观十年高考真题 析万有引力应用

陕西

随着我国发射的“嫦娥四号”登月探测器在月球背面成功软着陆，万有引力定律的应用问题必将成为高考命题的重点和热点。虽然此类题目难度不大，但是学生在处理此类问题时不能快速、准确地建立物理模型，胡乱代入“黄金代换”公式、盲目利用万有引力提供向心力、解题效率不高等现象普遍存在。本文对十年高考真题中万有引力应用题目进行了模型归类和例析，以供参考。

一、“定点”类模型

定点类模型是指在宇宙空间某一位置对物体的运动进行研究，常利用万有引力与重力的关系处理此类问题。

1.地球表面附近“定点”

【例1】(2014年全国卷Ⅱ)假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常数为G，则地球的密度为

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【点评】如果题目指明具体位置的重力加速度，如两极、赤道、某纬度等，则不能忽略地球的自转。此时只有在两极万有引力等于重力，即“黄金代换”公式成立；其余位置万有引力等于重力和自转向心力的矢量和，“黄金代换”公式不成立。

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【点评】本题中小球抛出的位置“在某行星和地球上相对于各自水平地面附近”，还有一些题目给出的位置“在地球表面”，这些位置含糊不具体，虽然题目没有说明，但一定是忽略了地球的自转，万有引力等于重力，“黄金代换”公式成立。

2.地球内部“定点”

【例3】(2012年全国卷Ⅰ)假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为

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3.地球上空“定点”

【例4】(2015年重庆卷)宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为

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二、“环绕”类模型

环绕类模型是指卫星离开地面，只在万有引力作用下绕地球做匀速圆周运动。常利用万有引力提供向心力处理此类问题。

1.地球表面(近地)环绕

【例5】(2018年全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10-11N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为

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A.5×109kg/m3B.5×1012kg/m3

C.5×1015kg/m3D.5×1018kg/m3

2.地球上空(远地)环绕

【例6】(2013年海南卷)“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成。地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍，下列说法中正确的是

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A.静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍

B.静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍

C.静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的1/7

D.静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的1/7

【点评】卫星绕同一中心天体做匀速圆周运动时有“高轨低速(v、ω、a)大周期(T)”的特点。

3.“双星”环绕

【例7】(2018年全国卷Ⅰ)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星

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A.质量之积 B.质量之和

C.速率之和 D.各自的自转角速度

【点评】双星各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供。

三、“定点”与“环绕”模型综合类

【例8】(2015年天津卷)P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动。图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同。则

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A.P1的平均密度比P2的大

B.P1的“第一宇宙速度”比P2的小

C.s1的向心加速度比s2的大

D.s1的公转周期比s2的大

【点评】本题是表面(近地)“环绕”与地球上空(远地)环绕的综合问题。

四、结语