高等数学背景下的导数问题举例

倪红林

高考中的导数问题，一般只是利用求导的方法来研究函数的单调性，进而研究函数的极值或最值问题，也就是说利用的是高等的方法，但研究的还是初等函数问题，本文笔者试图尝试利用高等数学的方法，在高观点之下，研究某些难度稍大的函数问题，而且这些问题本身就有高等数学的背景，希望能为解决这类压轴问题提供一些有益的思路，

评注1本题的第（3）问本质上是利用判断函数的单调性来解决不等式的问题，这是一种很经典且有效的处理方法，

评注2 （1）由于F（x）在区间上并不存在最小值，故我们利用洛必达法则来估计F（x）在x=0处的值，以此来估计F（x）的最小值，这是利用极限的思想来处理函数在具有唯一单调性的开区间上的取值范围问题.（2）这里之所以用洛必达法则，原因在于当x=0时，F（x）无意义，且当时，e正好可以符合洛必达法则，

所以x=√2是一个类对称点的横坐标，

通過以上范例的分析知道，微分法是研究初等函数单调性的有效方法，本文直接利用导数的定义来求导函数的值域，以及利用极限的思想来处理函数在具有唯一单调性的开区间上的取值范围问题，