天棚型转子动力吸振器的参数优化*

刘子良 张 钦 太兴宇 许 琦 姚红良 闻邦椿

（1.沈阳理工大学机械工程学院；2.东北大学机械工程与自动化学院；3.沈阳鼓风机集团股份有限公司4.沈阳工业大学机械工程学院）

0 引言

现代旋转机械，大多数以超临界转速工作。若系统内存在质量不平衡，启停机过程必然经历振动剧烈的一阶共振区。若不平衡故障恶化，将严重影响设备运行的稳定性及生产安全性。因此，研究一阶共振的抑制方法具有重要意义。

由不平衡引起一阶共振振幅过大问题的解决措施有：（a）对转子系统做重新配重的动平衡处理；（b）通过其他结构施加力抵消不平衡力。工艺动平衡技术需要拆卸转子，利用平衡机确定校正质量[1]。拆卸及运输致使维修耗时长，停产造成的经济损失大。现场平衡技术无需拆卸转子，但需要复杂的实时监测、控制、执行结构[2-3]。施加反作用力抵消不平衡力的方式主要采用的结构有可挤压油膜阻尼器[4]，可主动控制的磁流变阻尼器[5-6]，主动电磁轴承[7-8]及形状记忆合金致动器[9]。这些结构在现代旋转机械的振动抑制中发挥了重要作用，但也存在结构缺陷，如结构过于复杂，需要配置控制系统，实时控制耗能大。

图1 动力吸振器的结构简图Fig.1 Structure sketch of dynamic vibration absorber

近年来，为寻求更优秀的抑振方法，多位科研人员对吸振器在转子振动抑制方面的应用进行了研究。例如，张炳康等[10]利用对分式吸振器降低转子70%的一阶共振振幅；张振坤等[11]利用鼠笼式吸振器抑制转子一阶共振，振幅降幅为34.6%；Hu等[12]采用转子动力吸振器有效降低转子启机过一阶临界转速时的剧烈振动，使转子在全速范围保持低水平振动。Yao等[13]开发的负刚度动力吸振器对转子一阶共振进行抑制，取得良好的抑振效果。上述动力吸振器只采用了弹簧单元，并未考虑阻尼单元。由经典理论可知，吸振器适当增加阻尼单元，其抑振性能更佳[14]。在吸振器的结构方面，因多数常用阻尼结构尺寸较大，若采用Voigt型动力吸振器（如图1（a）所示），吸振器总质量将非常大，严重影响转子的振动特性，因此选用一种将阻尼单元与基础相连的skyhook型结构（如图1（b）所示），从而降低对转子系统的影响。

被动式动力吸振器不仅结构简单，且无需额外能量输入，相同适用条件下常被优先选用。所以，本文将被动式skyhook型吸振器定为研究目标。采用有限元理论对吸振器-转子耦合系统建模并求解频响函数。建立以频响函数为目标函数，动力吸振器的频率比和阻尼比为优化变量的优化数学模型，采用APSO对不同质量比的吸振器进行参数寻优。将其最优参数参数及抑振性能，并与Voigt型动力吸振器对比，掌握其特性及抑振性能的优异性。最后，分析频率比与阻尼比偏离最优值时，抑振性能对两个参数的灵敏度。

1 动力吸振器-转子耦合系统的动力学方程及求解

转子系统采用单跨-单盘系统，转轴两端采用对称支承。

图2 转子系统简图Fig.2 Structure sketch of rotor system

利用有限元法将系统离散为多个弹性轴段，轴段采用欧拉梁单元模型：

图3 欧拉梁单元模型Fig.3 The model of Euler beam element

轴段单元的广义坐标如下：

利用拉格朗日方程求得各轴段单元的运动方程，然后综合各轴段可得不平衡力作用的转子系统的动力学方程如下：

式中，Mp，Cp，Gp，Kp分别为转子系统的质量、阻尼、陀螺、刚度矩阵；xp，x˙p，x¨p分别为位移、速度、加速向量；Fp（t）为转子系统受到的外激向量，即圆盘质量偏心产生的不平衡力。

在转子系统的节点nj附加动力吸振器后，动力吸振器-转子耦合系统的动力学方程为：

式中，Ma，Ca，Ka为动力吸振器系统简化后的质量、阻尼和刚度矩阵，Ca1，Ka1表示分别将ca和ka加到与Cpa等维的零矩阵中的第j-1个和第j个对角线位置。

令F（t）=F0（w）eiwt，x=Xeiwt，则公式（3）变为：

那么，系统响应的振幅可表示为：

其中，H=- ω2M+iω（C+Gp）+K0

系统中第k个节点的频响函数可以表示为：

下文简称未附加动力吸振器的转子系统为原系统，耦合系统中的转子系统为主系统。

2 动力吸振器的参数优化设计

由于原系统除自身材料阻尼外，还存在支承阻尼，支承阻尼对系统振幅的影响很大。所以，设计动力吸振器参数时，不能忽略主系统的阻尼因素。主系统属于旋转连续体系统，为保证精确性，不能将其等效为单自由度系统，利用一些经典设计公式求解最优动力吸振器的参数。因此，本文采用数值优化方法进行参数优化。考虑到频响函数对设计参数难以求导，因此选用智能算法中的APSO进行参数寻优。

2.1 优化模型规划

设定原系统的一阶共振振幅为A0，将主系统在不同转速下的响应幅值转化为放大率形式，记为：

设动力吸振器的频率比和阻尼比分别为：

式中，ωa为动力吸振器的固有频率，ωa=，ωn1为原系统的一阶固有频率。

设动力吸振器的设计参数为：

对动力吸振器参数优化的目的是附加吸振器的转子系统升速至工作转速时的共振振幅最小。因此，优化设计的目标函数定义为：

式中，λ=ω/ωn1。

优化约束条件为：

式中，λw=ωw/ωn1，ωw为工作转速。

2.2 APSO的适应度函数及算法流程

APSO根据适应值及早熟收敛情况，将种群粒子进行分类，自适应地调节各类粒子群的惯性权重，从而增强跳出局部最优，搜索全局最优的能力[15]。

2.2.1 适应度函数

APSO的适应度函数可表示如下：

粒子越靠近最优值，共振振幅越小，适应值越小。

2.2.2 算法流程

Step1初始种群参数：设定种群规模Npso；粒子维数为2维，分别为动力吸振器的频率比γ和阻尼比ζ；随机初始种群位置VD0和速度VD0，设定位置极限VDmax、VDmin和速度极限VDmax、VDmin；

Step2计算初始种群的Afiti，将各自位置设为个体最优位置ppbi，将其中适应值最小的位置设为全局最优位置pgb；

Step3判断pgb是否满足收敛条件，若满足则转向Step6；否则，执行Step4；

Step4判别早熟收敛情况，若早熟收敛则自适应分类调节惯性权重；若非早熟收敛，则保持惯性权重不变；更新粒子的位置和速度，若位置与速度超出极限，则强制定义为极限值；

Step5计算各个粒子的Afiti，若该值优于ppbi则将该ppbi更新为该位置；若该值优于pgb，则将pgb更新为该位置；判断迭代次数是否达到最大值，若为最大值，执行Step6；否则，执行Step2；

Step6输出最优值pgb，停止迭代。

3 仿真研究

3.1 仿真参数

1）转子系统的参数

利用有限元法将原系统离散为多自由度系统，离散后具有9个轴段单元，各轴段单元具体参数如表1所示。圆盘的中心为节点n5，存在质量偏心矩为me=1×10-5kg·m。节点n1，n10处线性对称支承，刚度和阻尼分别为ks=1×108N/m，cs=7×105N·s/m。

表1 轴段参数Tab.1 The parameters of shaft

原系统的前2阶的固有频率分别为52.7Hz和389.5Hz，第1阶振型如图4所示。

由振型可见，发生一阶共振时节点n5为系统上最大振幅位置。因此，将该点作为目标抑振点，同时将其振幅作为动力吸振器抑振性能的评估载体。

图4 原系统的一阶振型Fig.4 The first order form of original system

2）APSO的参数

粒子群算法的初值选择对迭代收敛速度有很大影响，因此初值的合理选择显得非常重要。

Liu等求得应用于单自由度质量-阻尼-刚度系统的单自由度skyhook型动力吸振器最优调谐参数的近解析解，最优频率比如下[16]：

式中，ζp为主系统的阻尼比。

利用特征向量法将原系统等效为单自由度的质量-阻尼-刚度系统，等效系统参数如表2所示。

表2 等效系统的参数Tab.2 Parameters of equivalent system

利用公式（13）求解各质量比的单自由度skyhook型动力吸振器的最优频率比，结合文献[16]中利用数值方法求得最优阻尼比，构成向量=[,]。每个粒子在VD0i=[0.8, 1.2]的范围内随机初始化，借此提高收敛速率。每个粒子的极限位置均为VDmaxi=[2,1]，VDmini=[0,0]，速度极限为最大位置极限的1/5。种群规模选取Npso=40，迭代次数为50次。c1=2.05；c2=2.05；k1=1.5；k2=2；参数含义见文献[15]。

3.2 仿真结果

3.2.1 APSO的寻优精度

将APSO与粒子群算法（PSO）、权重缩减的粒子群算法（CFPSO）方法优化后的参数进行对比。分别利用三种算法对μ=0.05的动力吸振器进行参数优化，分别运行50次，得到最优参数结果，如表3所示。

表3 最优参数和振幅放大率Tab.3 Optimal parameters and amplitude magnification

图5为采用三种方法的优化收敛曲线。CFPSO能很好地搜索粒子最优解，但与PSO类似，由于缺乏引导容易陷入局部最优。APSO由于借鉴自适应调整遗传算法控制参数的方法对惯性权重进行合理调整，增强了对陷入局部最优的探查能力，从而增加了跳出局部最优的几率，且具有优秀的收敛速度和精度。

图5 三种优化方法的优化收敛曲线Fig.5 Curves of optimization conergency of three optimization methods

图6 为经附加三种算法优化后动力吸振器的主系统及原系统的幅频响应曲线。由图可见，附加三种动力吸振器后，主系统的共振振幅均有效降低，并且因附加吸振器产生的两个新共振峰幅值相等。

图6 幅频响应曲线Fig.6 Amplitude-frequency response curve

3.2.2 不同质量比的吸振器的最优参数及抑振性能

为掌握质量比对动力吸振器最优参数的影响，对不同质量比的动力吸振器进行寻优，质量比的变化范围为0.01～0.1。将其最优性能与Voigt型动力吸振器进行对比，进一步了解其性能优劣。

观察图7可见，skyhook型动力吸振器的最优频率比随质量比的增大而增大，阻尼比随质量比的增加而变大，而最优振幅放大率随质量比增加而减小（抑振性能逐渐提高）。相比Voigt型动力吸振器，在小质量比（μ＜0.05）时二者的抑振性能基本相同，但随着质量比的增加，抑振性能逐渐优于Voigt型吸振器。这可能与Voigt型动力吸振器具有较大的刚度和阻尼有关。由图7（a）可见，随着质量比的增加，Voigt型动力吸振器的最优频率比逐渐减小，这与skyhook型动力吸振器相反。这意味着质量比越大，skyhook型动力吸振器的频率比和阻尼比比同质量比的Voigt型动力吸振器大的越多。

图7 最优动力吸振器的参数及最优放大率随质量比的变化Fig.7 Changes of the optimal parameters of dynamic vibration absorber and the optimal magnification with the mass ratio

3.2.3 抑振性能的灵敏度分析

当动力吸振器的频率比或阻尼比偏离最优值，抑振性能将降低。本节讨论抑振性能对频率比或阻尼比偏离最优值的灵敏度。频率比（或阻尼比）的变化量以符号ηγ（或ηζ）表示，具体含义为：ηγ（或ηζ）=（实际的频率比（或阻尼比））/（最优频率比（或阻尼比）），参数范围为0.6～1.4。参数在该范围内变化时，动力吸振器的灵敏度如图8所示。图中抑振性能对频率比（或阻尼比）的灵敏度以ha（或hb）表示，其含义为：ha（或hb）=（附加频率比（或阻尼比）偏离最优的动力吸振器的主系统的共振振幅-最优振幅）/（原系统的共振振幅-最优振幅）。其值越大，说明抑制性能对参数越敏感，性能降低越严重；若该值大于1，表明动力吸振器不仅没有抑振效果，反而使振动加剧。图中分上下两层，下层为上层图像在底面的投影。

由图8观察可见，频率比偏离最优的情况下，质量比较小时，频率比无论增大或减小，灵敏度均随其偏离最优值程度的增加而迅速增加。在μ=0.01，ηγ=0.6时，动力吸振器不仅没有发挥抑振效果，反而使振动加剧。随质量比增加，抑振性能对频率比的灵敏度逐渐降低；相比频率比减小，频率比增大时灵敏度较低，即相同偏离最优的程度下频率比变小对抑振性能的影响更大。

图8 抑振性能对参数的灵敏度分析Fig.8 Analysis on sensitivity of vibration suppressing performance to parameters

当阻尼比偏离最优时，在参数的变化范围内灵敏度不超过0.12，证明抑振性能对阻尼比变化的敏感度较低。相同偏离系数下，与频率比偏离最优相比，阻尼比偏离最优时其抑振性能的降低程度更小。相同偏离系数下，不同质量比的动力吸振器对阻尼比的灵敏度相近。

4 结构设计方案

动力吸振器的阻尼单元很重要的。磁阻尼具有良好的线性特性，而且不容易受温度的影响，与其他类型的阻尼相比具有明显的优越性。所以，天棚型转子动力吸振器的阻尼单元采用磁阻尼。

5 结论

1）利用APSO对抑制转子一阶共振的被动式skyhook型动力吸振器进行了优化设计。优化设计的动力吸振器能有效降低转子一阶共振振幅，且具有良好的抑振效果。

2）skyhook型动力吸振器的最优频率比随质量比增大而增大；相同质量比下，质量比越大，skyhook型动力吸振器的抑振性能比Voigt型动力吸振器越优越。

3）skyhook型动力吸振器的抑振性能对频率比变化的灵敏度高于阻尼比；小质量比的动力吸振器的抑振性能对频率比的灵敏度高于大质量比动力吸振器；同等偏离程度下，吸振器对频率比减小的灵敏度高于频率比增大；阻尼比偏离最优时，同等偏离程度下，各质量比的吸振器的灵敏度基本相同。