中美两国高中三角函数内容的比较

康聪

【摘要】对中国苏教版教材和美国PH教材关于三角函数内容的宏观和微观的比较研究，宏观比较三角函数的呈现方式，微观比较三角函數内容和难度.下面本文将对上述比较研究进行总结，并提出关于教材编写的建议和进一步研究的问题.

本文对中国和美国高中数学三角函数的教材进行比较比较，研究中所选的中美教材：美国：《Prentice Hall》代数2.由Prentice Hall出版，中国：普通高中课程标准试验教科书苏教版（必修四）.江苏教育出版社.在内容比较上得到以下结论.

一、中美教材呈现方式

两国教材在目录的比较上，可以发现，苏教版先呈现出三角函数整体上有三部分内容，任意角、弧度→任意角的三角函数→三角函数的图像和性质，在每一节上又具体安排课时，在美国PH教材中是直接呈现的这一章节要学习的内容，给人以开门见山的画面，直接让学生找到本章节的内容及重点同时学生的创新意识和创新能力总是相辅相成的，美国PH教材更能给予学生更多的思考发展空间，心理学专家普遍认为，创造性不仅受认知因素的影响，学生如果锻炼培养独立性、幻想性、冲动性等，可以使学生的个性受到很大的影响，对我国学生的中规中矩的性格有很大帮助.

在教材栏目比较上，苏教版注重启发诱导，在教材中“探究”常常出现正文边处，目的是帮助学生从原有认知水平出发探究思考，从而对知识点理解和吸收;而美国教材中以呈现本节课的课程目标开篇，以问题链贯穿整个篇幅，在问题中有“问题”设置，这样的问题设置常常是解决问题的步骤或者问题的总结，这样设置有助于学生培养归纳类比的思想.两者差别主要在于，我国教育由学生死学知识，教学刻板变为让学生思考、动脑，从而注重逻辑思维，通过探究提出问题，培养学生独立解决问题的能力.

在习题设置比较上，将习题设置分成习题的呈现方式和数量两个维度.

在呈现方式上，两者均有习题，小节练习和章节练习，但在具体设置上略有不同，苏教版在小节内容上安排若干课时，在每一课时结束后安排与例题相应难度的习题，在本小节结束后设置的习题分为三个层次：感受与理解，思考与运用，探究与拓展，习题难度在三个层次上由浅入深，最后进行安排章节总结，章节复习.美国的习题设置中，在每节设置的例题后会安排一道比例题稍有难度的习题，在每节内容结束后设置几个层次的习题：练习A组，应用B组，挑战C组，标准化考试和综合复习，在本章内容结束后进行章节测试.

在习题数量比较上，例题、练习、习题、章中（末）测试中的习题总数美国PH教材比我国苏教版教材多出将近两倍，影响因素一是美国虽然注重学生的计算能力，然而学生的计算能力却是国人担忧的，二是美国高中毕业统考标准数学内容是以运算简单的三角函数为基准，所以美国教材在此处设置的练习数量偏多.

二、三角函数内容

我国教学大纲将三角函数内容安排在高一年级，美国将三角函数内容安排在高二年级.

在三角函数知识结构上，两国教材都采用了螺旋上升的编排方式，苏教版的螺旋次数高于美国PH.苏教版将三角函数内容和三角恒等变换章节中穿插平面向量，美国PH教材在学习三角函数之后紧接着学习三角恒等变换.苏教版教材的螺旋多为不同层次、内容、水平之间的螺旋上升，几乎没有相同的知识点的同水平重复出现，美教材却经常出现反复、赘述等现象，可见苏教版更加注重知识的系统性、整体性.

在知识处理方式上，两国都在此处提出三角函数的周期性，但是学习的内容和定义方式有很大差别.我国课标注重函数的性质，三角函数是基本初等函数的一类，同样也是注重三角函数的性质;而美国PH版注重三角函数的求值，及三角函数的倒数关系，特别是用计算器对三角函数的数值进行估算，并可画出三角函数的函数图像.相同概念有不同的表达方式，国际上尚未对某种定义有怎样明确的说明，大都遵循着数学史及未来发展的需求来对知识点进行阐述，例如，对角的定义，苏教版对角的定义很规范，但是为了使用的方便，是将角的始边与x轴的非负半轴重合，角的顶点与坐标原点重合，角的终边落在第几象限就是第几象限角，这样将角置于平面直面直角坐标系中，未免对角的形式单一化，如果从实际生活中的角度，不一定所有角都能在平面直角坐标系中进行测量，而美国PH教材中对角的定义比较宽泛，是定义在平面直角坐标系的标准位置的角，这样可以避免国内学生提出：如果角的始边不与x轴的非负半轴重合这一类形成的图形是不是角的这样的疑惑.

三、中美教材函数难度

从函数难度来看，美国教材难度高于苏教版教材.按照“国家社科基金重点课题《高中数学教材难易程度的国际比较研究》”中介绍的难度模型计算的难度，中美三角函数难度分别为6.56和9.02，其综合难度大约为苏教版的1.38倍.统计发现，三角函数知识点广度、深度和习题综合难度美国均超过中国，苏教版的知识团广度是10，美国教材广度是12，苏教版知识团的深度为24，美国教材的知识团的深度为30，产生这样的原因有以下几点：苏教版缺乏对正割等知识点的学习，只是作为自学内容;美国注重学生恰当使用计算器，而我国对计算器的使用在教材中很少有提及，只是在作函数图像时，教师为了学生很好地消化知识，利用几何画板作图;美国教材对知识点的要求要略高于苏教版，再加上美国教材的知识点数量多于苏教版，这一特点揭示美国重视学生的应用能力，为学生创新意识和创新能力培养提供机会.

在知识团习题综合难度中，苏教版的综合难度为259.8，美国PH教材的难度为276.8，二者相差7%左右，美国PH教材在习题的性质和背景上难度均大于苏教版，而苏教版在知识点含量上要高于美国PH教材.但是我们同时要注意，在习题数目上，美国教材要多于苏教版教材，由于习题数量对习题难度并不构成直接影响学生对知识点的掌握熟练度，因此，习题数量不可忽视，这是我国教材需要注意改进的地方.