沟通内在联系突出数学本质——以《认识整百整千数》为例

包利华

数概念的教学在小学大致分为四个阶段：20以内数的认识、100以内数的认识、万以内数的认识、大数的认识。“万以内数的认识”是认数的第三阶段，与前两个阶段“20以内数的认识”和“100以内数的认识”相比主要教学内容相同，包括数数、数的组成、读写、比较大小等，都突出了对“计数单位”的认识；所不同的是，“20以内数的认识”侧重认识计数符号，“100以内数的认识”侧重认识位值，“万以内数的认识”侧重深入理解“十进制”和“位值制”。小学生对数概念的理解本质上是数学意义的理解。刘加霞教授指出：数概念的数学意义主要是指“数”是由不同计数单位及其个数相乘再累加构成的，其背后渗透的是十进制和位值制。从百以内到万以内，随着数位的扩展，计数单位的新增，数的结构和构成是一致的，每一个数位上的数都是若干个计数单位累加的结果。例如：4241是由4个千、2个百、4个十和1个一组成的，也可以写成4000+200+40+1=4241。如何在数概念教学中帮助学生深入理解数学意义呢？笔者设计了《认识整百整千数》这节课，通过不同计数单位的累加得到整百数、整千数，进而沟通它们的内在联系，突出数学本质。

一、目标定位深入本质

1.从学生的角度看，学生更愿意思考什么问题？

我们常说，学生会的不用教，学生学了还是不会的也不用教。就这节课而言，什么是学生会的？课前，笔者让学生介绍自己喜欢的数，从中看出，经过“20以内数的认识”和“100以内数的认识”两个阶段的学习，学生对认数、数数、数的意义、读法和写法没有困难，还能用画图和文字的方式来表征。那么，学生更愿意思考什么问题？学生愿意思考的应该是具有一定挑战性的问题，也就是“跳一跳能够摘到的桃子”。这节课的主要挑战性问题有两个：一是1000是怎么得出来的？二是如何沟通不同计数单位累加得到整百整千数？

2.从数学的本质看，展开什么样的过程更有意义？

1000是怎么来的呢？从本质上看，1000的产生是基于三位数的认识，三位数能表示的最大数是999，要表示比999更大的数怎么办？只能扩展数位。怎么表示？计数器上通过拨一拨扩展到千位，千位上拨一个珠子，代表1个千，因此有了四位数。也就是说，1000应该是999+1得到的。这个过程的展开，学生经历了1000的再创造过程，体会到数位扩展的重要性，学会像数学家一样思考问题。

据此，笔者把这节课的教学目标定位为两个点：

（1）通过画一画、拨一拨、想一想等活动，把认数与计算相结合，让学生经历1000产生的过程，理解1000的来历。

（2）通过沟通计数单位的内在联系，让学生掌握相同的数学结构，能利用相同结构顺利认识更大的数。

二、学习材料具有结构性

教学片断一：复习回顾整十数，认识整百数。

出示：

师：这是一个正方形，把它平分成10个小长方形。如果1个小长方形代表1，这个大正方形我们记做？

生：10。

师：是的，10个一是10。乘法算式是？

生：10×1=10。

（出示4张这样的正方形图）

师：现在记做？你是怎么思考的？

生：我是数的：1个十、2个十、3个十、4个十，4个十是 40。

生：我列乘法算式：10×4=40。（板书：10×4=40）

师：同学们用数和计算的方法得到了40。

出示：

师：现在我们把这个正方形再次平分，如果1个小正方形代表1，现在记做？

生：100。10个十是100。

生：一行有10个，有10行，所以是 10×10=100。

（出示4张这样的正方形图）

师：可以怎么表示？

生：400。100×4=400，4 个百是 400。（板书：100×4=400）

师：如果再增加1张呢？

生：500。100×5=500，5 个百是500。

师：还有不一样的表达吗？

生：10×10×5=500。

生：250×2=500。

生：400+100=500。

师：你知道他是怎样想的吗？

生：（指着黑板上5张正方形图）原来有4个百，又增加1个百，就是5个百。

（继续增加4张同样的正方形图）

师：你能像上面一样，用多种方法得出900吗？

生：100×9=900，9 个百就是900。

生：500+400=900。表示原来的500加上现在的400，共900。

生：300×3=900。

生：450×2=900。

生：400×2+100=900。

师：这道算式这么复杂，谁看明白了？

生：（指着图形说）这里是2个400，再加上100。

学习材料的设计要有结构性，让计算更具联系性。在回顾整十数和认识整百数时，我以正方形为学习材料，注重沟通本质的联系。100个、100个往上加得到整百数，在4张正方形图的基础上增加1张正方形图，学生得到了400+100=500。这个过程唤起了学生对计数单位“一（个）”“十”“百”之间关系的回忆，然后主动将4个百加1个百等于500类比到4个十加1个十等于50或者是4个一加1个一等于5，学生在迁移、类比中找到了“4个计数单位加1个计数单位等于5个计数单位”这个本质结构。正是沟通了内在的联系，学生容易抓住数概念的本质，也使得已有的学习经验能够迅速迁移到新知的理解当中来，在教师呈现900这个数的时候，学生就有了多样的表征方式。

三、过程展开充分到位

教学片断二：认识1000。

环节一：画一画。

师：900，好大一个数！如果再大一点你还会数吗？

（在900的基础上再10个、10个出示。学生10个、10个数到990；

在990的基础上再1个、1个出示。学生1个、1个数到999）

师：我们刚才通过100个、100个，10个、10个，1个、1个地数得到了999，如果在999的基础上再添上1是？

生：1000。

师：你们都知道是1000，那1000是怎么得出来的呢？

师：老师给你提供了这样一幅计数器的图，请你思考999+1怎么在计数器上表示呢？

出示：

（反馈交流：同时出示三种典型的表示方法）

师：仔细观察，静静地思考。你看懂了哪几种表示方法？谁能来解释？

生：第一种只是在个位加1。

生：第二种是个位加1，个位满十向十位进一，划掉，十位满十向百位进一，划掉，百位满十向千位进一，划掉。但是千位没有画出来。

生：第三种和第二种是一样的，但多了千位。

师：比较三种不同的表示方法，你有什么想说的？

生：三种方法表示的过程是一样的，但形式上不同，第三种增加了千位，更加清楚，我比较喜欢第三种表示方法。

师：是的，三个数位能表示的最大三位数是999，再添一个数不够了，所以增加一个数位，叫做千位。

环节二：拨一拨。

师：刚才我们通过画一画表示了999+1。下面我们在计数器上拨一拨。同桌合作，边拨边思考：1.每次进的1表示什么？2.每次进1后得到哪些算式？

（反馈交流：学生演示）

生：999+1=1000。这个1表示1个一，算式是999+1。个位满十向十位进一，这个1表示1个十，算式是990+10。

师：不好意思打断一下，他说990+10谁看懂了？

生：我们看到的是990，还有1个十在他手里，还没放下去。

师：谢谢你的慢镜头，让我们清楚地看到了990+10这个算式。继续。

生：十位满十向百位进一，这个1表示1个百，算式是900+100。百位满十向千位进一，这个1表示1个千。

师：同学们真会思考，我们终于得到了1000。谁把它写出来？

生：写作：1000，读作：一千。

环节三：说一说。

师：认识了1000这个数，谁来介绍一下这个新的数？

生：1000是由 999+1得到的。

生 ：999+1=1000，990+10=1000，900+100=1000。

生：10个百是 1000。100×10=1000。

生 ：500 ×2=1000，200 ×5=1000，250×4=1000。

……

学生从999数到1000没有困难，但为什么要有1000这个数，它是怎么得来的？这对学生来说是有挑战性的问题。一方面，学生数概念扩展的经验不足；另一方面，学生习惯于思考“是什么”的问题，对于“为什么”的问题思维经验比较弱。因此，认识1000这个数，我设计了“画一画”“拨一拨”“说一说”三个环节，让学生经历1000的再创造过程。在此过程中，我给予学生足够的思考空间，主要体现在集中反馈和问题设计上。学生画完后，我把出现的三种典型作品集中呈现，并提出问题：“仔细观察，静静地思考。你看懂了哪几种表示方法？谁能来解释？”学生的交流不拘一格，有的选择一幅作品发表想法，有的选择全部一一点评，还有的聚焦到两幅作品进行对比沟通。这样的反馈方式，再加上合理的问题设计，能有效帮助学生拓开思考的维度。最后是给予学生思考的时间，课堂时间有限，但是学生独立思考的时间必须要有，静能生慧，没有独立思考，凭什么交流？数学特级教师俞正强老师说：“人类的活动都有其特定的节奏，思维活动更是如此，有时顿悟，有时冥想。节奏是时间占有的艺术。”一节课短短40分钟，笔者在“认识1000”这个环节花了20分钟。这20分钟里，学生在“画”前思考、在“拨”时思考、在“说”前又思考，通过思考、交流、再思考、再交流，最后学生在介绍1000这个数时，表达十分丰富。正是因为给予了充分的信任和足够的思考空间与时间，学生的理解才能深入，表达才能具体，最终用自己的经验创造性地解决了问题。

四、沟通计数单位内在联系

教学片断三：认识整千数。

师：认识了1000，以千位单位继续往下数，你会数吗？

生：会数，1000、2000、3000、4000……

师：4000用乘法算式怎么表示呢？

生：1000×4=4000。（板书：1000×4=4000）

师：你有没有发现这些算式非常像？一起读一读，你发现它们有什么特点和联系吗？

生 ：10 ×4=40，100 ×4=400，1000×4=4000。

生：我发现这些算式有规律。乘数依次增加1个零，积也依次增加1个零。

师：是的，还有不一样的表达吗？

生：我发现这些算式都有一个乘数是4，这个4就是一个“加工厂”，1个十×4=40、1个百×4=400、1个千×4=4000。

师：“加工厂”这个词真是形象！还有人说这些算式都与1×4=4有关，你觉得有道理吗？

生：有道理，我也是这样想的。

师：如果把这些算式看作一个家族，那么1×4=4你怎么理解？

生：是祖先！

生：是起源！

生：是基因!

师：再来个新成员，往下说！

生：10000×4=40000。

师：同学们真了不起！能把这些不同的算式沟通和联系。沟通联系是数学学习非常重要的方法，能沟通联系也说明你已经领悟了！

“沟通计数单位的内在联系，掌握相同的数学结构”是这节课的另一个重要目标。我们为什么要认识更大的计数单位？从本质上讲，任何一个数都可以通过1个、1个数出来，但是效率太低了，所以发明了更大的计数单位，10个、10个数，100个、100个数，1000个、1000个数，提高计数和计算的效率。因此，沟通不同计数单位的内在联系，能让学生的学习从“个”上升到“类”，从本质上认识它们具有相同的数学结构。10×4=40、100×4=400、1000×4=4000，这些算式都可以理解成：“1×4=4”，也就是 1个计数单位×4=4个计数单位。掌握了这样的本质结构，就能以此类推，得到更多的整百整千数。

教学研究需要讨论的两个问题是“教什么”和“怎么教”。教什么？教师只有深入数学本质，才能抓住核心问题，引导学生步步深入地探寻数学的本质。怎么教？教师只有沟通知识的内在联系，引导学生迁移、类比、概括和归纳，方能点燃学生思维的火花，让课堂绽放更加绚丽的生命力。