多个点电荷平衡与非平衡的进阶学习

安徽

多个点电荷在彼此间的静电力作用下处于平衡或非平衡状态，点电荷可以保持静止也可以做变速运动，轨迹可以是直线，也可以是曲线。解题的方法可以采用动态分析、相似形、整体法和隔离法等。

一、两个点电荷的平衡与非平衡

1.1 两个点电荷的平衡

【例1】如图1，两个带有同种电荷的小球，用绝缘细线悬挂于O点，若平衡时两小球到过O点的竖直线的距离相等，则两小球的质量关系为

( )

A.m1>m2B.m1=m2

C.m1

图1

图2

【反思】共点力平衡问题的解题方法有解析法、图象法，对于三个力的平衡往往可以采取图象法，可以构建直角三角形，也可以构建普通三角形，对于普通三角形可以采用正弦定理、余弦定理，也可以采用相似形求解。

1.2 两个点电荷的非平衡

图3

【例2】

如图3，带电粒子

A

带正电，带电粒子

B

带负电，仅在彼此间的库仑力作用下绕连线上某点

O

做匀速圆周运动，下列说法正确的是

( )

A.它们做圆周运动的向心力大小相等

B.它们的运动半径与电荷量成正比

C.它们的角速度相等

D.它们的线速度与质量成正比

【反思】此情景类似双星问题，彼此间的库仑引力提供各自的向心力，两点电荷角速度相等、周期相等，半径和质量成反比，线速度大小和质量成反比。

二、三个点电荷的平衡与非平衡

2.1 三个点电荷的平衡

【例3】如图4，在光滑绝缘水平面上放置电荷量分别为q1、q2、q3的三个点电荷，三者位于一条直线上，已知q1与q2之间的距离为r1，q2与q3之间的距离为r2，三个点电荷仅在彼此间的库仑力作用下均处于平衡状态。

图4

(1)若

q

2

为正电荷，判断

q

1

和

q

3

的电性；

(2)求q1、q2、q3三者电荷量大小之比。

【分析与解】(1)三个点电荷仅在彼此间的库仑力作用下均处于平衡状态，每个点电荷受到的库仑力均为等大反向的一对平衡力，所以当q2为正电荷，q1和q3必为负电荷。

【反思】这是一道经典的三个点电荷的平衡模型，关键采用假设分析法确定三个点电荷的电性关系“两同夹异”，利用平衡问题构建电荷量的关系“两大夹小、近小远大”。

2.2 三个点电荷的非平衡

图5

【例4】如图5，两个固定的带电荷量均为+q的点电荷a、b，相距为L，通过它们的连线中点O作此线段的垂直平面，在此平面内恰好有一个质量为m，带电荷量为-q的点电荷c以O为圆心做匀速圆周运动，a、b、c三个点电荷构成一个等边三角形，已知静电力常量为k，点电荷c的重力不计。则c的速率为

( )

图6

【反思】圆周运动的求解基本思路为确定轨道平面、确定轨道圆心、确定轨道半径以及确定向心力来源。

【例5】如图7，光滑绝缘水平面上有三个孤立的点电荷Q1、Q2、Q3，其中Q2恰好静止不动，Q1、Q3围绕Q2做匀速圆周运动，在运动过程中三个点电荷始终共线。已知Q1、Q3分别与Q2相距r1、r2，不计点电荷间的万有引力，下列说法正确的是

( )

A.Q1、Q3一定是同种电荷

图7

B.

Q

1

、

Q

3

可能是异种电荷

【反思】此模型类似三星问题，天体间的相互作用力表现为万有引力，但电荷间的相互作用力既有引力也有斥力。两个模型的核心均是分析受力情况以及力的作用效果，达到平衡还是非平衡，合力为零还是提供向心力等。

三、四个点电荷的平衡与非平衡

3.1 四个点电荷的平衡

图8

【例6】如图8，水平面上A、B、C三点固定着三个电荷量均为Q的正点电荷，将另一质量为m的带正电的小球(可视为点电荷)放置在O点，OABC恰构成一棱长为L的正四面体。已知静电力常量为k，重力加速度为g，为使小球能静止在O点，小球所带的电荷量为

( )

图9

【反思】本题的背景是三维立体，对学生的空间想象能力要求较高。通常可以采用降维思想，用两个二维平面等效替代三维立体，也可以建立三维坐标系分析。

【例7】如图10，在光滑绝缘的水平桌面上有四个小球，所带电荷量分别为-q、+Q、-q、+Q。四个小球构成一个菱形，-q、-q的连线与-q、+Q的连线之间的夹角为α。若此系统处于平衡状态，则正确的关系式是

( )

图10

图11

【反思】本题的四个点电荷仅在彼此间的库仑力作用下都处于平衡，解题的关键在于受力分析，构建平衡方程。

3.2 四个点电荷的非平衡

【例8】如图12，边长为L的等边三角形△ABC的三个顶点均有带电荷量为Q的点电荷，三角形的中心O点有一带电荷量为-Q的点电荷，四个点电荷仅在彼此间的静电力作用下构建一个稳定的系统，A、B、C三个点电荷绕O点做匀速圆周运动，每个点电荷质量均为m。试求：A、B、C三个点电荷绕O点做匀速圆周运动的周期。

图12

图13

【分析与解】根据对称性易知处在中心O点的点电荷处于平衡状态，对处于顶点的点电荷受力分析如图13，合力提供向心力。

【反思】四个点电荷仅在彼此间的库仑力作用下构建一个稳定系统类似于四星系统，相比较天体模型，本题不仅需要考虑彼此间的引力还需要考虑斥力。

【例9】如图14，边长为L的正方形ABCD的A、C两个顶点具有电荷量为+q的点电荷，B、D两个顶点具有电荷量为-q的点电荷，四个点电荷仅在彼此间的静电力作用下构建一个稳定的系统，绕正方形ABCD的中心做匀速圆周运动，每个点电荷质量均为m。试求：四个点电荷做匀速圆周运动的速率。

图14

图15

【分析与解】根据题意四个点电荷都绕正方形ABCD的中心做匀速圆周运动，彼此间的静电力提供各自的向心力。受力分析如图15。

【反思】例题2、例题5、例题9都类似于天体的多星模型，两者间有相似的地方——彼此间的相互作用力提供向心力；也有相异的地方——天体间的相互作用力表现为引力，点电荷间的相互作用力不仅有引力，还有斥力。

【总结】通过以上的分层学习，层层推进、步步为营，前一题的学习为后面设置了足够的平台，学生的思维也较为顺利的建立。从不同角度的发散较好地培养学生的发散思维，拓宽了学生的思维广度，同时利用定量的分析有效加强了思维的深度。