例谈“数形结合思想”在高考中的灵活应用

魏建平

摘要：數形结合思想是高中数学中的一个很重要的数学思想，也是解题的一种重要依据.本文以2018年高考数学全国I卷（理）为例，说明数彤结合思想在解高考数学有关问题时的应用.由形化数、由数化形、数形转化是本文永恒的主题，也是解决问题的关键之所在.

关键词：数形结合;由形化数;由数化形;数形转化

数形结合思想是解答数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题时发挥着奇特功效，数形结合，由数思形，由形定数，起到互补、互动、互译作用，可见数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.运用数形结合思想解题通常有三种类型：由形化数，由数化形，数形转化，下面举例说明.

1 由形化数

由形化数就是借助所给的图形，仔细观察研究，提出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性.

例1 （2018年全国I卷理10）如图1来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为Rt△ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自I，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（ ）.

点评 本题主要考查几何概型与数形结合的数学思想.解答本题的关键是借助所给的图形，仔细观察研究，提出图形中蕴含的数量关系，计算出半圆、三角形等几何图形的面积，然后再找p1，p2，p3之间的关系.

2 由数化形

由数化形就是根据题设条件正确画出相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提炼出数与式的本质特征，

例2（2018年全国I卷理6）在△ABC中，AD为BC边上的中线，点E为AD的中点，则赢：（ ）.

点评 本题以向量与三角形为背景，考查向量的线性运算、向量加法的平行四边形法则、数形结合思想等知识.解答本题的关键是根据题设条件正确画出相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提炼出数与式的本质特征，然后利用向量的线性运算、向量加法的平行四边形法则等知识求解.

3 数形转化

数形转换就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转化，化抽象为直观并提示隐含的数量关系.

点评 本题以线性规划为背景，考查二元一次不等式组、线性目标函数的最值、数形结合思想等知识.求解本题的关键是画出约束条件所确定的可行域，发现当直线Z。经过点B时，在y轴上的截距最大.在整个解题过程中实现了“数”与“形”的相互转化，化抽象为直观并提示隐含的数量关系.

（收稿日期：2019 - 01 - 17）