在习题教学中落实数学学科核心素养的培养

陈耀

新一轮课标修订启动以来，“核心素养”及其相关的话题就成为了高中教育教学关注的焦点，《普通高中数学课程标准（2017年版）》颁布之后，关于“数学核心素养”在课堂教学中如何得以培养的研究更是方兴未艾，本文将从高三总复习时一道数列型不等式的习题证明出发，浅谈如何培养数学学科核心素养.

1试题呈现

2试题分析

数列型不等式，涉及到的知识点较综合，思维难度、跨度大，构造性强，需要有较高的放缩技巧，从而使问题充满思考性和挑战性，能全面地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为了高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材.

3落实核心素养的依据

依据建构主义学习理论，学习者的学习过程是建立在已有的知识经验和相应的文化背景之下，通过主动的知识加工而形成的，从这个角度来说，学生的学习最主要的动机来源于学生本身，首先要明确问题概念，进而整理总结得到解题规律，形成知识点，然后把各知识点通过逻辑线索连起来串成线，直至知识网络，直至综合的知识体，因此，在教师在教授过程中要充分调动起学生的主观能动性，引导学生自行或者小组探究，通过多角度观察、分析已知条件的的结构特征，通过逻辑推理，深入剖析其特征，抽象其数学本质，辅以直观想象，建立相对应的函数模型，抓住其内在规律进行恰当地放缩，最后辅以合理运算可得其结论.

4主要解题过程呈现

基于以上理论，本题教学遵循引导发现，采用问题探究式教学，以多媒体、投影仪为辅助，倡导“自主、合作、探究”的学习方式，培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象等高中数学核心素养，教学过程主要有：创设情景（课前准备、引入实例）一授新设疑一质疑问难、论争辩难（进一步加深理解一突破难点）一沟通发展（反馈练习一归纳小结）一反思领悟.

4.1问题引入

师生互动师生共同观察本例，试图确定本题所考查的知识点（数列、不等式、函数等）;所考查的数学思想方法（化归与转化的思想、函数的思想、特殊与一般的思想等）;所考查的具体解题方法（放缩法等）;所涉及的高中数学核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象等）;理解题意时不应该只局限于已知数，未知量等表面的内容，而要引导学生能否把问题简化，或是换一种方式或者数学语言来表达，或是能否从自己的默会知识中搜索同类型的问题，并分析回忆其解题思路等.

设计意图高三学生已经具有数列、函数和不等式等相应的知识，因此引入本类题型，以期能唤起学生对相应知识的回忆，使之有解答题目的欲望，帮助学生更好的复习好相应的知识点，以期揭示此类问题的解法本质.

4.2回顾放缩法

师生互动由直观想象，此题可能要用到的放缩法，教师让学生先自行探讨再小组商定，尽可能的梳理出平时有涉及到的放缩的一些结论，或者方法技巧，或者已会的相关典例、数学模型等，经过师生努力后所得如下：

设计意图通过“放缩法”的回顾与整理，让学生尽快抽象出其数学本質，找到解题的“题感”，此类问题的解题“数感”，尽快引导学生通过逻辑推理把已有的知识和解题思路跟当下所需求解的问题通过直观想象挂钩，由已知想未知，由未知想需知，为突破本题埋下伏笔.

4.3回顾如何建模——构造函数模型

师生互动根据上述回顾及逻辑分析，观察到不等式左侧结构齐整，联想到与指对数有关的函数模型，因此，教师引导学生回顾如何构造函数模型，如何构造、抽象出与不等式有关的函数模型，经过师生努力后得到如下常用结论：

设计意图通过对放缩法进一步整理，让学生找到与本题有关函数模型的放缩方向，尽快引导学生把握此题方向，向最后的解题方案拟定而努力，培养学生的逻辑推理、数学抽象、建模等核心素养.

4.4拟定方案

师生互动（l）所证的不等式左侧有类似Inx的结构，故结合4.3所回顾的常用结论，可构造函数模型x≥1n（x+1），变形得.再次变形得

设计意图此方案的核心就是构造了函数模型x≥Inx+l，突破了本题证明的难点，此思路源自过去的解题经验和默会知识，因此，可抛出“你能找到与此有关的一道问题吗？”这个问题让学生思考，这个有关的问题不一定是一道曾经求解过的问题，而更可能是通过直观想象，变化、转换或修改叙述方式，找到与某个题目的联系点.

4.5执行方案

师生互动教师根据4.4的分析，结合适当的数学运算，按照所拟定的方案边讲解边板书呈现出完整的解题过程：

设计意图从拟定方案到执行方案，学生最可能遇到的就是运算问题了，所以培养学生认真审题，主动动手操作，研究算法算理等能力很重要，特别是还需要养成良好的解题习惯，因此，教师必须坚持让学生检查每一个步骤，以使学生真正确信每一步的正确性，而且通过教师的板书示范，使学生能更好的模仿训练，以至巩固.

4.6回顾、反思

师生互动教师根据上述解答，提醒学生再次回顾之前所拟定的方案，检查是否都按既定的方案彻底地执行了，或者在执行的过程中是否有需要进一步做合理调整的，或者有没需要验证的;最后反思整理，一起努力总结出本题的解题思路、策略：理解题意——回顾相关知识点或者方法——拟定方案——执行方案——回顾、反思，

设计意图本题问题本质，主要就是考查利用导数知识研究函数性质，利用性质解决不等式、数列问题，重点考查学生的代数推理能力，从教师的教学视角来看，主要就是让学生养成自我检查、反思的好习惯，形成举一反三的能力，提高他们的分析问题、解决问题的能力，养成用“核心素养”的眼光看问题的习惯.

4.7巩固、整理

师生互动教师给出以下变式训练，让学生分组限时练习（考虑到时间关系，一组一题），答案在学生解题过程用投影仪呈现出来后板书出来，或用PPT呈现，然后点评学生的作业的优缺点。

设计意图提高自主解决问题的能力，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习，点评时师生互动，增强了师生感情，一起构造了和谐、智慧的课堂，培养了学生各方面综合的核心素养.

5从本题教学看高中数学核心素养的培养

5.1加强变式训练，培养数学运算素养

从本题的解答过程得到启发，笔者认为可以从以下5个方面着手培养.

（l）学生在解决问题出现运算错误时，主要都是因为对数学运算对象理解不透而导致，这些数学运算对象常常都是最基本的数学概念，因此，熟悉基本概念，理解数学运算对象对培养数学运算素养很重要.

（2）高中阶段，理解公式和定理是解决问题的关键所在，在教师在教学过程中，应注重定理证明的思路及过程，让学生知道定理的由来及应用范畴和一些限制条件，比如基本不等式应用的“一正二定三等”，因此，理解公式定理，掌握运算法则对培养数学运算素养很重要.

（3）常言道：“条条大路通罗马”，数学运算也是同样的道理，对于一道题目的理解，不同学生有不同的思路，因此需要从多角度审题，灵活探索运算思路.

（4）在教学过程中，教师在授课特别是在授新课时，应该对于常规题、典例进行正确的板书，注重分步答题，设计合理的运算程序，这个对培养数学运算素养很重要.

（5）从核心素养角度去考虑，运算能力包括算法算理、计算能力等，如果学生计算能力没得到提升，所谓运算对象、思路、程序都是空谈，因此数学运算最后还要落实到计算上来，因此加强变式训练，提高计算能力对培养数学运算素养很重要.

5.2变换审题视角，培养直观想象素养

从本题的解答过程中看，笔者认为可以从以下

3个方面着手培养.

（l）要加强概念教学，教材中不论什么内容都是从概念开始，然后通过逻辑推导得此概念的本质，因此，理解概念是核心，这有助于培养学生的直观想象素养.

（2）直观想象主要跟“几何”内容有关，所以加强对图形的识别很重要，教学中多注意加强演示，在演示中，引导学生注意观察图形特征，特别是要培养学生将一些复杂图形拆解成基本图形的能力，从而让学生获得几何直观和空间想象思维的感性认识的能力.

（3）由于综合题往往涉及面较广，在教学中，教师要加强直观想象的培养，让学生从分析题意的过程中，教给学生拆题的能力，化复杂为简单，然后各个击破.

5.3强化模型化思维，培养数学建模素养

笔者认为可以从以下3方面进行培养.

（l）重新审视教材，培养學生用建模的眼光看问题，比如，本题中涉及的数列求和的模型，均值不等式常用模型等.

（2）加强“换元法”的解题教学，使一些问题转化为常用数学模型.

（3）注意加强常用模型的理解记忆及应用，比如几何问题中的常用的正方体，正四面体，球等模型;函数问题中各函数模型，比如指数模型，对数模型等，多总结，多记忆，多应用，便于解题时能及时提取.

5.4整体相联逻辑推理，培养逻辑推理素养

笔者认为可以从以下3方面进行培养.

（1）激发学生的数学学习兴趣，课堂教学中融入数学文化、数学学科故事，使得知识有相关联的背景，学生学习有兴趣了，自然对逻辑能力的培养有帮助.

（2）问题教学中做好示范，培养好解数学题应有的好习惯，而且要打破平时的定式思维，注重发散思维的培养.

（3）结合具体习题与场景培养学生的思维能力，教师在教学过程中应该注重结合具体习题练习以及设置特定的场景，从学生的生活入手，引导学生学会从生活中发现数学，也鼓励学生将所学到的数学知识灵活运用到生活中.

5.5提高思维的灵敏度，培养数学抽象素养

笔者认为可以从以下3方面进行培养.

（l）构建适当的数学模型，使数学知识联系起来，让知识学活，比如“三个二次”问题;比如数列是一种特殊的函数等.

（2）巧用思维导图，培养学生的思维活跃性.

（3）从培养学生的自主能动性入手，学生应该在教师的指导下有意识地将各相关知识点联系起来，将生活与知识联系起来，将小组团队学习引入到课堂内外学习中是一种很好的学习方式，

总之，数学教学应能针对不同阶段的学生，提出既不超过自身认知结构的同化能力，又能促进他们向更高阶段发展的富有启迪作用的恰当内容，各种素养的培养应该是相互促进的，单方面培养某方面的素养是不利也不可行的，所以在落实素养培养时，齐头并进更有效。

参考文献

[1]崔允郭.追问“核心素养”[J].全球教育展望，2016 （05）：3—10， 20

[2]徐斌艳.关于德国数学教育标准中的数学能力模型[J].课程教材教法，2007 （09）：84-87

[3]马云鹏.关于数学核心素养的几个问题[J].课程教材教法，2015（09）：36-39

[4]史宁中.推进基于学科核心素养的教学改革[J].中小学管理，2016 （02）：19-21