基于灰色-马尔可夫模型的机场道面使用性能预测

杜 浩，杨 戈，刘海伦

（上海同科交通科技有限公司，上海 200092）

机场道面使用性能预测是道面养护决策优化及中长期养护计划制定的基本依据，是道面管理系统的核心。合理的预测对提高道面维修养护水平和节省维修经费具有重要意义。由于中国机场道面现场检测数据较少，道面性能影响因素复杂、变异性大，传统道面性能预测方法难以适用。

目前道面使用性能预测的主要方法包括：以力学分析或回归分析为基础的确定型模型和以马尔可夫为代表的概率型模型[1]，近年来又出现了神经网络[2]和灰色预测[3]等新方法。在确定型模型和人工神经网络模型中，前者无法反映路面使用性能复杂多变的特性，后者虽可以考虑多因素对道面使用性能的影响，但需要大量的训练样本。灰色预测的优点是无需考虑复杂因素的影响，直接从自身数据序列中寻找建模信息，能够适用于样本数量小、影响因素复杂的预测问题，且短期预测精度较高，但不宜作长期预测[4]。

马尔可夫模型主要是针对道面使用性能变化受载荷、环境、材料等变异性影响具有不确定性而建立的，它通过概率分布的形式反映各随机因素对道面性能的影响程度，利用状态间的转移概率矩阵预测事件发生的状态及其发展变化的趋势，因而更符合实际情况，具有较大的应用前景。其特点是建模简单适用于长期预测，具有无后效性、可变起点。但在历史数据不足时，多采用回归分析方法确定转移概率矩阵[5]，这种方法虽能弥补样本数据不足的缺点，却对模型建立带来较大误差。

根据中国道面使用性能数据量贫乏、道面性能变化复杂的特点，针对马尔可夫方法在道面使用性能预测中存在的问题，提出基于灰色预测的马尔可夫道面使用性能预测方法。该方法利用灰色预测模型所需信息少，具有克服样本数据少且短期预测精度高的优点，对道面使用性能进行短期预测，补充实测样本信息。在此基础上，采用最小二乘法替代回归法建立马尔可夫转移概率矩阵，并应用马尔可夫模型进行道面使用性能的中长期预测。

1 灰色预测模型

GM（1，1）模型[6]是指一阶、一个变量的微分方程预测模型，是用于时间单序列的线性动态模型。其建模过程如下：设已知原始数列为X(0)=（x(0)（1），x(0)（2），…，x(0)（n）），对X(0)进行一次累加生成（1-AGO），得到新数列X(1)=（x(1)（1），x(1)（2），…，x(1)（n）），对一阶生成数据序列建立预测模型为

其中：a、u 为待识别的灰色参数。对其进行最小二乘估计，得到时间响应式为

进行累减还原后得到原始序列的预测值为

然后进行精度检验，采用绝对关联度和相对误差双项指标检验灰色模型的精度。接受标准为相对误差不超过2%，且绝对关联度大于0.8。

2 马尔可夫预测模型

马尔可夫预测就是根据某些变量的现在状态及其变化趋向，预测其在未来某一特定期间内可能出现的状态。假设系统所处的状态有n 种，任意时刻系统处于各种状态的概率分布记为

定义系统从状态i 经过一步转移到状态j 的概率为一步转移概率，则具有n 种状态的系统转移概率就构成了系统转移概率矩阵P，即

因此，事物t 时刻的状态概率向量X（t）可由初始状态的概率向量X（0）表示，则马尔可夫预测模型为

马尔卡夫预测方法的建模步骤主要有3 个：①选择预测指标，划分指标状态空间；②获得马尔可夫转移概率矩阵；③应用式（7）进行状态预测。可见马尔可夫预测的关键是如何获取一步状态转移矩阵P。

2.1 状态划分

采用国际广泛应用的道面状况指数（PCI，pavement condition index）作为道面使用性能的预测指标。为了较好地反映机场道面使用性能的衰减过程，将PCI 离散为由优、良、中、次、差5 个状态组成的状态空间，然后确定每个状态对应的区间及区间中值。并作如下假设：在日常维修养护条件下，道面使用性能由低水平状态向高水平状态转移的情况不会发生。即当i ＞j 时，pij=0；在一年时间内其使用性能等级不会下降太快，可近似认为道面使用性能衰减只发生在两个等级之间。即当j-1≥2 时，转移矩阵可表示为

2.2 状态转移矩阵的确定

确定马尔可夫转移矩阵常用的方法有统计法和回归分析法，统计法需要大量的样本数据，所以缺乏可行性。而回归分析法即应用道面使用性能的经验回归方程获取马尔可夫转移概率矩阵[5]，具体如下：

1）将状态空间中值向量c 代入回归方程，反算使用年数ti，并将ti+1代入回归方程求得一年后性能参数的期望值；

2）近似假定PCI 在使用年数上呈正态分布，以各性能参数的期望值为均值，以回归方程的误差标准差为标准离差，在所有状态上离散该分布，然后计算落在各状态上的概率。

回归法的缺点是：①要获取道面使用性能的经验回归方程，在没有历史数据的情况下只能移植或借鉴其他道面的回归方程，与实际情况不符；②由回归方程确定的正态分布参数并不一定具有无偏性，从而导致建模误差较大。因此，在少量样本数据基础上采用最小二乘法求解道面状况转移矩阵，最小二乘法求解方法为

其中：at=a0Pt，a0为预测基年道面使用性能的状态分布概率向量；at为t 时刻的状态分布概率向量；y（t）为t时刻的样本值；（t）为t 时刻道面性能预测的期望值；c 为各状态区间的中值向量。

为比较不同建模方法对预测结果的影响，分别使用以上两种方法得到的转移概率矩阵进行预测。为方便起见，将建立在回归法基础上的预测方法记为灰-马（Ⅰ），将建立在最小二乘法基础上的预测方法记为灰-马（Ⅱ）。

2.3 预测值及精度检验

确定系统的马尔可夫转移矩阵后，由马尔可夫预测模型可确定系统未来某年的状态分布向量，结合状态分布区间的中值，计算PCI 预测指标的期望值，以该期望值作为道面使用性能指标的马尔可夫预测值。决策者依据预测值判断道面所处的状态区间来制定相应的维修措施，因此更关心误差对判断结果的影响。故采用绝对误差描述模型精度，中远期预测误差应分别小于3 和5。

3 实例分析

由于中国尚未积累PCI 实测数据，为介绍灰色-马尔可夫模型在道面使用性能中的应用方法，并验证模型的预测精度，采用文献[7]中的一组PCI 数据作为基础数据。数据序列基年道面性能分布概率为a0=[0.92 0.08 0 0 0]。

3.1 灰色模型近期预测

假定只能获取连续4年的PCI 数据，用X(0)=[94.2 92.3 90.2 87.9]作为原始建模序列。计算得到原始数据序列的预测模型为

对未来4年的PCI 进行预测，预测值为[85.8 83.8 81.7 79.8]。结果经关联度和相对误差检验发现，前两年的预测精度达到要求，而后两年预测结果的相对误差分别为2.1%和3.5%，不满足精度要求。

3.2 马尔可夫中远期预测

1）状态区间确定

由PCI 的5 个状态等级划分方法确定其状态区间及其中值向量如下

道面状况调查每年进行一次，以年为单位作为状态转移的基本周期。

2）转移概率矩阵确定

方法一采用回归法建立转移概率矩阵，首先以灰色预测方法得到的道面使用性能时间响应方程作为道面的经验回归方程，按照回归法确定转移概率矩阵的步骤，计算得到转移概率矩阵P1如下

方法二加入灰色预测值，补充样本信息，以序列X(0)=[94.2 92.3 90.2 87.9 85.8 83.8]作为初始样本。采用最小二乘方法，通过Matlab 优化工具箱来处理转移概率矩阵的求解问题，得到马尔可夫转移概率矩阵P2如下

获得转移概率矩阵后，应用马尔可夫模型实现道面使用性能中远期预测，结果如表1所示。

由以上结果得到对应的道面性能衰减曲线和误差变化曲线，如图1和图2所示。从图1和图2可以看出，灰-马（II）模型的预测误差明显小于其他两种预测方法，且中远期预测精度满足要求，说明该方法能较好地应用于道面性能预测。灰色模型虽然短期预测精度较高，但随着预测时刻变远，预测误差越来越大，无法满足中远期预测的要求。灰色-马（I）预测模型精度明显低于前两种方法，无法满足预测要求。其主要原因为：①由灰色预测结果可见，该模型并不能较好地拟和原始数据，因此用灰色时间响应方程代替道面性能的经验回归方程存在较大误差；②转移概率矩阵的建立方法不合理，由此建立的转移矩阵误差较大。从而导致灰-马（I）比其他方法预测误差大。可见不同的建模方法和预测方法对预测结果的影响非常明显。

表1 道面使用性能（PCI）实测值与预测值对比Tab.1 Comparison between measured and predicted PCI

图1 道面使用性能衰变预测图Fig.1 Predicted PCI decline

图2 各类模型预测误差图Fig.2 Predicted error of several models

4 模型精度敏感性分析

对于实测历史数量较少的小样本预测问题，初始样本信息的微小变化，可能会对后期的预测结果造成显著影响。因此在应用灰-马（Ⅱ）模型进行PCI 预测时，应充分认识样本数量和质量对模型预测精度的影响。

4.1 分析方法

为反映样本数量和样本质量对预测精度的影响，将实测数据序列称为原样本，将原样本中前4 个数据与灰色预测得到的4 个数据组成的序列称为新样本。分别选取不同的初始样本，建立马尔可夫预测模型，比较模型的预测精度。具体方法如下：

1）分别选取原样本中前4 个、6 个及8 个数据按最小二乘法建立转移概率矩阵进行马尔可夫中长期预测，比较3 种情况下模型的预测精度，分析在相同样本质量情况下，不同样本数量对预测精度的影响；

2）选取新样本中6 个和8 个数据作为建模初始数据，建立马尔可夫模型进行中远期预测，比较基于两类样本中6 个及8 个初始数据的预测模型的精度，分析引入灰色预测误差前后，在样本数量相同的前提下，不同样本质量对预测精度的影响；

3）根据以上计算结果，比较新样本中6 个和8 个初始数据两种情况下模型的预测精度，分析在不同样本数据和样本质量情况下，样本数量与样本质量对灰色-马尔可夫模型预测精度的影响大小。

为直观反映各因素的影响程度，采用绝对误差及误差标准差对样本数量和质量与预测精度的关系进行分析。误差标准差计算公式[8]为

4.2 分析结果

按照模型应用方法及精度分析要求得到不同样本情况下模型的预测误差随时间变化的趋势图，如图3和图4所示。计算得到误差标准差如表2所示。

图3 样本数量对预测精度影响图Fig.3 Influence of sample size on prediction accuracy

图4 样本质量对预测精度影响图Fig.4 Influence of sample quality on prediction accuracy

表2 不同初始条件预测精度对比Tab.2 Prediction accuracy comparison of different initial conditions

由表2可以看出，在没有引入灰色模型预测信息时，预测误差标准差数值随着样本数量的增加而逐渐减小，即马尔可夫模型预测精度随样本数量增加而有所提高，但精度提高幅度随着初始样本数量增加而减小。比较引入灰色预测信息前后模型的精度可发现，由于引入灰色预测信息的同时也引入了其预测误差，因此在样本数量相同时，采用新样本建立的模型的精度要低于原样本。

引入灰色预测信息后，预测精度随样本数量的增加而降低。主要原因是灰色模型由4 个样本扩充到6个样本时，补充样本满足灰色预测精度要求。而扩充到8 个样本时，第7～8 个样本的预测精度不满足要求，样本中引入了较大的误差，导致模型预测精度难以满足要求。同时在误差允许范围内，通过灰色预测扩充样本信息后，马尔可夫模型的预测精度明显提高。且由图3和图4也可发现，样本数量由4 个扩充到6 个时，中远期预测精度均得到提高，但由4 个扩充到8 个时精度反而降低且不满足精度要求。

由此可见，在灰色预测精度允许范围内，虽然灰色-马尔可夫方法的预测精度相比同数量原始样本的马尔可夫精度要低，但比没有补充样本信息时的预测精度有很大提高，可见灰色-马尔可夫方法针对“小样本、贫信息”预测问题是可行的。但如果灰色预测引入过大误差则对后期预测精度影响较大。

5 结语

1）分析中国机场道面使用性能预测中存在的问题，引入灰色预测和马尔可夫预测方法，建立了道面使用性能灰色-马尔可夫预测模型和方法，基本思路是采用灰色预测模型进行近期预测，利用灰色预测补充后的样本数据，采用马尔可夫预测模型进行中远期预测，实例检验表明该方法具有较强的科学性和实用性，可为中国机场道面性能预测的研究提供参考。

2）采用最小二乘法求解马尔可夫转移概率矩阵，并通过Matlab 语言编程实现。通过计算表明该方法是可行，而且比经验回归方程法更具科学性与有效性。

3）选取不同样本信息对灰色-马尔可夫预测模型的精度进行分析，结果表明：除建模方法外，样本数量对模型精度有一定影响，样本数量越多精度越高。而样本质量对模型的预测精度影响更为明显，灰色预测虽然扩充了样本信息，但也引入了部分错误信息，因此，实际预测中可采用改进措施提高灰色预测精度，抑制灰色预测误差对后期预测的干扰。