嵌套式多涡卷混沌系统及其电路实现*

熊 乐 ，卢 鑫 ，李志军 ，曾以成

（1.湘潭大学物理与光电工程学院，湖南 湘潭 411105；2.湖南华南光电（集团）有限责任公司，湖南 常德 415007；3.湘潭大学信息工程学院，湖南 湘潭 411105）

0 引言

因混沌现象广泛存在并且有着十分广阔的应用前景，从而被研究者们深入研究［1-4］。混沌的保密性能关键在于混沌系统的复杂程度，用动力学特性相对简单的混沌信号去作为加密信号使用的时候，保密系统就很容易被攻破。多翅膀、多涡卷混沌系统具有动力学特性非常复杂等重要特点，可以用来提升混沌保密通信的安全性能，因此，研究多翅膀、多涡卷混沌系统的构建及其相关动力学特征仍然是目前混沌理论及其应用研究领域研究的热点之一［5-7］。

已经有非常多的文献通过在已知的混沌系统中添加非线性函数或着分段线性函数，以扩展指标2的平衡点，从而产生动力学特性更加复杂的多翅膀、多涡卷吸引子。自1993年Suykens和Vandewalle［8］成功地构造出多涡卷混沌系统以后，研究者们又通过在一些经典系统中添加一些分段线性函数，如多项式、饱和函数、周期脉冲和阶跃函数等，实现了各种复杂的多涡卷混沌吸引子［9-11］。然后Liu［12］等人在2003年构造出一个四翼蝴蝶混沌吸引子，尽管这个四翼混沌吸引子后来被证明是通过数值计算产生的一个伪四翼蝴蝶混沌吸引子，但这却引起了研究者们对构造多翼蝴蝶吸引子的兴趣。文献［13-14］分别是基于多项式变换和Julia过程，构造出能够产生环形多翼蝴蝶吸引子的混沌系统；文献［15］是通过构造异宿环，从而得到了能够产生网格多翼蝴蝶混沌吸引子的系统；文献［16-17］则是通过设计出适当的分段线性函数，得到多翼蝴蝶混沌吸引子。

上面所述文献基本上都是围绕吸引子涡卷或着吸引子翅膀的数量进行混沌系统的设计，并且一般都是在一维到三维空间上增加涡卷的数量，但是发现这样混沌吸引子的结构并没有改变。本文在已知的Jerk系统基础上，对Jerk系统方程组的第1、第2和第3子方程上分别添加符号函数，成功地构造出一种和以往不同结构的混沌吸引子。通过更改符号函数的幅值，可以看到吸引子的整个变化过程，是由一个简单的多涡卷混沌吸引子慢慢地转变成一个呈嵌套式结构的多涡卷混沌吸引子。然后通过周期脉冲对得到的嵌套式多涡卷混沌系统的平衡点进行扩展，得到在一维排列的嵌套式多涡卷混沌吸引子阵列。最后进行混沌电子电路的设计和仿真，证实数值模拟和电子电路仿真结果的一致性。

1 新混沌系统的构建与基本分析

2000 年，Elwakil［19］提出了一种简单的 Jerk 系统方程如下：

其中，a为可调参数，f（x）=sgn（x）为符号函数，当a=0.8时系统有3个不稳定的平衡点，分别是O（0，0，0），P+（5/4，0，0），P-（-5/1，0，0）。此时系统产生双涡卷吸引子如图1所示［19］。

图1 Jerk混沌系统吸引子相图

1.1 非对称嵌套式四涡卷混沌系统的构建

在系统式（1）第1个子方程中添加非线性函数φ（y）=sgn（y），可构造如下的三阶自治系统：

当a=0.8，b=28时，混沌系统的Poincaré映射图如图2（a）所示，功率谱图如图2（b）所示。当b的数值从3增加到28时，系统的吸引子由一个双涡卷逐渐地演变成一个具有嵌套式结构的四涡卷吸引子，吸引子相图的转变过程如图3所示。

图2 系统式（2）的Poincaré截面图和功率谱图

图3 系统式（2）随参数b的相图转变过程

从系统的各个相图、功率谱图和庞加莱映射截面上点的分布，可以看出该系统为混沌系统。

1.2 非对称嵌套式六涡卷和八涡卷混沌系统的构建

在系统式（2）的第2个子方程中添加函数准（z）=sgn（z），可构造如下的三阶自治系统：

当参数a=0.8，c=1，d=1，参数b的数值从3到28变化时，系统式（3）的吸引子相图转变过程如图4所示。从图4可以看出，此时系统的吸引子从一个四涡卷吸引子逐渐变成一个具有嵌套式结构的六涡卷吸引子。当a、d值保持不变，c=3，b的值从3到28变化时，式（3）的吸引子相图转变过程如图5所示。由图5可知，此时系统的吸引子由一个嵌套式的四涡卷吸混沌引子逐渐变成一个嵌套的八涡卷混沌吸引子。而且在此参数条件下，得到的嵌套式八涡卷吸引子具有双层嵌套的结构。

图4 c=1，d=1时，式（3）随参数b的相图转变过程

1.3 对称嵌套式六涡卷混沌系统的构建

在式（3）第3个方程中再添加非线性函数准（z）=sgn（z），可构造如下的三阶自治系统：

图6 式（4）的动力学行为分析

当参数 a=0.8，c=3，d=3，b=28，e 的值由 3 到 5增加时，式（4）所得到的吸引子由一个非对称的具有嵌套式结构的六涡卷逐渐演变为一个双边对称的嵌套式六涡卷吸引子，吸引子相图的转变过程如图6所示。从图6（c）和6（d）可以看出，当e的值取3时，式（4）所产生的吸引子是一个只有单边四涡卷被嵌的六涡卷吸引子，而当e的值取5时，混沌吸引子的相图如图6（b）所示，此时x轴正方向被嵌的是一个双涡卷，并且x轴的负方向也生成了一个双涡卷，被嵌入到一个大的双涡卷中，由此形成了一个对称的具有嵌套式结构的六涡卷吸引子。

2 动力学特性分析及数值仿真

2.1 耗散性和吸引子的存在性

同理，混沌系统式（3）和式（2）有着一样的耗散性，但式（4），由于因此，混沌系统式（4）有着一个特殊的点，即当z=0时，有 △V=-（a-e），当 a>e时，混沌式（4）是耗散的。当 z≠0时，有 △V=-a，此时式（4）的耗散性与混沌系统式（2）和式（3）保持一致。

2.2 平衡点及稳定性

S0=（0，0，0）；S1=（11/4，1，0）；S2=（-19/4，1，0）；

S3=（19/4，-1，0）；S4=（-11/4，-1，0）。

把式（3）在平衡点S0处进行线性化，得其Jacobian矩阵为

其特征多项式为

同理，对于平衡点 S1、S2、S3和 S4，特征根都为1=-0.899 4，2=0.049 7+0.941 7i，3=0.049 7-0.941 7i。由于特征根1是负实数，且特征根2和3是实部为正的共轭复数，因此，平衡点 S1、S2、S3和 S4也都为不稳定的鞍焦点。

由混沌吸引子的运动特性可知，吸引子有着两种运动方向，一切在吸引子之外的运动都向它靠拢，对应着稳定的方向，而一切到达吸引子内部的运动轨道都相互排斥，对应着不稳定的方向。通过对系统式（2）平衡点的计算分析可知，系统式（2）有5个指标2的平衡点，且除零点外其余4个平衡点都随参数b数值的增大而向x轴的两端远离。当参数a=3时，系统产生的是一个双涡卷，此时涡卷只分布在x轴一侧，故涡卷由平衡点S1和S3决定。当参数a在0~7.7变化时，双涡卷的平衡点随着a的增大向x轴的正方向平移。当参数a=6时，通过图2（b）可知，吸引子内部的运动轨道相互排斥开始向外围延伸，并开始向双涡卷外围环绕。因4个平衡点的性质一致，都是指标2的平衡点，所以都能够形成吸引子。当参数a=7.71时，x轴正方向双涡卷消失，而x轴负方向产生双涡卷且此涡卷继续向外扩展，嵌入到一个大的双涡卷中。当参数a=28时，双涡卷被完全嵌入到一个大的双涡卷吸引子中，且在大的涡卷中，左边以平衡点S2和S4的双涡卷为中心，右边以平衡点S1和S3为中心且关于y轴对称。

同理，对于式（3）和式（4），通过分析可知式（3）和式（4）的混沌吸引子轨迹运行和式（2）基本上是一致的，但混沌式（3）和式（4）的平衡点更多，有17个指标2的平衡点，因此，其混沌吸引子的相图跟随系统参数的转变过程更加丰富。特别是图5（a）~图 5（d）和图 6（a）~ 图 6（b）所示的混沌吸引子的转变过程。从图5（a）~图5（d）相图的转变过程和幅度分析能够看出，混沌吸引子的轨道运行被嵌套了两次，由本来的一个具有嵌套式结构的四涡卷吸引子再不断地向外环绕，形成了一个具有嵌套式结构的八涡卷混沌吸引子。由图6（a）~图6（b）所示的吸引子运行轨道分析可以得出，在参数d=3时，虽然混沌吸引子的相图和图2（d）很相似，但其实涡卷的数量并不相等。这里被嵌套的是一个四涡卷混沌吸引子，因此，此时系统产生的是一个非对称的具有嵌套式结构的六涡卷混沌吸引子。而当参数d=5时，混沌吸引子之外的运动继续向吸引子靠拢，并在大的涡卷里面形成一个小的双涡卷吸引子，与此同时先前被嵌套的四涡卷混沌吸引子变为一个两涡卷吸引子，由此形成一个对称的六涡卷嵌套式吸引子。

通过本节的分析，可以得到Jerk系统能够产生具有嵌套式结构的多涡卷吸引子所满足的几个因素：

1）系统有多个平衡点，除零点外，其他平衡点均匀分布在x轴的两侧。

2）在吸引子没嵌套前，混沌吸引子只在x轴的一侧生成。

3）系统在逐渐加大符号函数幅值时，平衡点相对应的数值也在加大，并且在不断地相对于x轴向两侧远离，此变化的过程中，系统两侧平衡点的位置是关于y轴对称保持不变的。

3 构建单方向嵌套式多涡卷阵列混沌系统

在系统式（3）的基础上，利用周期脉冲，构建往x轴方向上扩展的具有嵌套式结构的多涡卷混沌系统。在式（3）的第3个子方程中添加一个周期脉冲f（t），构造出如下的三阶混沌系统：

其中，f（t）为复合脉冲激励源，且

当 a=0.8，c=3，d=3，b=28，令 A1=6，w1=0.06 时，得到的嵌套式12涡卷混沌吸引子相图如图7所示，其中图7（c）为图7（a）中被嵌的八涡卷吸引子的x-y相平面图，从图7（c）所示的相平面图中能够看出被嵌的两个吸引子都是四涡卷吸引子。当A1=6，w1=0.06，A2=4，w2=0.02时，有如图8所示的嵌套式30 涡卷混沌吸引子，其中图 8（c）为图 8（a）中左半部被嵌的12多涡卷吸引子的x-y相平面图，从图8（a）所示的相平面图中能够看出，嵌套的多涡卷是两边对称的涡卷，图8（c）中能够看出被嵌的3个吸引子都是四涡卷吸引子。

图7 嵌套式12涡卷的相平面图

图8 嵌套式30涡卷的相平面图

从图7和图8可以看出，在加入周期脉冲后，系统由原来的嵌套式六涡卷在x轴上进行扩展，得到嵌套式12涡卷和嵌套式30涡卷。但由于嵌套式涡卷是大套小的结构，且大涡卷幅值范围比较大，在扩展嵌套式多涡卷的同时，可以看出，扩展的嵌套式涡卷幅值范围在不断缩小。因此，在嵌套式30涡卷的基础上，继续扩展式（8）平衡点得到多涡卷的时候，虽然涡卷的数量不断在增加，但已逐渐地不呈现嵌套的结构。

4 系统电路设计和仿真

混沌系统最直接的物理实现是通过电子电路来完成的，许多混沌系统的动力学行为都通过实际的电子电路得到了验证［20］。同样这个新的三维具有嵌套式结构的吸引子混沌系统也可以通过电子电路来实现。因为一般情况下直接依据系统微分方程设计出的电子电路很难正常运行，因此，有必要对原系统方程作适当地变换，这样做是为了利用线性变换，使得系统状态变量数值的变化范围在相应的集成电路能够实现的工作电压范围内，这样做在一定程度上也能够简化电路。

本文3个具有嵌套式结构的吸引子混沌系统都是在Jerk混沌系统的基础上改进的，故只需Jerk混沌系统电子电路和符号函数电路就能够设计出式（2）~式（4）的混沌电子电路。设计出的混沌系统式（2）模拟电子电路图如图9所示，其中符号函数电子电路由U6、R13、R14、R15和R16组成。该电子电路运用的运算放大器型号为AD844和TL082，其电源电压都是E=±15 V。此电子电路结构十分简单，只需要6个运算放大器，相比较其他公开发表的文献所用运算放大器更少，更加容易实现。式（3）和式（4）的模拟电子电路只需要在式（2）电子电路的基础上，在y和z两个通道再分别添加一个符号函数就可以了。下页图10给出了3个新混沌系统在设置不同的参数值时相对应的吸引子电子电路实验仿真效果图，其中图 10（a）和图 10（b）对应式（2）b=28 时的 x-y，x-z相截面图；图 10（c）和图 10（d）对应式（3）c=1，d=1，b=22 和 b=8 时的 x-y相截面图；图 10（e）和图10（f）对应于式（4）e=3和e=5时的x-y相截面图。将混沌系统的Matlab仿真图和电子电路仿真结果图对比分析可以看出，电子电路仿真输出的结果与数值模拟输出的结果完全一致。

图9 混沌系统式（2）的电路原理图

5 结论

图10 电路实现结果

通过在Jerk系统的3个子方程上分别添加符号函数，构造出3个新的混沌系统。新系统在平衡点数量不改变的条件下，改变平衡点所在的位置，不仅实现了对系统涡卷数量的控制，还生成一种新结构的混沌吸引子——嵌套式吸引子。对新混沌系统的动力学特性进行分析，包括系统的Poincaré截面图、耗散性等。通过对系统平衡点的变化进行分析，解释了嵌套式混沌吸引子的转变过程。然后设计新系统的硬件电路，软件仿真输出的结果证实了嵌套式结构吸引子的可实现性。因为具有嵌套式结构的混沌吸引子相比以往发现的混沌吸引子，不论结构还是形态都更为复杂，因此，能够更好地应用于混沌保密通信领域，具有更高的使用价值。然而，本文还只在Jerk系统上得到了嵌套式吸引子，且最多只实现了吸引子的双层嵌套。因此，下一步的主要工作是能够在更多的经典混沌系统上，实现具有嵌套式结构的吸引子并做到更多层次的嵌套。