指向深度学习的期末基础复习

蒋育芳，钟 鸣

（江苏省无锡市西漳中学）

在笔者所听过的期末复习课中，要么罗列知识点、做相关知识的练习；要么先做题，再根据批阅情况讲错题，跟之前的整章复习、期中复习没有多大差别.教师往往对为什么复习、复习什么、怎么复习缺少深入的研讨，复习效果差强人意.

从知识的学习进程来看，先是零散的积累，由薄到厚的过程，这是新授课的任务.然后是将知识系统地梳理，由厚到薄的过程，这是复习课的任务.期末复习与日常复习不同，日常复习因复习及时，所用时间短，学生对所学内容遗忘少，重在对一章内容形成整体认识；期末复习因时间较长，涉及内容多、跨度大，重在查漏补缺和对所学知识的贯通.

对于期末复习中的基础复习，抓住本质是建构知识结构的前提，可以由博返约；把握联系是知识结构的根本，可以以简驭繁；挖掘思想是知识结构的功用，可以灵活迁移.抓住本质、把握联系、挖掘思想，这恰恰是深度学习的重要内容.笔者认为，期末基础复习，只有指向深度学习，才会有更好的效果.

如何指向深度学习？笔者在实践的基础上归纳了这样的原则：回归课本追溯源头，深度思考自然突破，系统整合前后贯通.下面以苏科版《义务教育教科书·数学》七年级上册（以下统称“教材”）期末复习为例，来进行阐述.

一、回归课本追溯源头：遗漏的知识要补充，模糊的概念需明晰

七年级上学期的教学具有小学与初中衔接的作用.在小学，学生所学习的数学内容包括数、数与数之间的关系；各种量与计量的方法；各种基本运算、基本的数量关系；基本的图形认识及简单的周长、面积与体积计算；简单的代数知识等.进入初中后，由直观过渡到抽象，侧重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想等学科素养.虽然经历了一个学期的初中数学学习，但是大部分学生还停留在模糊的了解、简单的记忆、跳跃的推理、直观的思考等学习方式上.知识零散遗漏、概念模糊不清是七年级学生常见的学习问题.

因此，知识点的回顾是必要的，但并非我们带着学生一个知识点一个知识点地回顾.这种方式是一种被动的简单回忆，会浪费宝贵的课堂时间.其实，对于很多知识点的回忆可以通过学生做题激活，通过教师追问可以明晰知识联想的线索，学生是能够主动、独立回忆起来的.教师需要做的是当学生出现错误再认、淡忘或遗忘的时候，抓住教育的时机，通过追问启发学生发现激活回忆和知识联想的线索.让他们依据线索全力回忆.变被动的简单回忆为主动的探究活动，让活动与体验、联想与结构在知识回顾中出现，让深度学习真实发生.可以在编制导学单“复习前测、基础梳理”的时候，通过填空的形式把所有知识点呈现出来，作为课前准备.以课代表组织相互提问的方式，统计学生遗忘、淡忘或错认的知识点，作为课堂教学的主要着力点.

案例1：教材第六章第5节“垂直”.

测量跳远运动员跳远的距离用的数学原理是____.

对于此题，很多学生的答案是“两点之间线段最短”.通过课堂提问发现，其理解大多是把起跳的地方和落脚的地方分别看作一个点.出现该情况的原因是学生对知识点识记得很熟悉，但是却忽略了知识的应用条件与实际场景的对应，忽视了相似或相近知识点的连接，进而导致错误，同时也反映了学生“空间观念”的薄弱.这就需要帮助学生发现回忆两个相似知识点的线索，回归课本追溯源头，梳理它们的来龙去脉，理解它们的区别与联系，填补遗漏的知识，明晰模糊的概念.为此，笔者做如下引导.

师：题目中哪个词与数学知识有关？

生1：距离.

师：什么是距离？已经学过的距离有哪些？它们之间有什么关系？

师：大家可以自主思考或阅读教材或相互讨论.

生2：两点之间的线段长叫做距离，学过两点间距离、点线间距离.点到直线的距离是点与垂足的距离，是用两点间距离来定义的.

师：要求甲、乙两地之间的距离是把两地抽象成两点，也就是求两点间的距离.在跳远这个实际问题中测量的是谁和谁的距离？如何抽象？

生3：脚抽象成点，踏板抽象成直线.

生4：这应该是点到直线的距离.

师：为何把两点间线段长作为两点之间的距离？又为什么把垂线段长作为点与直线之间的距离？

生5：因为两点之间线段最短、垂线段最短.

学生不能主动建立知识之间的内在联系，对知识的概念理解不清，不能进行正确的抽象，是上述题目反映出来的问题.笔者并未直接告诉学生正确的答案是什么，而是抓住这个着力点，激发学生主动发现线索、合作探究、回归课本、寻找知识的源头；在联想中关联相关知识，建构知识模块，纠正误区、查漏补缺、澄清概念，促进学生深度学习.进而带领学生一起把实际问题中出现的事物的视觉特征抽象成几何图形，让学生不断经历这样的过程，不断发展“空间观念”的数学素养，如此才能让外在的教学内容转化为学生内在的精神力量.

二、深度思考自然突破：粗浅的理解要深化，课本的方法最自然

知识回顾是复习的基础工作，知识运用是复习的重要环节.教师往往把这个环节的重点只放在了难题的解决或错误的纠正上，效果不佳.笔者认为，知识的价值往往在困难的突破上获得.在突破困难的过程中，知识运用的方法、突破障碍的策略、方法策略的指导思想，才是此环节的重点.知识的真正价值在知识的背后，这是需要深度思考才能挖掘得到的.面对困难深度思考，依据线索自然联想，追求障碍的自然突破；抓住障碍回归课本，依据线索找到知识的发源地，体会方法的生成过程.这是具体的教学要求.

案例2：教材第六章第2节“角”.

如图1是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角. 在54°，60°，63°，72°，99°，120°，144°，150°，153°，171°的角中，能画出的角有（ ）.

图1

（A）7个 （B）8个

（C）9个 （D）10个

此题刚一呈现，一部分学生很茫然，毫无头绪；一部分学生有些想法，准备表达，但是笔者打断了这部分学生的回答，要求大家打开教材，一起回忆当时的课堂.渐渐地，大部分学生都找到了解题思路.

生1：先分类，1个角，2个角（根据图形的摆放可以相加，也可以相减）.

生2：也可以3个角或4个角，甚至更多.

师：那会有很多种搭配，需要全部画出吗？

生3：不用，不管是1个角，2个角，甚至多个角相加相减，他们都是15的倍数.

师：你是怎么发现的？

生：30°，45°，60°，90°都是15的倍数，那他们相加或是相减也是15的倍数，而且我们拼出来的最小角是15°.

师：大家根据回忆，能解决这道题了吗？

深度思考的特征就是依据特征联想相似经验，类比方法结构，进而灵活迁移.“顺木之天以致其性”，将当下的困难与已有经验相联系、与日常学习相联系、与课本知识相联系，借助已有的经验类比改造或综合创造出新的方法来解决当下困难，这样的体验让学生体会到想法合理、解法自然，体会到日常学习、重在积累，体会到课本内容、学习基地.带领学生一起品读课本、联系日常学习，将日常学习中的粗浅理解结合新的困难，将课本的方法进行本质提炼和灵活迁移，共同感知理性中的具体、抽象中的生动、宏观中的朴实，获得深刻的情感体验，让深度学习真的发生，让真的教育真实进行.学的学习怎么可能拘泥于这是代数、那是几何呢？七年级数学中的直线与有理数的知识可以整合起来，其载体就是数轴；直线上的运动问题与代数式的计算可以贯通起来，其纽带也是数轴.数轴的本质是具有“三要素”的直线，是连接代数与几何的纽带，具有为形赋数、以数表形、数形结合、定量研究的重要作用，是初中数学中第一次数形结合的典范.在期末复习中，教师应该通过典型的例子，将零散的知识整合起来，将知识的发展贯通起来，进行深入的剖析，带领学生深刻地体悟.

案例3：数轴的应用之运动问题.

如图2，已知直线l上有一点O，点A，B同时从点O出发，在直线l上分别向左、向右做匀速运动，且点A，B的速度比为1∶2，设运动时间为ts．

图2

（1）当t=2 s时，AB=12 cm．

①在直线l上画出A，B两点运动2 s时的位置，并回答点A运动的速度是____；点B运动的速度是____.

②若点P为直线l上一点，且PA-PB=OP，求的值；

三、系统整合前后贯通：零散的知识要整合，知识的发展要贯通

期末复习，零散的知识要整合，不同模块的知识往往可以依据其相同或相似的元素而整合起来，不同领域的相同数学对象依据其发展的脉络可以贯通起来.抓住共性整合，根据脉络贯通，需要分析、比较、综合、评价这些高阶思维参与是深度学习的必然要求.事实上，人的大脑左、右半球有不同的分工，一个以形象思维为主，一个以抽象思维为主，这是人脑为了反映客观世界的数与形而进化出来的结果，它们不仅有分工，而且有协作.代数与几何恰恰是两种思维方式的科学工具，既相互区别，又相互联系，数

（2）在（1）的条件下，若点A，B同时按原速向左运动，再经过几秒，OA=2OB．

对于第（1）小题第①问，借助小学的算术就可以直接得出答案.也正是这种小学算术的思维定势，使得一些学生将这种算术的方法和几何的直观结合起来，用于解决第（1）小题第②问，方法如下.

解：如图3，当点P在点A，B之间时，PA-OA=OP.

因为PA-PB=OP，

所以PB=OA=4.

所以OP=OB-PB=8-4=4.

图3

如图4，当点P在点B右侧时，得

PA-OA=OP.

因为PA-PB=OP，

所以PB=OA=4.

所以OP=OB+PB=8+4=12.

图4

这些学生能根据图形直观找到隐含的数量关系PA-OA=OP，与已知的数量关系PA-PB=OP相综合，从而发现OA始终等于BP，进而解决此题.这部分学生的几何直观领先于其他学生，有较强的识图能力和推理能力.而另外一些学生从纯几何的角度却感到困难，我们是不是应该启发学生从另外的角度来思考，为学生的思维提供多一种选择呢？笔者是这样处理的.

师：再读题目，发现题目的大背景是一条直线，有两个点同时朝相反方向运动，对于直线，我们学过哪些与之有关的知识？你能在教材上找到吗？

生1：线段、射线、直线它们是一家，通过一定的方式是可以相互转化的.

生2：像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

师：那又说明什么问题呢？

生3：数轴跟直线有关，直线跟线段和射线有关，那我们可以说数轴和直线、线段、射线都有关，当我们给它们赋予特殊的三要素，直线上的问题就转化为数轴上的问题.

师：这样的转化对我们有什么帮助？

生4：题目中的线段AP可以看成点A与点P之间的距离，在数轴上可以用大数减去小数的方式表示.

师：有了数轴就可以用数表示任意点的位置了，就可以把线段等式用代数等式来表示.生5：设点P表示的数为x，由题意可知点A表示的数为-4，点B表示的数为8.

当点P在AB之间时.

因为PA-PB=OP，

所以x-(-4)-(8-x)=x.

所以x=4，

即OP=4.

当点P在AB的右侧时.

因为PA-PB=OP，

所以x-(-4)-(x-8)=x.

所以x=12，

即OP=12.

有了以上的知识和方法分析，第（2）小题的方法自然形成.

解：设点A，B同时按原速向左运动，再经过as，OA=2OB.

由题意，得

通过分析，角和数轴将直线在代数与几何中的发展贯通了起来，学生有了深刻的理解、深切的体验、深远的领悟，深度学习真的发生了.当他们再遇到类似的综合题时，就会有广阔的视野和灵活的选择.这样的学习，需要并发展着学生的高级思维能力，需要并发展着学生系统化的贯通与结构化的整合能力.学生并非孤立地学习零散、碎片、杂乱的知识，而是在教师的引导下，根据当前的学习活动去联想、调动、激活以往的经验和知识，以融会贯通的方式对学习内容进行组织，组织成有逻辑、有体系、有结构、前后贯通的知识.整合与贯通是深度学习的重要特征.

课本是教师教的重要素材，是学生学的重要基地，是师生须臾不可离开的东西.在期末基础复习中回归课本，带领学生反复品读课本，不管是从前往后，还是从后往前，亦或前后跳跃，课本都会毫无保留地敞开心扉，告诉我们真理、给予我们方法、澄清我们的误区、填补我们的缺失、深化我们的理解.所以，回归课本追溯源头，深度思考自然突破，系统整合前后贯通是期末基础复习应该遵循的设计原则.