培养联想能力 发展学生思维

周乐实

【中图分类号】G421       【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）15-0298-01

联想是由一个事物想到与之相关联的另一个事物的心理过程。伟大的数学家牛顿说过，没有大胆的联想，就做不出伟大的发现。可见，教师应注意学生联想能力的培养。笔者就基于学生发展的数学联想能力的培养谈几点看法：

一、类比联想，发展学生的发散思维

所谓类比联想，就是根据两种事物在某些特征上的相似，联想到它们在其他特征上也可能相似的结论。数学问题中不乏“换汤不换药”的类似问题，教师应引导学生运用所学的知识和技能，对同一问题的不同知识背景之间，或者是新旧问题之间因形式相似或内容相关而产生联想，得到解题思路，从而使学生具备举一反三、触类旁通的能力，使其发散思维得到进一步的发展。

例1 如图1，直线上有A、B、C、D四个点，由这四个点为端点共组成的线段有_______条。

教师分析讲解例1后，出示以下两道练习题，让学生观察，并与例1比较，最后发现三个问题属类似问题，于是运用同样的方法可求解。

如图2，圆上有A、B、C、D四个点，每过两点作直线，共有_______条直线。

如图3，以O为端点的四条射线，这些射线组成_个角。

例2  已知实数x、y、z，满足x=6-y，z2=xy-9，求证：x=y

分析：此题一般解法，将z看作参数，解方程组证。其实由已知得x+y=6，xy=z2+9，于是联想到根与系数的关系，将x、y视为a2-6a+z2+9=0的两根，有△=36-4（z2+9）=-4z2≥0，因-4z2為非正数，所以△=0，从而有x=y。

二、换位联想，发展学生的创新思维

数学中很多问题都可以通过换位联想来解决，它是一种辨证思维方式，指导学生从换位联想的辨证法的高度来认识某些数学思想方法，有利于思维灵活性和严谨性的发展，提高数学素质，培养创新意识和创新能力。

1.参数与主元的换位联想。

参数的角色较特殊，它一方面可视为常量，另一面又有变量的身份，将参数与主元换位，常常可以简化问题的解决。

例3  解方程x4-10x3-2（a-11）x2+2（5a-6）x+2a+a2=0

分析：这是关于x的4次方程，系数中含参数a，而a的最高次为2次，于是反客为主，将x视为参数，转化为a的二次方程：a2-2（x2-5x-1）a+（x4-10x3+22x2-12x）=0，解得a=x2-6x或a=x2-4x-2，再解关于x的二次方程，得x1=3+〖KF（〗a+9〖KF）〗，x2=3-〖KF（〗a+9〖KF）〗，x3=2+〖KF（〗a+6〖KF）〗，x4=2-〖KF（〗a+6〖KF）〗。

2.动静换位联想。

从函数的角度看，相当于变量与常量的换位，动与静是相对的，同一对象根据需要随时灵活选择和变换其角色。

例4  如图4在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P为AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，PE+PF的值为（   ）。

解：视A点为动点P运动过程中的一个点，则PE=0，PF变为Rt△BAD斜边上的高。（视动为静）∵AB=3，AD=4∴BD=〖KF（〗32+42〖KF）〗∴斜边上的高为3×4〖〗5=12〖〗5即为所求

〖XC77.JPG;%35%35〗

3.问题的正、反面换位联想。

有些问题从正面思考较为困难，若联想反面去分析研究，则往往可获得简捷解法。

例5  已知关于x的二次方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0中至少有一个不同实根，试求a、b、c应满足的条件。

解：问题正面情况较复杂，但问题反面是“三个方程都没有不同实根”，就比较简单。

〖JB（{〗△1≤0△2≤0△3≤0〖JB）〗

可得〖JB（{〗b2-ac≤0（1）c2-ab≤0（2）a2-bc≤0（3） 〖JB）〗

（1）+（2）+（3），得a2+b2+c2-ab-bc-ac≤0

∴（ a-b）2+（b-c）2+（a-c）2≤0，由非负数性知（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2≥0∴a=b=c，又因三个方程均为关于x的二次方程，∴abc≠0，∴a、b、c为不都相等的非零实数，题设成立。

三、数形联想，发展学生的形象思维

俗话说：“数离形时少直观，形离数时难入微”。因此，在数学教学中要引导学生深入地观察、联想、由形思数、由数辅形。借助图形特征的启示诱发直觉，对培养学生形象思维的敏捷性、准确性大有裨益。而且许多代数问题，若根据题设条件和问题的结构特征，构造适当的几何图形，利用数与形之间的联想，往往比纯代数手段更直观，更新颖，更简捷。

例6  设m、n、p为正实数，且m2+n2-p2=0，求p〖〗m+n的最小值。

解：根据提设和勾股定理构造如图5所示的直角梯形ABCD，由图形易知，BC≤AD，即m+n≤2p，当m=n时，直角梯形变为矩形，即BC=AD成立，所以p〖〗m+n的最小值为〖KF（〗2〖KF）〗〖〗2。

例7 已知x、y、z均为正数，且x2+y2=z2，z=〖KF（〗x2-r2〖KF）〗=x2，求证：xy=rz

分析：此题中的题设x2+y2=z2与勾股定理结论相同，故可构造直角边为x、y，斜边为z的直角三角形。如图6，作CD⊥AB于D，由题设及射影定理知cd=r，所以S△ABC=1〖〗2xy=1〖〗2rz，所以xy=rz。

四、关系联想，培养学生的创造思维

在数学知识体系中，各章节之间存在着紧密的内在联系，当我们遇到棘手的问题时，不妨对问题所涉及的知识加以梳理，顺着知识的内在联系进行关系联想，换一个角度去看问题，往往会有新的发现。这样，在分析解决问题的过程中，学生的创造性思维得到充分地发展。

例8 如图7，在等腰△ABC中，AB=AC，顶角∠A=20°，在AB边上取一点D，使AD=BC，求∠BDC的度数。

分析：由条件可知三角形底角为800，200与800均不是特殊角，但它们差为60°，60°使我们联想到等边三角形，由此找到问题的突破口。

解：以BC为边长在△ABC内作等边三角形BCO，连接AO，由图形的轴对称可知△ABO≌△ACO，∴∠BAO=∠CAO=10°，∠ABO=∠ACO=∠A=20°，∠AOB=∠AOC=150°，又∵OC=BC=AD∴△ACD≌△ACO，∴∠ADC=150°，∴∠BDC=30°

〖XC78.JPG;%35%35〗

例9  不超过（〖KF（〗7〖KF）〗+〖KF（〗5〖KF）〗）6的值的最大整数是________。

分析：直接展开，计算复杂，联想到（〖KF（〗7〖KF）〗+〖KF（〗5〖KF）〗）与它的有理化因式（〖KF（〗7〖KF）〗-〖KF（〗5〖KF）〗）的和与积均为单项式，故构造一个与之对应的数式，然后一起参与运算，从而问题得以解决。

解：令a=〖KF（〗7〖KF）〗+〖KF（〗5〖KF）〗，b=〖KF（〗7〖KF）〗-〖KF（〗5〖KF）〗，则a+b=2〖KF（〗7〖KF）〗，a·b=2，∴a6+b6=（a3+b3）2-2（ab）3=〔（a+b）3-3ab（a+b）〕2-3（ab）3=13536，∵0

五、转换联想，发展学生的逆向思维

思维活动离不开转换，数学解题过程实质上是一种转换过程，一个从未知向已知的转换过程。正如匈牙利数学家路莎·彼得所说：“数学家们解题往往不是对问题进行正面攻击，而是将它不断变形，把它变为能够得到解决的问题。”因此解题时，引导学生展开丰富的联想，恰到好处地引入转换机制，不仅能顺利解决数学问题，而且能培养学生的逆向思维能力。

例10  已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且∠A=2∠C，求证：b2=c（a+c）。

联想1：由b2=c（a+c），联想到b/c=a+c/b，于是可把b、c、（a+c）变为以b为公共边的两个相似三角形的对应边，从而利用“相似三角形对应边成比例”得证。

联想2：由b2=c（a+c）联想到b·b=c·（a+c），于是将b、b、c、（a+c）視为圆内相交两弦分成的四线段，可通过相交弦定理得证。

例11  Rt△BCF的斜边BC为直径作⊙O，A为BF上一点，且AB=AF，AD⊥BC，垂足为D，过A作AE∥BF交CB延长线于E，求证：（1）AE是⊙O的切线（2）BD〖〗CD =BE〖〗EC（3）若⊙O直径为d，则1〖〗CD +1〖〗EC=2〖〗d。

解：（1）（2）易证，结论（3）可转化为证1〖〗CD +1〖〗EC-2〖〗d =0，即（1〖〗CD-1〖〗d）-（1〖〗d 1〖〗EC-）=0，而（1〖〗CD -1〖〗d）-（1〖〗d-1〖〗EC））=d-CD〖〗d·CD-EC-d〖〗d·EC=BD〖〗d·CD -BE〖〗d·EC =BD·EC-BE·CD〖〗d·CD·EC。由（2）知BD· EC= BE·CD，所以得证。

总之，在数学教学过程中，教师应善于鼓励和引导学生对数学问题所涉及的知识进行多角度的联想，探寻新颖而独特的解决问题的方法，不断摸索，总结规律。在“山穷水尽疑无路”时，往往会“柳暗花明又一村”，从而达到培养学生创新思维和创新精神，促进学生发展的目的。

参考文献

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[2]丁斌毅.开放型习题与发散性思维，中学数学教学参考[J].

[3]宋建平.浅谈初中数学教学中学生发散思维能力的培养.

[4]蒋庆平.浅谈中学数学教学中联想能力的培养.