广义相对论的推广和应用及量子引力理论

张一方

(云南大学 物理系，云南 昆明 650091)

0 引 言

毫无疑问，广义相对论是人类创造的最伟大、最精美的科学理论之一.已知广义相对论的一个主要基础是等价原理，笔者认为只要推广非惯性系和引力场，等价原理就可以普遍成立，而克服其“局域性”.在讨论了非惯性系中加速场或减速场，及引力场或斥力场的关系后可以得出结论：等价原理在矢量方面等价，但在非矢量方面有所不同.由此提出了泛等价原理和泛广义相对论，特别是电磁广义相对论.并论证了广义相对论的各种实验检验及不足之处[1].引力波的确认是近年非常重大的科学进展，由此正如笔者推测的其主要科学家Rainer Weiss,Barry C.Barish和Kip S.Thorne荣获2017年诺贝尔物理学奖[2].进而，笔者讨论了引力波对广义相对论进行的某些验证，证实其是非线性波，而且证明引力波和电磁波速度不同，研究了某些新的引力理论，特别是非对称引力理论.同时，探讨黑洞热力学各方面的谬误，并且提出任何自然和社会系统演化的普适的熵变化公式[3].在此进一步探索广义相对论与宇宙及天体演化，并讨论量子引力理论等.

1 引力场中的某些效应

已知引力场中dt=dT/[1-(kM/r)]，其与总能M成正比则

m=m∞/[1-(kM/r)]≈m∞[1+(kM/r)].

(1)

这样静能化为势能，即m-(-km∞M/r)=m∞(1+2kM/r)，引力场中静能比无穷远处大两个势能2km∞M/r，应该相应于二倍光线偏折，与广义相对论一致.

万有引力公式是：

(2)

(3)

1918年J.Lense和H.Thirring根据广义相对论推导出如果物体自转，除时空弯曲外，还有“拖曳”结构，形成漩涡(空间扭曲)，称为坐标系拖曳效应(frame-dragging effect).这是磁性引力(gravitomagnetism).卫星轨道上的陀螺有空间弯曲的短程线进动，即自旋轨道耦合(spin-orbit coupling)和坐标系拖曳进动，即自旋-自旋耦合(spin-spin coupling).在距离地球约642 km的极地轨道，对引力探测器卫星(GP-B)的陀螺二者分别为6.61’’/a和0.041’’/a.

电磁广义相对论[4,5,3]应该有相应效应.而且坐标系拖曳进动的角速度为

(4)

这类似电偶极势[6]

(5)

和磁偶极势[6]

(6)

和相应的角速度

(7)

在465 m高塔(tower)上检验引力的平方反比定律，在误差(-60±95)×10-8m/sec2内与牛顿预言符合[7].如果偏离平方反比定律，则可能联系于光子、引力子有质量.或者引力联系于1998年Arkani-Hamed等提出的高维理论中大于1 mm的额外维度，并且如果有n个蜷曲到半径R的额外维度存在，则在小于R的区域引力将遵循1/r2+n律[8].这样在很小的尺度，引力就会急剧变强.

相应则修改广义相对论.可以假设广义相对论一级近似时，

(8)

由此反之推导、修改广义相对论.结合第五种力，类比于广义相对论而发展引力-斥力的广义相对论理论及量子理论，相应的场波等各种方程和波.这可以仅由G(G(1+αe-r/λ)得到.其类似或类比于Brans-Dicke理论[9]而发展.

2 广义相对论和宇宙

广义相对论的表示是数学二次型：

ds2=gμνdxμdxν.

(9)

这是加时间的4维二次曲面.一般都可以化为标准形式：gμν=0(如μ≠ν).其空间部分就是三维二次曲面.gμν恒正是椭球，Riemann几何.gμν中有部分正值是单叶双曲面(类似于虫洞)或双叶双曲面，Lobachesky几何.两种几何都与宇宙的临界密度ρ有关.这又对应狭义相对论的光锥和光速c(可能又对应电磁场、短程场等).gμν<0可能对应斥力，宇宙膨胀和负物质[10-16].Riemann几何推广到无二次型限制时是Finsler几何[17,18].

按照等价原理，任何非惯性系都等价于引力场，都应是弯曲时空和非欧几何[4,5].

与宇宙相应的几何，椭球是先膨胀后收缩的宇宙，全是引力场.单叶双曲面是

(10)

相应不断膨胀的宇宙，有引力、斥力.双叶双曲面(图1)是

(11)

相应不断膨胀的宇宙，全是斥力.二者的渐近面是锥面；从引力化为斥力.几何上可以推广到椭圆抛物面和双曲抛物面，但二者不是二次型.

图1 双叶双曲面Fig.1 The hyperboloid of two sheets

如果时间对应于g00<0则一般应该是

(12)

当ρ=0是平直时空，即狭义相对论，gμν=δμν.

在较小空间区域，μ(～ρ)较大，曲率为正，空间有限[6]；如星系.在一定空间区域，为μk，曲率为0，空间是Euclid几何(分界面)，对应光锥.在较大空间区域，μ较小，曲率为负，空间无限；宇宙膨胀.三者分层级.

引力场中时间一般是[6]：

(13)

引力场中φ<0，所以钟慢.斥力场中相反φ>0，所以钟快.进一步，对电磁场和电磁广义相对论[4,5]，相反和相同电荷之间分别是钟慢和钟快；强和弱相互作用之间也分别是钟慢和钟快.

在相对论中空间x时间t统一为四维空间xi，动量P能量E统一为四维动量Pi.而时空和能量动量又统一为量子力学中的de Broglie关系Pi=hki=h/λi；笔者由相对论和量子论提出的能量和空间中同一地点的时间间隔成正比，和时间中同一瞬时的空间间隔成反比的定量关系[19]，和Noether定理及其推广[20].

按照广义相对论，宇宙密切联系于不同几何.广义相对论是椭圆、Riemann几何.双曲面是Lobachevsky几何.秦元勋研究的引力是仿射几何.进一步统一、发展为射影几何；最广泛是拓扑几何，由此联系于超弦宇宙.进而研究其它几何与狭义、广义相对论及物理、时空的关系.

因为星云、星系和宇宙具有非常复杂的结构，不太可能是规则的几何，笔者提出Calabi-Yau流形结合宇宙弦可以提供一种用于描述星云、星系和拓扑宇宙及天体复杂性的新的数学方法.这也许是一类星云-星系的天体几何[21].丰富的Calabi-Yau流形相应于星云和星系结构的多样性.天体动力学基于物理，产生星系的复杂性.进而笔者探讨了星云-星系动力学[21]，它们可能源于大尺度正负物质之间复杂的相互作用和局部的宇宙电动力学[22].

引力场，长度沿半径缩短，U/R<2π；对应椭圆(Riemann)几何及群.转动系，长度沿周长缩短，U/R>2π；对应双曲(Lobachevsky)几何及群.这可能对应于斥力场和正负物质间的相互作用[10-16].惯性系，周长与半径之比为U/R=2π；对应抛物、仿射几何及群.前二者统一为非Euclid几何及群.整个统一为射影几何及群.

四维正常双曲Riemann流形所可能允许的最大运动群不是局部Lorentz群，而是de Sitter群，一个综合平移和Lorentz转动的10参数单纯Lie群.所以引力场应该有更高对称性，局部de Sitter不变性.Lorentz群是de Sitter群的子群.Minkowski空间是de Sitter空间曲率为0的退化形式.

根据广义相对论的推导方法，引力场一定是非Euclid几何、曲线坐标.Einstein选择Riemann几何完全符合实验，表明其是符合条件的最简单的几何.但是引力场的几何可以比Riemann几何更广泛；在各种情况下可以为Lobachevsky几何、de Sitter空间、Euclid空间等.广义相对论的三大验证要求的对称性不同；它们相同，也只是要求这种非Euclid几何的短程线(运动)方程在验证成立的近似上相同.可能在不同的情况(不同的时空)，不同的场、力和相互作用时是不同的几何，不同的变换.例如，Einstein引力场是Riemann几何，对应GL(4)群，简化的旋转系是Lobachevsky几何，变速系又是可以变成Euclid空间的其他几何等.宏观统一场是非Riemann几何；粒子场是非阿(Archimedes)量子几何.反之有多种几何，就可以有多种时空，相应于多世界理论.引力及各种相互作用、力、场都与时空的某种几何等同，即几何化.

假设宇宙中充满缓慢旋转的气体或尘埃，可以有尘、气分布相同的两个解[23].这破坏了Mach原理，其不完备，隐含着假设；存在闭合类时曲线，允许时间旅行.

广义相对论及微分几何具有局域性，所以对宇宙整体的应用可能也有局域性.广义相对论局域性推广到全局，可能联系于拓扑性，或分形性(混沌)等，即拓扑广义相对论、分形广义相对论等.

3 广义相对论和天体演化

1963年得到NUT(Newman-Unti-Tamburino)解.1976年Tipler提出“表现出任何一种奇异行为的场方程组解都可以找到”[24]，及Kerr解等存在无数个病态解.如每个虫洞解都允许某种时间旅行.由虫洞可以进行时间旅行；数学上可能，但是能量巨大，不稳定，易受干扰，所以应该推广广义相对论，同时克服超光速，并由此可以解释预测等.

笔者计算了广义相对论中普适的2+1维平面的引力场方程，并基于这些方程讨论了星云的演化[25].由此可以研究2+1维随时间变化的平面引力场.对于不同条件，星云可以形成双星或单星.而任何简化的线性理论只能形成单星系统.这证明了非线性相互作用是非常普遍的，所以双星也是十分常见的.

广义相对论及其发展的方程的定性理论联系于天体演化.焦点对应星，极限环对应行星、椭圆星系等，二焦点对应双星.

(14)

(15)

这两个一阶方程组，当m=k时，

(16)

简化为：

(17)

(18)

所以

(19)

笔者认为：(1)其解讨论了演化，并可以有双星.(2)在局部区域有旋转，时间就可以循环.(3)宇宙大循环也是可能的.进一步，方程可以精确化；定性理论推广到偏微分方程.根据gik，Γ的各种值，如对各种场，可以确定具体特性.由此先解平面引力场方程，然后根据球对称等条件，化偏微分方程为常微分方程.

对引力规范场及其孤子解，特别是解Newman-Penrose(NP)方程及其简化的方程.引力场非线性方程及NP方程组，以及各种近似时的非线性方程应该可以应用、得到各种孤子解、类孤子解等.其孤子轨道应该是短程线.宇宙空间是Einstein非线性引力场方程，其孤子解应该相应于稳定星球、场奇点、星团等.

引力场不符合叠加原理，但加速度却符合.二者要完全等价，必须推广加速度及其场.非线性方程的自聚焦等应该联系于引力透镜等.引力场的非线性方程应该在一定条件下导致混沌.而高能混沌解可能相应于星云、类星体等，及星、星团的爆炸、崩溃.广义相对论及非线性的弯曲时空的理论有混沌解.

各种相互作用引力、斥力应该统一.可能距离缩短时强引力都化为弱斥力，这类似强弱相互作用的转化.如果引力、斥力统一在广义相对论中，则称为“引力理论”是不太全面的.更一般，引力、斥力的互相转化可以推广到各种相互作用和力、场.温度越高，斥力越大.此时动能增大，趋于分离.爆炸膨胀，呈气态，为超新星等；反之收缩，为固体，如中子星、白矮星等.天体演化的初期是排斥，大爆炸、膨胀；而演化末期是吸引，为白矮星、中子星、黑洞.2015年和2017年直接发现的引力波就是天体演化的重要结果，由两个黑洞碰撞合并为一个黑洞和双中子星发出的[26-28].

存在电磁场时引力、斥力一定可以互相转化；因为电磁力有斥力，而且可能有不同电荷.同时这可以在广义相对论中，或在电磁广义相对论中[4,5].对电荷结构或存在电磁场时，可以把管克英的方法[29]推广到电磁力，改为e/m.电磁场势能近似为eV=eQ/r(静态场)，则

(20)

所以静态电磁场度规近似为

(21)

按照引力度规理论[30]，物体自旋满足平行移动方程，自旋进动角速度为

(22)

并有轨道陀螺自转轴进动实验.对电磁场中的自旋应该有类似结果.

如果电磁场中光线、电子偏折，则强电磁场也可以产生相应的两种电磁黑洞.电磁广义相对论也应该有相应的黑洞，或对目前的黑洞进行修改.而且引力、电磁场结合也可能有组合黑洞.电磁场等场也应该产生虫洞(此时G～1/137，c相同)，并得到一切相应于广义相对论的各种结果.进一步，各种泛理论都可能导致相应的结果，如黑洞、虫洞可以推广到强弱相互作用.

我们认为星云和不规则星系具有某些类似结构，所以有类似的动力学.进而可以展开更一般的比较[21]：

天文太阳系星系,星云双星和双星云微观世界Bohr原子模型生物双原子和双分子模拟理论泛量子理论Calabi-Yau空间

更一般，我们从不可逆物理研究了演化物理，讨论了各种时间箭头并且它们可能统一为统计性的时间箭头，探讨了时间不可逆的数学形式，包括半群和矢量的超复数时间，由此数学地提出半群物理和半群科学，进而讨论矢量时空、熵减和不同几何中的不对称性，推广的Noether定理和演化的世界[31].

4 量子引力理论

广义相对论一方面向宇宙空间发展；另一方面结合量子论向微观粒子渗透.因此，量子力学和广义相对论的统一是当代理论物理中的一个重大问题.目前新的三种引力理论主要是结合超弦的弦-膜(M)理论，Ashtekhar等的环量子引力(loop gravity)[32]和R.Penrose的扭量引力(twistor gravity).萨哈罗夫提出引力也可能是某种基本力场在真空长程下产生的压力，称为诱发引力(induced gravity).此外还有非交换几何和标度相对论，及R.Loll,A.Ambjom和J.Jurkiewicz的新探索等.

1967年J.Wheeler和B.Dewitt最早提出环论的公式.1986年Ashtekar提出环量子引力理论[32].1988年C.Rovelli和L.Smolin进行了发展.在1985年A.Connes的非交换几何中，量子力学是一种非交换的时空几何学，1989年得到所有粒子，包括Higgs粒子.1996年证明时空弯曲就是Dirac算符.2001年与D.Kreimer，M.Marcolli对重整化进行几何化(宇宙Galois群).在L.Nottale的标度相对论中，相对性原理应用于标度，时空是分形的.量子论和广义相对论是不同的标度，各是微观和宏观标度.Planck标度是目前理论的最小极限.由此可以证明量子力学的几率性，并由牛顿公式得到Schrodinger方程.进一步是它们互相统一.环就是闭弦，仅仅分别是时空和基元，其余二者各是几何和不同的标度.

笔者在介绍量子引力理论中的超引力和环量子引力后，基于量子理论和广义相对论的基本原理、主要特征等探讨了某些新的统一理论，进而提出广义相对论形式、算符形式和二者的结合等具体的数学方程及6个结果，并且讨论了一些统一的新方案，如量子理论中可能存在的类似宇宙项，各种相互作用粒子的质量关系，标准模型某些可能的发展等[33].

Einstein方程并不涉及时空流形的整体拓扑性质和边界条件，与这些相关的广义相对论哈密顿形式已经被讨论过，但其形式比较复杂[34].我们认为广义相对论与量子论应该统一于非线性理论，并且时空弯曲；同时具有统计性，真空中充满能量.前者类似广义相对论，后者类似量子论.可能微观时目前形式的引力理论必须修改，宏观时其化为广义相对论，然后才能统一.引力场的真正理论应该是量子引力理论(QGD).基本的引力尺度

Lg～(ћG/c3)1/2≈1.6×10-33cm,

(23)

引力时间

tg～(ћG/c5)1/2≈5×10-44s,

(24)

临界密度

ρg≈1095g/cm3.

(25)

在此范围空间几何发生度规的亚微观涨落.

广义相对论存在引力子悖论.其在引力场中，或者类似光子在电磁场中沿直线传播，则v≠c，且可能无静止质量或动质量；或者反之，v=c，沿弯曲的短程线运动，则黑洞不能发射引力子，就无引力相互作用.其应该有类似光子的量子效应、Lamb移位等.

Dirac说：“假设Einstein方程是完善的，正确的方程，但适用于这些方程中的物理量所采用的单位是与原子单位不一样的.”这才能“既允许G变化，又保留Einstein理论的成果.”广义相对论的应用范围可能有一个下限，如奇异性；也可能有一个上限.其量子化后重整化与幺正性，结合奇异性都必须修改、发展微观广义相对论.还可以结合超对称性等两方面结合的各种已知理论.

构造一个无量纲参数

(26)

α<约10-3是牛顿力学，α～1是广义相对论，α介于中间则应用后牛顿近似方法.1998年宇宙常数Λ成为解释宇宙膨胀，速度变化的两种互相竞争的主要理论之一[35,36].它使宇宙趋于平坦.此时Λ>0，但又极小，远远小于现今量子理论预测的数值.另一种是人择原理，对应于泛量子论[37-39]，大数定理，Λ可变.

考虑内部结构都必须宇宙项.引力子如果不存在，则引力场可能就是广义相对论的弯曲时空.宇宙常数Λ可能与引力子的质量不为0有关.天文观测表明宇宙常数的值必小于10-46km-2.宇宙常数可能源于：真空涨落和Higgs场，暗能量等.Λ表明它起源于真空中一种奇异的能量形式.根据泛广义相对论[4,5]，就有尺度可大可小的泛宇宙常数Λe.真空能ΩΛ=Λc2/3H2，H=(1/a)(da/dt)是膨胀比率.

宇宙学原理(CP)假设宇宙在大尺度上是均匀的及各向同性，于是宇宙物质成分成为具有压强p和能量密度ρc2的理想液体，Einstein方程化为：

(27)

(28)

(29)

对负物质，密度和压强为负，方程(28)化为：

(30)

对正负物质统一为：

(31)

相应于KG方程对正负物质是统一的.而Dirac方程和Schrodinger方程是m→-m.

5 讨 论

Einstein原理是：引力场的几何性质由物质系统具有相同对称性的物理性质决定.规范场场方程完全可以为相应的原理所概括.各种基本微观守恒量电荷e、量子数B、l及S(Y)、T都可由规范变换引入，也都可以分别引入类似或推广的电磁场或YM规范场的新场.不连续变换也引入新场，则P、C、T守恒也可以联系于相应的规范场.一般规范场类似电磁场，都有吸引、排斥两种.可以按照规范理论的方式修改引力场方程或作用量；并建立对经典和量子都普适成立的量子引力理论——量子几何动力学.

进一步，笔者推广Dirac的负能态，提出负能量对应负物质，其主要特征是与所有正物质之间都是斥力.这样正负物质通常是两类拓扑分离的区域，类似图1中两部分，彼此是不可见的，因此负物质可以作为暗物质最简单的候选者[10-16]，并且提出8种检验这一假说的方法.由此负物质的存在将使得用通常方法获得的质量大为减少.例如，假设正负物质各是总质量的55%和45%，则我们看到的物质只是总质量的10%.而且在一个大尺度空间如果正物质中存在一块负物质集团，则部分正物质将被屏蔽，因此可见物质将显得更少，并且随着地球在太阳系中的位置不同，星体和暗物质形状也将略有不同.这就是季节效应.20世纪90年代晚期以来，位于意大利Gran Sasso 的DAMA 暗物质实验组已经观察到每年8.2σ的不同效应.但迄今无法解释.这也许正是我们提出的季节效应[12].最近美国Johns Hopkins大学博士Judith Giannini提出笔者的这一假设是在所有尺度正负质量统一势的两种理论之一，认为笔者发展的场方程描述斥力和暗物质[40].

负物质对光子是斥力，负光子对物质也是斥力，二者都无法观测，都显示为暗物质.为解释暗物质提出的幻影(phantom)笔者认为就是负物质.通过引力透镜效应对星系团剧烈碰撞中的子弹集团的观测，发现了暗物质存在的直接证据.负物质作为一种最简单的暗物质的假设，具有可以同时解释暗物质的巨大质量缺失和暗能量的斥力的特性，并与共形引力理论和子弹星系观测结果等具有一致性.后者明显表示正负物质不同.星系相遇时负物质与正物质互相排斥，因此负物质非常快地逸出.负物质决定宇宙常数，可能改变引力透镜效应.并且由此可以得到最完备的物质对称结构[14,16].

此外暗物质的另一种简单解释是大距离时修改牛顿力学和引力定律(MOND).

总之，从电磁场开始，物理场分为：1)四种相互作用场；2)各种理论场，U(1)，SU(2)YM规范场，Utiyama场[41]，这是规范场的统一；二者应该结合.除电磁场方程外都是非线性的.四种相互作用场，一切玻色场都可以统一为Utiyama场或其推广.反之，每一种规范场可能都对应一种基本的或派生的相互作用.

各种微观守恒量统一为完全类似电磁场的规范场.每一种变换群下的不变性都对应某一个守恒定律，其推广对应一种新场.在多种变换下不变，即存在多种场.各种变换互相联系、统一则是Utiyama场或其推广.

超光速、狭义相对论的对称结构用于广义相对论、宇宙论等也有一组对称结果.即是处于类空间隔区域不同物体间的广义相对论和宇宙.1964年F.Hoyle和J.Narlikar的方案是根据Mach原理，物质惯性由宇宙中其它物体唯一决定.理论不应该含有未定的任意常数.而广义相对论引力场微分方程总有许多含有不同常数的解，因此改为一套包含质量场积分形式的引力理论，其与广义相对论的微分形式上等价，但微分场方程的某种特解才满足积分方程；其中G由宇宙中物质分布决定，并随时间t改变.

此外，广义相对论对应非欧几何和连续性；引力子对应非阿几何和量子性，对应最小量、超弦.这些都应该深入研究.