“将军饮马”的前世今生

万红　杨文

摘要：利用“将军饮马”的数学问题模型，解决轴对称路径最短问题是数学问题解次中的一种重要思想，通过探究“将军饮马”模型的直线“前世”，拓展至曲线“今生”，试图妙用、巧用和活用思想，促进学生的思维多元发展和数学核心素养的培养.

关键词：将军饮马;对称;路径最短

1 提出问题

题目 已知F是双曲线等x²/4-y²/12 =1的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为_____.

此题是求两条线段之和最小值.如果仅仅从双曲线的定义和性质去解决问题，未免有些单一.为了与初中数学内容衔接，为了活用数学知识和培养拓展能力，解决该问题，可以追溯到初中学习的“将军饮马”模型.以下将从“将军饮马”模型的前世今生，详细阐述这类问题解决的关键.

2 解析“将军饮马”模型

“将军饮马”模型在古罗马时代就有了.传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？

从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传.

抽象为数学问题为：如图1，A，B两点为直线Z同侧的两点，点P为直线l上一动点，求点P位置使得AP+ PB最短.

解决该问题的做法为：如图2，作点B关于直线2对称的点B，连接AB交直线l于点P，则点P为所求点.

证明连接PB，由对称的性质可知PB= PB，则AP +PB =AP+ PB=AB.根据两点之间线段最短可得此时AP+ PB的长度最短.

3“将军饮马”模型在直线型条件的拓展

拓展1（一點两线）如图3，点A为∠BOC内部一点，M，N分别为OB，OC边上动点，求△AMN周长最小值.

拓展2（两点两线）如图4，点A、B为∠BOC内部两点，点M，N分别为OD，OC边上动点，求四边形ABMN周长最小值.

这两类拓展均为分别作两边的对称点，根据两点之间线段最短即可解决.（如图5，图6所示）

通过以上几种情况，可以发现，解决“将军饮马”模型的关键在“两点之间线段最短”.但是被我们忽略的问题是：对称的目的是什么？其实对称的目的是进行线段转化，在直线型的条件下，如果将点进行对称变换，则很容易将线段AP与PB从直线Z的同侧转化为异侧，通过“两点之间线段最短”即可证明.

4 解决上述问题

在提出的问题中，点A与点P是两个定点，点p为双曲线上一动点，符合“将军饮马”中“两点一线”的描述.但问题是：直线变成了曲线，对称还有用吗？其实此时再抓住对称这样的做法显然不能解决问题，但如果抓住解决“将军饮马”问题时对称目的是为了进行线段转化，将直线同侧两条线段转化为异侧两条线段，那问题就可以解决了.

6 小结

“将军饮马”模型常常以角、三角形、四边形、圆、坐标轴和抛物线为载体进行演绎，主要考查学生的综合实践能力、空间想象能力和判断推理能力[1].以上研究，一是促进初中数学知识与思想和高中数学知识与思想的衔接.许多初中知识在高中阶段发挥着极其重要的作用，在高中讲解时，由于没有联系初中已有的知识与经验，导致学生没有搞清楚问题的来龙去脉，使得学生不能在一个问题上举一反三;二是体现新课程实施的目标和要求在“经典”问题上开辟新的东西，找准“经典”问题生长的源泉和动力[2'.通过上述问题的发现、提出、分析与解决，希望对模型思想有更加深刻的认识.理解“知其然”，还要“知其所以然”和“知何由以知其所以然”[3].

参考文献：

[1]张进，唐芬，谈“将军饮马”问题—一以2015年全国各地中考试题为例[J].中国数学教育，2016（7 -8）：110 -113.

[2]李克民.从经典模型的改造谈数学试题的命制——以“将军饮马”问题为例[J].教育研究与评论，2016（1）：41 -45.

[3]荣贺，曲艺.与阿氏圆有关的广义将军饮马问题[J].数学通报，2018，57（8）：48 -52.