直观想象素养在求解函数压轴小题中的渗透

赵志刚

摘要：新修订的《普通高中数学课程标准（2017年版）》中强调：突出数学素养，在数学课程逐渐展开的过程中，促进学生数学核心素养的形成和发展，本文例谈直观想象数学核心素养在导数背景下的函数、不等式问题中的渗透，

关键词：直观想象;导数;函数;不等式

导数背景下的函数或不等式问题能很好地考查函数、不等式和导数的有关知识，换元、构造、对应、图形、配凑等意识及知识的综合运用能力，是培养直观想象数学核心素养的良好载体.因而近年来，这类问题作为压轴小题，频繁出现在各地模拟试题中，成为高考命题的一类热点问题.本文将对具体实例进行剖析，力求揭示此类试题的考查形式，探索它们的题型规律，透视其求解策略，以期抛砖引玉.

评注 本题以方程根的个数判断为背景，考查了方程与函数转化、换元、导数在研究函数的单调性中的应用等知识，最后结合图象作出判断，很好地考查了直观想象、数学运算和逻辑推理等数学核心素养.

2 函数方程中关系式的求解值问题

评注 本题依据目标式的结构特征，换元转化为新元的一元二次方程后利用韦达定理，并结合导函数与原函数的单调性的关系，作出图象整体求解.很好地考查了换元转化、整体处理的意识和直观想象、逻辑推理等核心素养的运用.

3 函数方程中参数范围的确定

评注 解决此类问题往往将问题转化为方程根的问题，再转化为两函数图象的交点问题来解决.本题主要考查函数与导数的综合应用以及直观想象的数学核心素养.

4 函数不等式中参数范围的确定

例4（2019届“超级全能生”联考理16）设m∈

评注 本题充分挖掘函数式所蕴含的几何背景，将不等式成立转化为最值问题，进而构造函数，利用导数的几何意义求解，充分体现直观想象数学核心素养的运用.

评注 本题基于高考的函数与导数的综合应用，考查转化能力，计算能力以及数形结合思想命制，在分类讨论的基础上结合图象进行求解，很好地考查了直观想象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养.5感悟

英国数学家怀特·海德说过：“数学是从模式化的个体作抽象的过程中对模式的研究.”罗增儒教授也说过：“学习数学的过程中，所积累的知识经验经过加工，会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要题型——模式，将其有意识地记忆下来.当遇到一个新问题时，我们辨认它属于哪一类基本模式，联想起一个已解决问题以此索引，在记忆存储中抽取相应的方法来解决，这就是模式识别的解题策略.”如果学生对平时的问题善于总结、积累，那么在以后的解题中，就可以迅速地把新问题转化为已掌握的类型.直观想象作为作为六大数学核心素养之一，恰当而合理的使用，确实会给一些数学问题的解决带来事半功倍的效果，就像以上例题中看到的，导数本身就是研究函数性质的有力工具，有同学曾感慨道，导数的学习给函数的研究插上了翅膀，而其背景下直观想象素养有效运用，相当于给函数的研究又插上了一只翅膀，展开双翅，这样也许就会飞的更高、更远.

新一轮的课程改革已经进入了关键时期，在教育教学中越来越强调要培养学生的数学核心素养和学习能力.近年来，高考制度的改革给高中数学教学也带来了深刻的变革，在复习中教师越来越注重学习方法、解题方法的传授，而不仅仅只是向学生传授基础的学科知识.数学是学生学习生涯中促進其能力发展、思维提高以及认知水平提高的一个基础性学科.但是由于高中数学知识的复杂性、抽象性使很多学生在学习过程中望而生畏.教师在数学解题教学中教学方式以及教学理念若运用不当，就会使得学生的学习效率低下，表面上每天都沉浸在高压的学习下，但是并没有什么太大的效果.因此，教师必须要转变教学理念和教学方式，引导学生对不同类型题目的特征进行总结和归纳，掌握不同的解题方法，让学生在做题实践中体会数学的魅力，

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]蔡勇全.承载函数压轴小题的两个新热点——x/e^x与lnx/x.理科考试研究，2019（1）1 -4.