一类具有人口流动的SEIR传染病模型的全局稳定性分析

张丽娟，王福昌，庄需芹，靳志同

(防灾科技学院,河北 三河 065201)

0 引言

数学模型作为研究传染病流行的规律方面起了很重要的作用，近年来，出现较多的数学模型，应用于流行病学的研究。对于动力学模型的研究，也有很多成果出现，但是对流动人口对传染病的传播规律的影响，目前研究的相当少，成果也很少见[1]。Brauer等关于SIS模型有了一些结果[2]；Michael等建立了带流动人口的SEI模型并进行了讨论[3]。本文主要综合考虑了H1N1流感的传播特征,讨论了带流动人口和潜伏期和标准传染率的传染病的传播特征。并采用LaSalle不变原理，和Liapunuove方法讨论了平衡点的稳定条件，给出了闸值R0。

1 模型建立

将某人群分为易感者S(t),潜伏者E(t),染病者I(t)和移除者R(t),总人口为N(t), 在整个研究过程中加入了流动人口A(t)作为影响因素，因为对于H1N1流感来说, 流动人口在传染过程中的作用至关重要,并成为传播过程中至关重要的因素。带人口流动的动力学分析流程见以下的框图：

假设所有移入者均为易感者，对与H1N1流感来说则认为对于某一地区来说，由于对外来人口的防控措施比较好，感染者均被隔离处理。图中A为常数流动人口，γ为恢复率，d为自然死亡率，α为因病死亡率，ε为潜伏期到染病期的转化率，采用标准感染率。由传染过程图得到微分方程为：

(1)

上式的加和为N=S+E+I+R,得到

N′=A-dN-αI

(2)

(3)

2 平衡点的存在性和稳定性

定理1：(1)若R0≤1，则P0是唯一的平衡点，并且它是全局渐进稳定的；

证明：令：L=εE+(ε+d)I则有：

3 地方病平衡点的存在性和稳定性

接下来简要证明地方病平衡点的稳定性，采用的方法是Smith[5],Li,Muldowney[6],Meng Fan,Michael Y. Li[7]的基本理论。

定理2：若R0>1，则唯一的地方病平衡点P*是全局渐进稳定的。

在证明此定理之前，先看一个引理。

所以对于任何一经过λS=γ的解在有限时间内会一直在直线上方，

二阶Jacobian第二加性复合矩阵J[2]为

(4)

(5)

由(1)得：

(6)

(7)

4 结论