高中数学必修三古典概型的几种解题技巧

周玉梅

摘 要：古典概型也叫传统概率、其定义是由法国数学家拉普拉斯（Laplace）提出的。如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。根据高中数学必修三古典概型的几种解题技巧，对概率论解题方法进行了探究，并希望进一步促进高中数学教学研究事业的发展。

关键词：高中数学；古典概型；穷举法；归纳法；实验法

在高中数学必修三古典概型的解题教学过程中，我们利用“穷举法”“归纳法”，有效提升了学生的概率解题效率；并通过“实验法”，使学生有效印证了“实验次数越多，实验结果就越接近计算出的概率”的数学思想。以下结合具体教学情况，分别进行介绍。

一、运用“穷举法”解答简单的古典概型题目

“穷举法”是穷举概率解题可能出现的各种情况，对于简单的“古典概型”题目，由于基本事件的发生数目是有限的，每个基本事件的出现概率都相等，所以“穷举法”更加适合解决简单的“古典概型”问题。

如例题：“将一枚质地均匀的硬币投掷三次，计算出现三次投掷都为正面情况的概率。”

我在这道例题的解答过程中，首先为学生介绍了“一枚质地均匀的硬币”投掷一次出现正反面的概率均为 ，由于本题的基本事件数目较少，所以可以采用“穷举法”进行解答。之后我引导学生，利用草稿纸穷举本题中的各种基本事件，使学生通过“穷举法”有效解答了问题。

如学生刘某，将本题中投掷一次硬币出现正面的情况计做“1”，将投掷一次硬币出现反面的情况计做“0”，穷举出了：“1；1；1”“1；1；0”“1；0；1”“1；0；0”“0；1；1”“0；1；0”“0；0；1”“0；0；0”共八种可能出现的情况。因此可以得出，本题中出现三次投掷都为正面情况的概率为 。

二、运用“归纳法”解答复杂的古典概型题目

“归纳法”在解决“古典概型”问题过程中有着重要的应用意义，可以基于对样本空间内基本事件出现概率的归纳，从而有效解答较为复杂的“古典概型”问题。

如例题：“在一副没有大小王的扑克牌中，计算连续抽三次牌，抽到三张‘A的概率。”

由于本题的样本空间较大，学生很难用“穷举法”进行解答，我就引导学生利用“归纳法”计算本题的概率。首先我为学生表明，“没有大小王的扑克牌”为四种花色的“A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K”牌各四张，总共有52张。要求学生归纳每次抽到“A”的概率并进行总结，从而完成本题的“归纳法”解题。

如学生王某的“归纳法”解题策略为：“第一次抽牌，样本空间为52张扑克牌，其中有四张‘A，因此第一次抽到‘A的概率为 。如第一次抽牌抽到了‘A，则样本空间为51张扑克牌，其中有三张‘A，因此第二次再抽到‘A的概率为 。如前两次抽牌均抽到了‘A，则样本空间为50张扑克牌，其中有两张‘A，因此第三次再抽到‘A的概率为 。根据以上归纳，在一副没有大小王的扑克牌中，连续抽三次牌，抽到三张‘A的概率为 × × = 。”

三、利用“实验法”检验古典概型题目

在“古典概型”的理论中，每一个基本事件的发生概率都相等，而对于样本空间不变的情况，开展实验次数越多，个体基本事件的发生概率就越接近。我们对于学生在“古典概型”的解题教学培养过程中，还有效地利用“实验法”，让学生通过个体与集体的“古典概型”实验，认识到“古典概型”中“开展实验次数越多，个体基本事件的发生概率就越接近”的特点，使学生对“古典概型”产生更加深刻的认识。

例如我们为学生出具了一道简单的“古典概率”例题：“投掷骰子一次，计算出现1点的概率。”虽然我们都知道这道题的答案为“ ”，但是我们组织学生利用“实验法”，以每6人为一组，每人投掷骰子12次，通过组内对比总结本组学生投掷骰子出现1点的概率，得出本组的总体数据；之后再利用各小组数据进行组间汇总计算，从而使学生通过“概率实验”理解了“对于样本空间不变的情况，开展实验次数越多，个体基本事件的发生概率就越接近”的“古典概型”特征。

总而言之，概率论是一门深奥的数学分支学科，高中数学必修三的古典概型是引导学生走进概率论大门的基石。我们在古典概型的解题教学过程中，引导学生运用“穷举法”解答简单的古典概型题目、运用“归纳法”解答复杂的古典概型题目，并结合古典概型实验来检验已经完成的古典概型题目，从而使学生的概率解题能力得到了有效的发展。

参考文献：

[1]王莲莲.厘清几何概型中的基本题型[J].中学数学教学参考，2018（3X）：42-43.

[2]王涤非.例谈概率教学中易被忽视的几个具有共性的问题[J].理科考试研究（高中版），2018（7）：26-28.

編辑 杜元元