小学数学项目学习新策略：一个项目玩一节课——《圆的认识》教学设计

兰衍局（特级教师）

【教学内容】

人教版六年级上册第57页。

【课前思考】

本文的“小学数学项目学习新策略”是指：在小学数学教学活动过程中，利用一堂课的时间设计一个研究项目，让学生在独立探究、合作交流、自我反思等活动中完成“学习项目”；同时，在“做”项目的过程中“学习新知，掌握技能，发展思维，提升素养”的一种“深度学习”策略。

《圆的认识》是大家非常熟悉的教学内容之一，经典的课例也非常多。笔者试图在课堂教学活动中让学生通过“多次画圆”的“项目活动”，落实教学目标、形成技能、发展思维、提升素养！

【教学过程】

●片断一：欣赏圆，为画圆“埋下伏笔”。

师：今天我们来认识圆。

（板书：圆的认识）

（播放课件：欣赏生活中的各种圆）

师：你欣赏了这些照片后有什么感想？

生：我觉得圆非常美丽。

生：我觉得圆在生活中真是无处不在呀！

生：我想画一个很大的圆。

师：如果让你画一个圆，你觉得可以怎样画？

生：用硬币描。

生：用圆规画圆。

【设计意图：在课开始环节，让学生欣赏生活中各种圆形的物体或现象，然后利用多媒体隐去圆形物体的非本质属性，显示出数学中的“圆”。这样的引入符合小学生的思维特点：先让学生回忆并通过对圆形实物的观察初步感知圆，再从圆形物体中抽象出数学中的圆形，让学生建立正确的圆的表象，为画圆做好铺垫，为进一步研究圆的本质属性奠定感性认识的基础。同时，这样的开头，还会让学生感受到，数学知识来自生活，这节课研究圆，是因为生活中有许多物体的形状都是圆。这对于学生建立数学源于生活这样的数学观有着积极的意义。】

●片断二：用各种材料画圆。

师：刚才同学们讲了很多画圆的方法，下面我们试着自己来画一画圆吧。

1.课件出示如下画圆要求。

（1）请你想办法画一个任意大小的圆，如果有困难也可以利用老师提供的材料画圆。

（2）思考：哪些材料能成功画圆，成功的原因是什么？不能成功画圆的原因是什么？

（3）成功画圆需要哪些条件？

（学生独立操作画圆）

2.汇报、交流画圆情况。

第一层次：用身边的各种物体画圆。用各种材料“描”。

生：我用“一元硬币”描出了一个圆。

生：我把装铅笔的桶竖起来描出了底面的圆。

师：圆与我们以前学过的平面图形有什么相同与不相同的地方？你觉得这样画圆有什么优点和不足呢？

生：以前学过的平面图形，如长方形、梯形等都有角与顶点，都是用线段围成的封闭图形。圆没有角也没有顶点，它是由一条曲线围成的封闭图形。由直的线与曲的线构成是它们的不同点，围成的图形都是封闭的是它们的相同点。

生：用圆形的物体画圆，如果只是要求画出的图形是圆就可以了，那么用这样的画圆方法画起来很方便。但由于物体上圆形的大小是固定的，所以用一种圆形物品去画圆，一般不方便画出大小不等的圆。

【设计意图：《汉语辞海》将“图形”定义为“图形是描画出来的物体的形状”，人们最早描画出来的现实世界的图形与几何图形是不一样的，它只是“半抽象”的事物，只有将描画出来的图形经过再抽象变成点、线、面才是几何图形，然而这个描画的过程是必不可少的，它是舍弃物体一切物理属性保留图形本质特征的过程。通过让学生“描圆”，充分展现了“数学化”的过程，并且快速激活学生对圆概念的原有经验，把握圆的本质属性——圆是由一条曲线围成的封闭图形。】

第二层次：通过旋转画圆。

（1）用铅笔旋转画圆。

生：我用两支铅笔合作，一支固定，另一支转动，画出一个圆。

生：我只用一支铅笔就可以转出一个圆。只要把铅笔头放在纸上，靠着手旋转就可以了。

（2）用硬纸板旋转画圆。

生：我把一支笔插入硬纸板的一个小孔，另一支笔插入另一个小孔，就可以旋转了，我觉得用这样的方式画圆非常方便。

师：为什么硬纸板和圆规能这么顺利地画出一个圆？

生：硬纸板和圆规的道理一样：一支笔固定了一个点，两个洞之间固定了长度。

（3）用线圈旋转画圆。

生：我们同桌合作，先用一支笔确定线圈的一个角落，然后把线圈拉直，旋转另一支笔就可以画出一个圆了。

生：我们也想用线圈描圆，但是，线圈太软了，所以没有描成功。

（4）对比用线圈和橡皮筋画圆。

师：线圈为什么能画圆成功？

生：线圈能固定长度。（暗示定长）

师：这里有两支铅笔，第一支笔起到了什么作用？

生：起到固定作用。（暗示定点）

师：用橡皮筋为什么不能画圆呢？

生：橡皮筋很难描。（体会描圆，会受到材料的限制）

生：橡皮筋也不能旋转，因为橡皮筋的长度不好固定。

【设计意图：在用各种材料旋转画圆的过程中，学生深刻地感受到圆上一点到圆心的距离不变，感受到圆的形成过程。尤其是在对比分析用橡皮筋这种材料不能画圆的过程中，更是揭示了圆概念的另一种本质属性：圆是平面内一个定点距离等于定长的点的集合。学生只有充分了解圆的这一属性，才能进一步明确圆的其他特征。】

师：刚才大家介绍了画圆成功的地方和不成功的地方。那么，你觉得成功画圆需要哪些条件？

生：首先要确定一个点，不能随意移动这个点。

师：也就是要定点。

（板书：定点）

生：还要确定一个长度，就像刚才橡皮筋的例子，因为橡皮筋有弹性所以无法确定长度，因此也就画不出圆。

（板书：定长）

师：回顾一下，刚才我们用各种材料画圆成功的例子，是否做到了定点和定长？

【设计意图：小学数学课堂教学中回顾与反思至关重要，此处，让学生把刚才经历过的学习活动回顾一下，能把“定点”和“定长”的这一核心要素凸显出来，为圆概念的构建起到了铺垫作用。】

第三层次：（从硬纸板到圆规的演变，体会“圆规画圆”的优势）

师：（出示有3个孔的硬纸板）同学们，你觉得这个硬纸板能画出几种不同大小的圆？

生：三种。

师：现在我想画第四种、第五种、第六种圆，你有办法吗？

生：可以将洞打的更多一些。

师：（根据学生回答教师出示点了很多个小孔的硬纸板，并在黑板上画出一个圆）我把粉笔放在这里圆是这么大，放在这里呢？（更大）这里呢？（比刚才的会小一些）你有什么发现？

生：洞越来越多，画的圆也就越来越多。

师：就这几个洞是不是想画多大就可以画多大的圆？（感悟长短）

师：那我想画出无数个圆，怎么办？

生：可以打无数个洞。

师：如果打无数个洞，会怎样呢？

生：就是一条线了。

师：有没有比硬纸板更先进的画圆工具呢？——圆规。（将圆规放入刚才的直板中，让学生体会圆规两脚的距离就相当于一条直线也就是无数个洞）

师：只要圆规两脚的长度合适，就能画出任意大小的圆。

师：圆规画圆是否做到了定点和定长？

生：是的，针尖是定点，叉开的大小就确定了长短。

【设计意图：从学生的经验出发，我们可以发现有很多种不同的画圆方法。为什么人们还要发明圆规呢？利用圆规画圆有什么方便之处呢？我设置了一个“从硬纸板到圆规演变”的环节，通过对比橡皮筋、打孔的硬纸板、圆规三种画圆工具变化，让学生体会圆规的“妙处”，也为后面学习用圆规画圆打下了基础。】

●片断三：用圆规画圆。

师：刚才我们已经用圆规画了一个圆了，用圆规规范画圆的方法是怎样的呢？请看——

（课件出示：画圆视频）

师：先定一个点，再叉开圆规两脚定一个长度，接着旋转。

师：请你按照这个步骤再画一个和刚才大小不同、位置也不同的圆。

展示学生作品：

师：（展示学生画的两个圆）他这样画对吗？为什么这两个圆的大小不同？

生：是因为圆规两脚间的距离不同。

师：看来这个距离决定了圆的大小。

生：圆规两脚间的距离就是半径。

师：请标出刚才这个圆的半径、直径和圆心，并用字母标出。

师：半径和直径有什么关系？

生：直径是半径的两倍。

师：是吗？你怎么知道的？

生：我发现任何一条直径都可以想成两条半径。

（板书：d=2r；r=）

（判断练习，略）

【设计意图：利用圆规画圆，学的不仅仅是画圆的方法，更重要的是将圆的概念和画圆的过程紧密地联系起来，让学生明白圆的概念决定了圆规的画法。】

●片断四：画一个与老师手上一样大小的圆。

师：有了这些经验，相信我们一定可以把圆画得更好了，接下来我们再来画一个，不过这次有个小要求，要使全班同学画的和我手上的圆一样大，怎么办？

生：找到圆心，再测量半径就可以了。

师：怎样找出圆心呢？

生：我把圆对折再对折，因为圆是轴对称图形，这样就能找到圆心，从而确定半径。

生：我刚才在圆里画了10条线段，找到了其中最长的一条，我觉得就是直径，然后我找到了半径是3厘米，我也画出了一个和老师手上一模一样的圆。

生：我刚才在圆的边上画出了一个正方形，然后，我做出了正方形的对角线，两条对角线的交点就是圆心。

……

【设计意图：这个环节的目的之一是让学生进一步认识圆的各部分名称，主要是认识圆心、半径与直径这三个概念。在这里虽然圆心、半径与直径的概念是规定的，这些规定有着合理性，圆内有无数点，为什么要规定中心的点叫圆心？是因为这个点有着特殊的地位。让学生带着任务去寻找这个点，再体会圆心的概念，这是强调了概念的发生过程，使得学生感受到数学规定的这种合理性。直径的概念形成也有类似的过程，即先让学生仔细观察圆上两点连接起来形成的很多线段，找出这些线段中哪些是比较特殊的，从而明确了特殊的地方就明确了直径的本质属性，然后再给出直径的定义。这样的教学过程，会让学生积累活动经验，明确在数学研究中常常会强调或突出哪些具有特殊地位的内容。目的之二，是体会圆的特征即在同圆或等圆中无数条直径和半径都相等；圆是轴对称图形，其直径所在的直线就是圆的对称轴等。通过让学生画出和“标准圆”一样大的圆，这样的操作过程让学生感受到了圆的对称性，体会到了直径是圆内最长的线段并且是半径的两倍，在画圆的外切正方形中找到圆心为后面的“外方内圆”的知识的学习打下了基础。】

●片断五：用尺子画圆，揭示圆的本质。

师：有人说，画圆其实很简单，一把尺子就可以了，你信吗？

师：请大家用一把尺子在作业纸上画圆（2分钟左右）。

师：谁来给大家说说是怎么画的。

1.“圆，一中同长也”。

生：老师，我根据同一个圆中，半径都相等的道理，先画了两条一样长的线段，形成一个“十字架的样子”。接着，又继续在两边画出一样长的两条线段……最后，把所有线段的“端点”都连接起来，就形成了一个圆。

师：同学们真厉害，知道吗，以前数学家也是这样画圆的（课件出示）。古时候，是这么描述圆的：“圆，一中同长也”。同学们知道“一中”是什么意思吗？

生：就是圆心。

师：同长呢？

生：就是所有的半径都相等。

2.圆出于方。

生：我根据刚才“利用正方形找圆心”的方法，想到了可以先画一个正方形，然后，再把正方形变成正八边形、正十六边形……最后，就可以变成一个圆，我觉得圆就是“等无数边形”。

（课件介绍——圆出于方）

【设计意图：经典的画圆文化，其实揭示了圆的本质和圆的特征。一中同长，就是圆的概念；而圆出于方，则揭示了圆心、直径、半径的相关特征，因为沿着正方形的对角线就能找到圆心，正方形的对角线就是直径，更重要的是说明了“圆其实就是正无数多边形”这一概念。所以，通过让学生用尺子画圆的情境，将这一文化让学生体会到，这对于内涵的理解更加重要。】