一类三阶非线性系统的全局渐近稳定性

徐 静

(安徽师范大学 数学与统计学院， 安徽 芜湖 241000)

非线性微分系统平衡位置的稳定性在现代物理、工程技术和生态系统等领域有着重要意义，处理非线性微分系统稳定性这一问题的重要方法之一就是Liapunov直接方法(类比法),这一方法一直吸引着众多学者们的关注与兴趣,并得到了极为广泛的应用,三阶及以下的非线性系统的平凡解的全局稳定性也取得丰硕结果[1-8]。本文在文献[1-5]的基础上研究了多个三阶非线性系统的Liapunov函数，并得到了各自零解全局渐近稳定性的若干充分条件。

1 主要结果

考虑系统

(1)

约定函数h(0)=0,f(0)=0，φ(0)=0,f(x)、g(x)、φ(x)是连续可微的，且能保证系统解的唯一性。

退化为线性系统

对其退化线性系统取Liapunov函数V1=V1(x,y,z)如下:

由类比法给出系统

取其Liapunov函数V2=V2(x,y,z)如下:

(2)

对于系统

(3)

其退化系统取Liapunov函数V=V(x,y,z)如下:

由类比法给出系统(3)Liapunov函数V3=V3(x,y,z)如下:

(4)

结合式(2)和(4),系统(1)有Liapunov函数：

(5)

于是得到如下结果：

(*)

由定理假设并注意到：

故V(x,y,z)为正定函数，

下证系统(1)的所有正半轨线是有界的。取如此大的正数l和N使得任一点P0位于由不等式V(x,y,z)0时不离开这个区域。

事实上,由式(*)知在D中当y≠0时有

(**)

2 讨 论

这里取b=1/A>0,推论3结论成立。