性,令x(t)为动力方程(1)的最终正解。当Z(t)满足引理 1 情形(Ⅰ)时,由引理 7知,式(3)成立,两边同乘以H(t,s),且两边从T到t(t＞T)积分得

整理得

与式(7)矛盾,从而x(t)为动力方程(1)的振动解。

当Z(t)满足引理1情形(Ⅱ)时,由于式(4)成立,由引理8知所求得证。

取H(t,s)=(t-s)n,则定理2可简化为Kamenev型振动结果：

推论2假定(H1)～(H5)及式(4)成立。若

则方程(1)的任意解振动或收敛于0。

定理3假设(H1)～(H5)及式(4)成立。若

其中,A+(s)=max{A(s),0},则方程(1)的任意解振动或收敛于0。

证明设x(t)为方程(1)的任意非振动解,不失一般性,可设x(t)是动力方程(1)的最终正解。当Z(t)满足引理1情形(Ⅰ)时,由定理2的证明可得式(9)成立,再由 (C3)得

利用式(8)及(C3)可得

令

则由式(12)可得

由于只有

2种情形,下面分别假设以上2种情形成立。利用反证法均可得到矛盾的结论,从而得原假设不成立。

情形1假设

则由式(11)得

这与(C4)矛盾,所以式(14)不成立。

情形2假设

设η是一个充分小的正数,利用条件(C1)得

由式(15)可得,对任意大的正数μ＞0,有

利用(C1)及方程(16)、(17),取T'＞T,由分部积分法可得

由于μ为任意大的正数,由式(13)、(17)可得

两边同时除以F(tn),当n充分大时

故

又因为

利用Schwarz不等式得

两边同除以F(tn),由(C2)得

这与方程(20)矛盾,所以假设(15)不成立。

综合情形1和情形2的证明,由于方程(14)与(15)均不成立,所以原假设不成立,从而x(t)为方程(1)的振动解。

当Z(t)满足引理1条件(Ⅱ)时,由于式(4)成立,由引理8可知所求得证。

3 例 子

下面给出2个例子来验证本文结果的有效性。

由于

易得方程(21)满足条件(H1)～(H5)及式(4)。

则

故

从而由定理1知,方程(21)的任意解振动或收敛于0。

注1 由于方程(21)超出了文献[1-15]相应结论的适用范围,所以,利用文献[1-15]无法得到方程(21)的振动性质。

例2方程(1)中,取则方程(1)为

易得方程(22)满足条件(H1)～(H5)及式(4)。

所以

从而由定理2可得,方程(22)的任意解振动或收敛于0。

注2 显然无法从文献[1-15]的相关结论中得到例2的结论。