对一道浙江省学考试题的思考*

●张 玮

(学军中学,浙江 杭州 310012)

2019年1月浙江省普通高中数学学业水平考试(下面简称学考)，其中有一些题目很有意思，选择题的最后一题引起了笔者的兴趣.

图1

例1 如图1，线段AB是圆的直径，圆内一条动弦CD与AB交于点M，且MB=2AM=2，现将平面ACB沿直径AB翻折，则三棱锥C-ABD体积的最大值为

( )

(2019年1月浙江省普通高中数学学业水平考试第18题)

解 先固定CD，由于翻折后三棱锥的底面积是确定的，故只需求高h的最大值即可，即点C到平面ABD距离的最大值.设在翻折过程中MC和平面ABD所成的角为θ，由最小角定理可知

h=CMsinθ≤CMsin∠CMB，

即当面ACB⊥面ABD时，体积V最大,因此，

又

CM×DM=AM×BM=2，

从而

V≤sin2∠CMB≤1，

当CM⊥面ADB时，V=1.

评注 例1属于立体几何中的翻折问题.但是在求CM×DM的值时，需要用到平面几何中的相交弦定理，因此例1是平面几何和立体几何的一个完美结合.该题考查了立体几何线面角中的一个重要结论，有一定的思维量，难度适中，作为学考选择题的最后一道是最合适的.

翻折问题是高考立体几何中的常客，但是将平面几何和立体几何结合起来的翻折问题，为数不多.因此笔者对此题作了探究，并推广到解析几何.

1 变式

由于CD是动弦，因此沿CD对折，将更具变化性.由此得到了例2：

图2

例2 如图2，线段AB是⊙O的直径，圆内一条动弦CD与AB交于点M，且MB=2AM=2，现将平面BCD沿CD翻折，则三棱锥A-CBD体积V的最大值为______.

解 由例1的解答可知

过点O作ON⊥CD于点N，并设∠CMB=α，则

故

令f(x)=(9-x)x2,其中x∈(0,1]，则

f′(x)=-3x2+18x，

从而y=f(x)在(0,1]上单调递增，于是

在例2的解答过程中，同样考查了线面角的重要结论，同时还考查了导数的简单应用，是一个不错的训练题.另外若将例1中的圆改成椭圆，则可以将结果推广到圆锥曲线中，而立体几何和解析几何的结合，也使得题目(如下面的例3)变得更加亮眼.

图3

2 推广

解 设定点M(r,0)(其中-a

(b2m2+a2)y2+2b2mry+b2r2-b2a2=0.

设∠CMB=α，点C和点D的纵坐标分别为yC,yD，则由例1的解答知

经过思考，可以得到例3的两个变式如下：

仿照例2，得到如下两个问题：

问题2 在问题1中，体积V取到最大值是AB⊥CD的充要条件吗？

对于问题1和问题2，笔者作了探究，并得到如下结论：

证明 设∠CMB=α，椭圆的焦距为2c，点C和点D的纵坐标分别为yC,yD，则直线CD的方程为x=my+r.由例2的解答知

将x=my+r代入椭圆方程,得

(b2m2+a2)y2+2b2mry+b2r2-b2a2=0,

即

1)若q≥0，即r2≤c2，则f′(x)≤0,从而

此时

即AB与CD不垂直.

3 一点思考

2003年的全国数学高考试题堪称“史上最难”，时至今日，笔者记忆犹新.理科第18题是一个立体几何试题，是解答题的第2题，当年这道题做出来的考生凤毛麟角.现在回过头来看看，不觉得难，但是为什么当时会难，笔者认为原因很简单，就是因为命题者将平面几何和立体几何结合在了一起.在计算过程中，必须要用到直角三角形中的射影定理，才能看到胜利的曙光，而很多考生都倒在了平面几何上.其实单从结论来说，考生也许都知道，但是能想到两者结合的，可能就不多了.

2015年的浙江省数学高考理科试题第18题是函数试题，是解答题第3题，当年的考生也反映不简单.但是对于一些老教师来说，可能也不觉得新鲜，反而似曾相识，根据老教师反映，类似的试题已经好多年没有出现.而2015年重出江湖的时候，却考倒了一批考生.

由此，当笔者看到例1时，产生了一个疑问：若干年后，二、三个几何知识点的结合体是否会再一次出现在高考卷中呢？就像学考试题那样，用到的平面几何知识并不难.对于圆来说，要联想到平面几何比较自然，那么在解析几何当中，还会自然吗？在解析几何中，如果要利用立体几何的结论，学生还会做吗？如果是3个几何知识点结合起来，考生还依然会处理吗？

笔者认为例1是多个几何知识点的结合，教师要静下心来好好考虑一下：在教学过程中，如何让学生能想到或想到得更加自然.两个几何知识点的结合非常考验学生的能力，要求学生对相关知识非常熟悉，同时也强化了立体几何的传统证明.因此，在今后的教学中，教师可以考虑几个几何知识点结合的综合试题，并原创出更多的好题.在类似的题目出现在高考卷上之前，做到有备无患.