数学领域融合的结构化分析与教学探索

毛文波

摘要：基于苏教版小学数学教材例题的研究发现，数学领域融合主要分为领域间融合、领域内融合、两者兼有的混合型融合三类，其中领域间融合最为普遍。在例题教学中，可以通过以下方式实现领域融合：适时进行领域内的完整融合，促进建构系统的知识结构;适当调整领域间的方法融合，创造更大的思维空间;适度增加各领域的综合融合，丰富学习过程的深度与宽度。

关键词：数学领域融合;结构化分析;教学探索;苏教版小学数学教材

中图分类号：G423 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2019）06B-0043-05

本研究中，领域融合指的是某个数学领域内容融入了另一个数学领域的内容，例如在“数与代数”领域融入了“统计与概率”或“图形与几何”等。随着结构化学习研究的深入，笔者从结构化学习视角研究“2013年教育部审定”的苏教版小学数学教材，关注“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三个领域的融合（“综合与实践”本身就高度融合，所以不在此研究范围内），研究的切入点是教材中例题编写的领域融合。

一、数学领域融合的例题编写结构化分析

通过对苏教版三、五年级四本教材例题编写领域融合情况的统计分析发现，随着年级的升高，例题领域融合的数量和比例都在较快升高，三年级上册融合的例题占16.7%，五年级下册融合的例题已达到42.6%。为便于研究，笔者将领域融合分为领域间融合、领域内融合、两者兼有的混合型融合这几类。领域间融合最为普遍。下面对每种类型进行举例分析。

（一）领域间融合结构化分析

1.融合类型分析

教材中例题编写体现领域间融合最多的是“数与代数”融合了“图形与几何”或“统计与概率”，较多的是“图形与几何”融合了“数与代数”或“统计与概率”。“统计与概率”中的重要内容是对数据的处理，与“数与代数”联系比较密切，就不再单列研究，重点研究前两个方面。教材中各领域间融合的类型有两类，简单融合和复杂融合。简单融合指的是在一个领域内融入另一领域的内容，即“1+1”，这样的类型可细分为四种：Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型和Ⅳ型。复杂融合是指在一个领域内融入兩个领域的内容，即“1+2”，分为Ⅴ型和Ⅵ型。（见下页图1）

教材中简单融合较多，复杂融合较少。下面以现行的苏教版三年级和五年级数学教材为研究对象，统计融合类型。（见下面表1）

从表1可以看出：Ⅰ型最多，为39题（占65.0%）;其次是Ⅱ型，为10题（占16.7%）。Ⅰ型占比最大，原因是“数与代数”内容在小学阶段占比最大（“数与代数”领域例题数约占例题总数的70%）。两个领域间融合（Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型、Ⅳ型）最为普遍，共有58题（占96.3%），三个领域融合的Ⅴ型、Ⅵ型占比最少，仅有2题（占1.7%）。涉及的领域越多、越复杂，对学生综合运用能力要求越高。显然这种类型对培养学生核心素养是有很大帮助的，将来占比应加大。

2.融合方式分析

教科书称为“教材”，亦称“学材”。当我们重新审视这个特殊的文本时，要有两个视角，即教师教的视角和学生学的视角。从学习者的角度看，学习过程中的任一位置都会出现融合，但融合的作用各有不同，如引进问题、收集信息、支持理解、展现思维过程、构建数学模型、感悟数学思想等。从教的视角看，根据例题编写融合的位置来分，一般分为情境问题的素材、问题分析的方法和形成知识的模型，较复杂的融合兼有以上几个方面，这样就可分为六类，下面对每类举例分析。

（1）情境问题的素材。融入的领域内容就是问题情境。在“数与代数”领域中融入“统计与概率”或“图形与几何”比较多，作用主要是使信息更清晰，学生获取信息更直接。因融入的很多是前面已学习过的内容，学生很容易理解，有的就是操作的素材。如五上“负数的初步认识”，这是Ⅱ型融合，以单式统计表的形式统计每月盈亏情况。用统计表呈现数据，简洁、明了。

（2）问题分析的方法。融入其他领域的内容，使情境问题有利于学生分析、理解，能帮助学生较快找到解决问题的思路，促进思维发展。如三上“解决问题的策略”，是Ⅰ型融合，教材先呈现“差倍”的活动场景，提出要研究的问题，再用线段图帮助学生分析条件与条件、条件与问题之间的关系，学生借助图形直观，更易于找到解决问题的思路。

（3）形成知识的模型。小学数学知识的模型表现为数、数量关系、图形、图表、概念、规则、公式、方程等，模型既有具体的抽象，也有抽象的抽象，因此模型是高度概括的、抽象的。形成模型是认知的高级阶段，也是高级思维的表现。教材中常常将数学模型安排在例题的最后，它是思维经历各种丰富活动的结果。如三下“长方形和正方形的面积”，这是Ⅲ型融合，教材意图是让学生经历操作活动后，先比较发现长、宽与面积的关系，接着用文字进行概括，最后用字母表示长方形的面积计算公式。几何与代数结合，体现代数的高度抽象与简洁。

（4）既是情境问题的素材又是问题分析的方法。融入的素材既是学习的材料，又是情境问题的分析方法，具有双重作用。如五上“整数乘法运算律推广到小数乘法”，这是Ⅰ型融合。乘法运算律是“数与代数”领域的内容。教材是这样呈现的：一个大长方形被分成两个小长方形，分别表示两块菜地，两块菜地的数据已知，然后呈现两种方法求出大长方形的面积。长方形在这里起两个作用：一是作为情境的材料，是已知条件;二是两种算法的几何直观，对算理的理解起支撑作用，重在帮助学生理解两种算法之间的相等关系，渗透数学证明思想。

（5）既是问题分析的方法又是形成知识的模型。融入的内容既是方法又是模型，这种融合比较少，且融合得比较巧妙。如五上“小数的计数单位”，这是Ⅰ型融合，教材呈现正方形的十等份图和百等份图，让学生分别涂出0.6和0.06。0.6有多大？有几个0.1？方形表示“1”，0.6的大小就定格了，计数单位也就明了了。所以正方形是理解小数意义的重要方法，也包含着小数的计数单位以及单位间的进率。正方形很直观，它既是支架，又是模型，利于理解与掌握。

（6）三种单一情况的综合。在某一领域中融入了另外两个领域的内容，体现了知识的综合性。如五上“用字母表示数”，这是Ⅴ型融合，学习内容是“数与代数”领域，情境问题的素材选择了“图形与几何”中的三角形，找三角形个数与小棒根数间的关系用了统计表，三个领域融合在一个例题中。用三根小棒拼成三角形，依次摆开，找出三角形的个数与小棒根数之间的代数关系，在寻找关系的过程中借助“统计与概率”中的统计表，有序展开学生的思维，便于学生观察、比较、归纳、概括、抽象出关系等，有思维深度。再如五下“圆周率和圆的周长”，它是Ⅵ型融合。在“图形与几何”学习中借助统计表整理测量各种圆形的周长和直径，便于比较发现;用字母表示圆周率、直径、半径、周长之间的关系，建立数学模型，使三个领域融为一体，学习层次鲜明，思维逐步提升。

（二）领域内融合结构化分析

领域内融合一般发生在知识是上下位关系或并列关系的学习中，如数系的扩张，运算的发展，解决问题方法的前后连贯，图形一维、二维与三维间的关系等。前面的知识是基础，是旧结构，也是新知识的生长点。在旧结构上生成新的结构，常常经过同化或顺应来完成。如三上“两、三位数乘一位数”中，整十数乘一位数是一位数乘一位数的扩展，因此可以看成是整数乘法领域内的融合，也可以看成加法对乘法的融合，即新知的学习融合到旧知中，运用旧知的方法、思维来同化，运用旧知迁移到新的学习环境。这种融合的内容在小学数学学习中占比很大。

（三）混合型融合结构化分析

混合，即有多种成分合在一起。混合型融合指既有领域间的融合，也有领域内的融合。如五下“带分数的认识”，这虽是Ⅰ型融合，但更可以理解为整数系的扩张，即有理数内的融合。当量不足整数时，即产生分数，而带分数则是大于整数1，是由整数和真分数合成的数。使用数轴目的是使学生有一个数序（大小）的概念，同时又能将整数、分数统一成一个数系，这个数系就可以用直线上的点来直观表示。数轴在数的认识中使用非常广泛，它本身就是“数系”这个领域融合的典型。再如三下“小数的初步认识”，既有领域内融合，也有领域间融合。领域内融合表现为“数与代数”领域内的数的融合，借助分数引出小数;领域间属Ⅰ型融合，表现在借助均分长方形，在形中表示数，使数直观可感，且将分数与小数有效关联。

二、数学领域融合的例题教学探索与实践

小学数学各领域融合的教学，就是在学习某领域知识的过程中，很自然地，如“融化”那样将各领域的内容、方法、思想等融入学习的全过程，丰富学习活动，促进学生知识的建构和思维的发展。在苏教版教材的使用过程中，笔者发现有的例题编写在领域间融合方面还有很大的空间。下面从教材使用的角度，就如何改进、调整、增删等进行有益的尝试。

（一）适时进行领域内的完整融合，促进建构系统的知识结构

例：五上“负数的认识”例4

教材分析：教材内容是Ⅰ型融合，由行走路线图抽象成数轴，在已学非负整数数轴上加入负整数，把负数纳入已学数系中，达到数系的扩张，且遵循原来的规则，即大的数排在右边，小的数排在左边。数是抽象的，但是把数排在图上，就直观了，便于学生发现负整数、正整数和0之间的大小关系。但教材在编写中只出现整数，把正、负数限定在整数集合中，没有将已学习的小数、分数与之沟通，以形成新的数系，没有体现学习的螺旋上升。当学习中遇到负小数、负分数、正小数、正分数，有的学生就感觉很陌生，存在认知上的障碍。因此在数系扩张时，就要让学生将各种正、负数纳入原来的已知数系中，并在新的数系中进行新的建构，生成新的数系结构。

实践策略：增加新的元素，数系完整融合。当学生已学习“小华向东走2千米记作+2千米，小林向西走2千米记作-2千米。”并在数轴上找到这两个点后，教师问：小明走了-0.5米，-0.5米表示什么意思呢？能在数轴上找到这个点吗？-0.5还可以用什么数表示？

（二）适当调整领域间的方法融合，创造更大的思维空间

例：五上“梯形的面积”例6、例7

教材分析：教材编排了两个例题，例6是体会转化的方法，例7是让学生动手操作学具，填表后讨论、比较、归纳、概括出梯形的面积计算方法。例7编写时用了Ⅳ型融合，目的是用统计表中的数据来探究数量间的关系，便于學生比较、分析、讨论和交流;条理化的数据，利于学生发现关系。我们在依据教材教学时，发现有两个问题：一是表格的设计不利于学生观察。找各部分的对应关系时数据间存在距离，有干扰数据;二是教材编写忽视学生能力的发展性。教材为了体现前后连贯性、一致性，在长方形、平行四边形、三角形的面积计算时都设计了同样的表格，显然是成人视角。成长中的学生有很强的迁移能力来解决相同情境下的相似问题。为验证这一观点，我们进行了对比教学研究。

实践策略：对比实践，改编、删除部分例题内容。

实践一：完全执行教材进行教学。

实践二：把例7中的表格改为下面的表格（表2）：

教学中，学生先各自操作，完成一份表2，然后组内将表集中在一起进行交流、讨论。

实践三：删除表格，在例6教学后，设问：比较刚才求梯形面积的各种方法，你觉得哪一种方法最好？任意一个梯形都能这样做吗？选两个完全一样的梯形拼拼看，并在组内交流你的发现。

三种实践的教学结果是：实践一，全班46人，有11人填错了表中的数据，在比较、讨论表中数据及关系时，用时较长，且学生举手发言的人数不足全班的三分之一;实践二，全班45人，数据填写全对，在比较、交流表中数据及关系时，用时比实践一少了3分钟，且举手参与的人数超过班级的一半;实践三，当设问一出，全班学生就抢着回答，有的学生甚至立即举起手中准备好的两个完全一样的梯形，拼出了平行四边形。显然，第三种实践教学的效果更好，学生学得积极、主动，思维更流畅。

（三）适度增加各领域的综合融合，丰富学习过程的深度与宽度

例：五下“分数与除法关系”例2、例3

教材分析：教材编排了两道例题，例2是4人平均分“1块”饼，每人分的块数可以根据除法的意义列出算式，再根据分数的意义得到分的结果;例3是4人平均分“3塊”饼，通过两种方式动手操作圆片得到分数结果，再变换数据进行类推，最后比较、归纳出分数与除法的关系，并用字母表示。例2是领域内的融合，由整数除法扩展到商不是整数的除法，列式不变，商可以用分数表示，打破了原来只能用整数、小数表示商的局限。此处学生在认知上有一个障碍，即“块”是什么？因为以前学生接触的分数都表示分率，即两个数的比，这里是量，怎样从对分率的理解跨越到量的理解，教材是一个空白。例3是领域间的Ⅰ型融合，借助几何直观操作，使学生感受到算式与结果之间的联系。操作之后的比较、归纳，教材采用的是文字概括和文字关系式概括。在概括前，能否让学生更清晰地比较出分数与除法各对应元素之间的关系？相关元素比较清晰了，模型也就更易建立。

实践策略：增加联系，充分比较。

教学例2时，做如下调整：

（1）将4块饼平均分给2位小朋友，每人分到多少块？

（2）将1块饼平均分给2位小朋友，每人分到多少块？

（3）将1块饼平均分给4位小朋友，每人分到多少块？

有了充分的比较，下一步建立模型就轻松多了，学生理解也更深刻。当模型建立后，提问：4÷2的商能用分数表示吗？沟通整数与分数的关系，渗透数系间的联系。知识领域内及领域间不断纵向、横向融合，使学生的认知不断地结构化。

三、对未来融合教材的畅想

目前，我们教师的视野基本上还是落在自己所教的学科领域内。《义务教育数学课程标准（2011年）》要求，教材编写“呈现内容的素材应贴近学生现实”。“现实”被界定为三个方面：生活现实，数学现实，其他学科现实。然而，我们常常重视前两个“现实”，而忽视第三个“现实”。就“贴近”这个词来分析，本身就存在“距离”。教材怎样与学生没有距离？“融合”了就“成一体”，“成一体”就没有距离，即与学生的生活、数学、其他学科没有距离。这样的教材才是充分融合的具有数学特性的数学教材。“融合”的教材就是综合的学材，综合的一定是有创造的或有创新空间的学材。目前，《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出了“大概念”教学，这是数学领域内的综合式教学，也是抓住数学最本质的教学。目前，有的学校正在做“项目式”学习，“项目”是综合性的，有数学元素，也有非数学元素。当然从数学学习的角度，我们要用数学的眼光去审视“项目”，用数学的思维去思考“项目”，用数学的语言来表达“项目”，这不就是数学的核心素养吗？随着信息技术的发展、人工智能的到来，未来数学教材一定会变得更丰富，一定是更融合的教材、学材，由此引发的是更融合的数学教育。

责任编辑：丁伟红