中国经济随机前沿模型效率的贝叶斯统计推断

张理想 李亚琼

摘 要 基于扩展的随机生产前沿模型，研究了区域生产效率的差异和其影响因素的作用效果，应用贝叶斯统计方法对中国各省份2010-2017的年度数据（不包含港澳台地区，下同）进行了实证研究.研究发现：生产效率总体呈逐渐下降的趋势，地区间生产效率有一定的差异，高等教育规模对生产效率具有显著的直接影响.人力资本能有效促进东部和中部地区的经济增长，西部地区主要依靠资本促进经济增长.环境污染对中部地区的经济增长具有一定的负向作用.

关键词 数理统计;随机前沿模型;贝叶斯统计推断;生产效率分析;Gibbs算法

中图分类号 O212            文献标识码 A

Bayesian Statistical Inference on the Efficiency

of Stochastic Frontier Model for Chinese Economy

ZHANG Lixiang1， LI Yaqiong1*，MA Raoqing2

（1.College of Mathematics and Econometrics， Hunan University， Changsha， Hunan 410082， China;

2.King's College London， London，  SE5 9RJ，England）

Abstract Based on the extended stochastic production frontier model， the difference of regional production efficiency and the effect of its influencing factors were studied， and then the annual data of various provinces in China from 2010 to 2017 were used to conduct an empirical research by using Bayesian statistical method. Through the research， it is found that the production efficiency shows a trend of gradual decline generally， and there are certain differences in the production efficiency between regions. The scale of higher education has a significant direct impact on the production efficiency. Human capital can effectively promote economic growth in the eastern and central regions， while the western region mainly relies on capital to promote economic growth. Environmental pollution has a significant negative impact on the economic growth of the central region.

Key words mathematical statistics; stochastic frontier model; Bayesian statistical inference; production efficiency analysis; Gibbs algorithm

1 引 言

经济增长是国家的基本经济目标之一，已有大量学者从不同的角度对经济增长的动力源进行了讨论.很多研究者认为全要素生产率才是经济增长的核心，并对其进行测量和分解.生产效率作为全要素生产率的一部分，是度量生产有效性的重要指标，用来衡量生产者在投入等量生产要素的条件下，实际产出与最大产出（生产前沿）的比率.对生产效率的

度量和其影响因素的研究，可以测量生产行为无效性的程度和分析无效的原因，进而对中国的经济生产提出合适的改进对策，以提高资源利用率，促进经济高效绿色可持续发展.

关于中国经济生产效率及其影响因素的研究，相关学者已取得了一定的成果.Li和Xu（2014）[1]基于随机前沿分析方法测量了中国1996-2010年间各省（未包含港澳台，下同）的生产效率，发现生产效率呈下降趋势，区域差异显著.陈超凡（2016）[2]采用非参数模型和ML指数分解方法得出技术水平的提高和产权结构的合理化有利于全要素生产率的提高，而能源结构的不合理则不利于绿色全要素生产率的增长.Li和Zhang（2017）[3]通过面板tobit模型的实证分析发现区域一体化对效率的促进作用具有区域异质性.

在经济增长中，教育的地位不容忽视.徐长青（2017）[4]通过拓展的生产函数和多变量VAR模型对中国教育公平和经济增长的关系进行研究，发现短期内教育公平对经济增长具有反向作用，长期内教育公平对经济增长具有显著的积极作用.秦勇和王孝坤（2017）[5]利用固定效應模型和逐渐添加变量的估计方法，发现高等教育规模对经济增长有着正向的滞后影响.Johansen和Arano（2016）[6]实证研究了区域大学机构对当地经济发展的影响，认为高等教育机构的主要贡献之一是人力资本.

另外，环境污染对经济增长的影响也是不可忽视的，故将人均受教育年限、环境污染量和高等教育规模考虑到经济生产之中.

随机前沿模型是研究生产效率的有效工具.Koop等（1997）[7]提出了固定效应和随机效应模型，实证研究发现超参数发生巨大变化时，随机效应模型结果也表现出稳定性.Koop等（2000）[8]采用扩展的随机前沿模型对不同国家的经济增长源进行实证研究，发现经济自由度越高，生产效率越高.对于生产函数的选取，樊纲和王小鲁（2011）[9]基于C-D生产函数，在传统两要素生产函数的基础上加入了人均受教育年限要素，研究了中国市场化进程对经济增长的影响.关于面板数据的组合误差随机前沿模型的计算问题，Osiewalski和Steel（1998）[10]提出了现代数值积分方法，通过理论分析和实证研究表明：Gibbs抽样方法可以大大减少模型后验推断中所涉及的计算困难.Tsionas（2000）[11]通过对非效率项为伽玛分布的随机前沿模型的研究，发现扩充数据的吉布斯抽样对模型后验分布的探索、模型参数和非效率的相关函数的推断都有效.

综上所述，对于区域经济生产效率的研究，主要侧重于生产效率的测量和其变化趋势及区域差异的分析，对区域经济生产效率的影响因素的研究并不多.多数研究是基于非参数模型以及ML指数分解方法对全要素生产率进行分解，间接研究了城市化率、产业结构、基础设施水平等因素对生产效率的影响，并采用最大似然方法对模型参数进行估计.由Fernandez[12]提出的变效率分布模型是随机效应模型的一种情况，其非效率分布的均值依賴于一些外部因素，在研究生产效率影响因素方面，该模型更加灵活.

鉴于以上分析，基于C-D生产函数，在传统两要素生产函数的基础上加入人均受教育年限和环境污染量要素作为研究的生产函数，并采用Wang[13]提出的变效率分布的随机前沿模型，将高等教育规模加入到非效率的分布中.利用Gibbs抽样方法做数值模拟，对模型参数和非效率进行后验推断，进一步分析中国区域经济增长和生产效率的地区差异以及高等教育规模对生产效率的直接影响效果，进而对区域经济的发展给出合理而有效的政策性建议，促进经济绿色高效可持续发展.最后，基于2010-2017年的经济产出，对2019年三大区域的实际GDP做预测分析.

文章结构如下：第二部分为模型设定和统计推断，选择合适的随机生产前沿模型、参数先验和贝叶斯统计推断技术.第三部分是数据选取和生产变量的衡量.第四部分为实证结果，分析2010-2017年间随机生产前沿模型参数的估计结果和生产效率的变化趋势、区域差异及高等教育规模的影响效果，并预测2019年三大区域平均一个省的实际GDP产出的范围.最后为结论部分.

2 模型设定和统计推断

根据Koop和Osiewalski给出的随机前沿模型，即

yit=hxit;β-zit+εit.   （1）

其中，i=1，…，N，t=1，…，T，yit和xit分别是第i个个体在t时刻的产出量和投入向量的自然对数，h（·）是一个未知生产函数，β=β0，β1，…，βk-1′是一个k维的参数向量，定义生产前沿的确定部分，εit是测量误差，zit称为非效率，是一个非负的随机变量，则生产效率τit=exp -zit.

根据引言部分的分析，该研究的生产函数为

hit=β0+β1kit+β2lit+β3eit+β4sit+εit.     （2）

其中，i=1，…，N，t=1，…，T，hit为未知函数，β1，β2，β3，β4分别是资本、劳动力、人均受教育水平和环境污染量对产出的弹性系数，β0是截距项，kit，lit，eit，sit分别是第i个个体在t时刻的资本、劳动力、人均受教育水平和环境污染量的自然对数，εit代表测量误差.由式（1）和式（2）联立，可得扩展的随机生产前沿模型，即

yit=xitβ-zit+εit.    （3）

其中，i=1，…，N，t=1，…，T，xit=（1，kit，lit，eit，sit）.

该模型满足一般假设：εit服从一个均值为0，方差为h-1的正态分布，即εit～N0，h-1;εit和zit相互独立，对于i=1，…，N，t=1，…，T.从而可得似然函数

py|β，h，z=∏Ni=1∏Tt=1h2π12

exp -h2yit-xitβ+zit′yit-xitβ+zit.    （4）

其中，h是误差精度，y=（y11，…，y1T，…，yN1，…，yNT）′和z=（z11，…，z1T，…，zN1，…，zNT）′都是一个NT维的向量.

2.1 先 验

参考Koop和Osiewalski提出的变效率分布方式，第一层是均值为λit，自由度为2的伽玛分布，即

zit～Gλit，2.（5）

其中，i=1，…，N，t=1，…，T，λit=∏mj=1φ-ωit，jj，Ga，b表示均值为a，自由度为b的伽玛分布的密度函数.未知参数φj>0j=1，…，m，ωit，j（j=1，…，m）是可能影响生产效率的解释变量，且满足ωit，1=1（i=1，…，N，t=1，…，T），φ=（φ1，…，φm）′.

第二层先验，即参数φ的先验为

φj～Ggj，vφj.（6）

其中，j=1，…，m， 即φ′js的先验是相互独立的伽玛分布.

另外，对参数β和h分别采用相互独立的正态—伽玛先验和共轭先验进行数值模拟，即

β～Nμ，Σ，h～Gs-2，v，     （7）

β～Nμ，Σh-1，h～Gs-2，v.       （8）

其中，μ=μ0，…μ4′是一個5维的向量，Σ是一个对角线上元素为Σ0，…，Σ4，其他元素为0的对角阵.由先验（7）、（8）可知参数β，h，z，φ的联合先验为分别为

pβ，h，z，φ∝hv-22∏Ni=1∏Tt=1λ-1it∏mj=1φvφj-22jexp -12（β-μ）′Σ-1（β-μ）+hvs2+∑mj=1φjvφjg-1j-∑Ni=1∑Tt=1λ-1itzit，   （9）

pβ，h，z，φ∝hv-12∏Ni=1∏Tt=1λ-1it∏mj=1φvφj-22jexp -h2（β-μ）′Σ-1（β-μ）+vs2+h-1∑mj=1φjvφjg-1j-∑Ni=1∑Tt=1λ-1itzit.  （10）

根据规模效益不变的经济规则，满足β1+β2=1，故令先验参数μ1=μ2=0.5，Σ1=Σ2=0.25，即信息先验.另外，取μ1=0.25，μ2=0.75时，数值模拟结果不变.由于人均受教育年限和环境污染量对经济产出的贡献度不明确，故设定相应的先验参数为相对无信息先验，令μ0=μ3=μ4=0，Σ0=Σ3=Σ4=100.对于h，令v=0，为无信息先验，可以得到合适的后验（见Fernandez（2004）），且s-2=10，20，25时，数值模拟结果基本不变.参考Koop和Osiewalski的做法，令非效率参数vφj=2j=1，…，m，g1=-ln τ*，gj=1（j=2，…，m），其中τ*∈0，1称为先验平均效率.由于不确定ωit，j（j=2，…，m）对生产效率是否有影响，从而对φ=φ1，…，φm′设定一个相对无信息先验.取τ*=0.85，且在区间[0.7，0.9]内取值时，效率均值相对稳定.当φ2，…，φm的值为1时，其相应的解释变量对生产效率没有影响.

2.2 后 验

根据贝叶斯准则，由似然函数和式（9）的联合先验可得模型参数β，h，z，φ的联合后验，即

pβ，h，z，φ|y∝hNT+v-22∏mj=1φvφj-22j∏Ni=1∏Tt=1λ-1itexp -h2∑Ni=1∑Tt=1yit-xitβ+zit′yit-xitβ+zit

+vs2+h-1（β-μ）′Σ-1（β-μ）+h-1∑mj=1φjvφjg-1j-∑Ni=1∑Tt=1λ-1itzit.    （11）

由此，得到参数β的条件后验

β|y，h，z，φ～

N∑-1μ+h∑Ni=1∑Tt=1x′it（yit+zit），. （12）

其中，=（∑-1+h∑Ni=1∑Tt=1x′itxit）-1.h的条件后验为

h|y，β，z，φ～G（（NT+v）

（∑Ni=1∑Tt=1（yit-xitβ+zit）′（yit-xitβ+zit）

+vs2）-1，NT+v），（13）

则zit（i=1，…，N，t=1，…，T）的条件后验为截断的正态分布，即

pzit|yit，β，h，φ

=fNzit|xitβ-yit-（hλit）-1，h-1Izit≥0     （14）

其中，fN·|A，B表示均值为A，方差为B的正态分布的密度函数.

最后，φjj=1，…，m的条件后验为

φj|y，β，h，z，（-j）～G（（2∑Ni=1∑Tt=1ωit，j+vφj）

（2∑Ni=1∑Tt=1ωit，jφ（-j）zit+vφjg-1j）-1，

2∑Ni=1∑Tt=1ωit，j+vφj）.   （15）

其中，（-j）=（φ1，…，φj-1，φj+1，…，φm），φ（-r）=∏mj≠rφωit，jj，r=1，…，m，ωit，j是虚拟变量.

同理，由似然函数和式（10）的联合先验得到的各参数的条件后验，除β和h外，其他参数的条件后验不变，则

β|y，h，z，φ～N（[Σ-1μ+∑Ni=1∑Tt=1x′it（yit+zit）]，h-1）.   （16）

其中，=Σ-1+∑Ni=1∑Tt=1x′itxit-1.

h|y，β，z，φ～G（（∑Ni=1∑Tt=1（yit-xitβ+zit）′（yit-xitβ+zit）+（β-μ）′Σ-1（β-μ）+vs2）-1，）， （17）

其中，=NT+v.

由以上可知，每个未知参数在其他参数的条件后验下都是经典分布.因此，可采用Gibbs算法完成数值模拟，算法过程如下：

第一步：选择参数的初始值β（0），h（0），z（0），φ（0）;

第二步：从正态分布p（β|y，h（s-1），z（s-1），φ（s-1））中抽取β（s）;

第三步：从伽玛分布p（h|y，β（s），z（s-1），φ（s-1））中抽取h（s）;

第四步：从正态分布p（z|y，β（s），h（s），φ（s-1））中抽取z（s）;

第五步：从伽玛分布p（φj|y，β（s），h（s），z（s），φ（s）1，…，φ（s）j-1，φ（s-1）j+1，…，φ（s-1）m中抽取φ（s）j，j=1，…，m.

重复上面的步骤，直至抽取S次，从而得到一列样本β（s），h（s），z（s），φ（s），s=1，…，S.为了消除参数初始值的影响，丢掉前S0个样本，根据弱大数定律，用剩下S1个样本对模型参数进行后验推断，且S=S0+S1.

3 数 据

选取2010-2017年间全国31个省、自治区和直辖市（不包括港、澳、台，下同）的面板数据，包括GDP、固定资本存量、年末就业人数、二氧化硫排放量和文盲、小学、初中、高中、大专及以上学历的人数，以及高等教育毕业生人数和地区总人口进行实证研究，这些数据均来自于时间段内的《中国统计年鉴》和地区统计年鉴等.另外，采用回归分析方法预测2019年生产投入要素的数据.由观测数据对经济生产水平、资本、劳动力数量和质量、环境污染量和高等教育规模变量进行衡量，具体做法如下.

经济生产水平用GDP来衡量，并將2007年作为基年，用不变价格的方法对名义GDP进行调整，消除价格因素.用固定资本存量来度量生产过程中的资本投入（狭隘物质资本的定义），并采用永续盘存方法，以1952年为基期，以1990年价格为标准，估计各省市的年均固定资本存量.参照樊纲和王小鲁（2011）[9]的做法，将各省的年末就业人数和人均受教育年限分别作为人力资本的数量和质量指标.环境污染的度量方式有很多，为了保证研究的可靠性，将各地区二氧化硫的排放量作为环境污染的代理指标.以上变量作为生产的投入要素.另外，参照秦勇和王孝坤（2017）[5]的做法，以高等教育毕业生人数占地区总人口的比重作为高等教育规模的衡量指标.经济增长和高等教育规模可能存在双向关系（Wang（2011）[13]），故采用滞后一期的高等教育规模进行研究.

4 实证结果与分析

4.1 模型比较和先验的灵敏度分析

为了保证推断结果的准确性，采用Brooks和Gelman（1998）[14]给出的BGR诊断方法对MCMC进行收敛诊断.首先赋予参数β，h，z，φ三个不同的初始值.

第一个初始值：β=[-2.97，0.50，0.53，1.54，-0.06]，h=18，φ1=-ln （0.85），φj=1（j=2，…，m）;

第二个初始值：β=[1，0.40，0.60，2.00，0.00]，h=10，φ1=-ln （0.80），φj=1.2（j=2，…，m）;

第三个初始值：β=[0，0.60，0.40，1.00，-0.10]，h=30，φ1=-ln （0.90），φj=0.8（j=2，…，m）.

由OpenBUGS软件得到各参数的BGR诊断图，图1给出了部分参数的收敛诊断图.

模型参数φ1和φ2分别是非效率分布中的常量和高等教育规模对应的系数.表1给出了各模型参数的均值（Mean）、标准差（SD）和数值标准误差（NSE），其中数值标准误差反映了样本平均值相对于总体平均值的差异程度，体现抽样误差的大小.模型1和模型3都是基于β和h相互独立的正态伽玛先验推断的结果，且模型1只有资本和劳动力两种投入，模型2是基于β和h的共轭先验推断的后验结果.模型3和模型1相比，其偏差信息标准（DIC）的值更小.另外，模型2 和模型3的后验推断结果相差很小，故参数β和h的先验选取是相对稳定的.β4、β5和φ2的95%的最大后验置信区间表明：人均受教育年限、环境污染和高等教育规模因素的影响都是显著的，说明了模型3的合理性及增加因素的有效性.

观察模型3的推断结果，发现资本和劳动力的产出弹性均值之和约为1，说明我国经济生产正好处于规模报酬不变的阶段，资本和劳动力对经济增长的贡献度基本相当.模型1与相比，资本产出弹性均值下降了17 个百分点，劳动力产出增加了9个百分点，且人均受教育水平的产出弹性均值为1.409，说明传统的两要素生产函数模型高估了资本的产出弹性，人力资本才是有效促进经济增长的重要因素.环境污染显然对经济的生产具有负向影响.高等教育规模95%的置信区间在1的右边，表明它对生产效率的直接影响是显著的.

4.2 三大地区的模型结果分析

根据4.1的分析，基于模型3分别采用东中西三大地区的生产数据，丢掉前8000个样本，再取30000个样本对模型参数和效率进行后验推断，推断结果见表2.

表2给出了模型参数的均值（Mean）、标准差（SD）、数值标准误差（NSE）和95%的最大后验置信区间.由均值一列容易看出各生产要素对三个地区经济增长的贡献度不一样.

结合表1分析，与全国经济生产情况不同，东部地区和中部地区的劳动力产出弹性均值高于资本产出弹性均值，属于劳动力拉动经济增长型.西部地区与全国的增长型相似.东部地区的人均受教育水平的产出弹性均值为1.78，显著高于全国水平，且东部和中部地区的人力资本产出弹性均值（β3+β4）远大于资本的产出弹性均值，故人力资本对区域经济的增长起到重要作用.西部地区的人均受教育水平的产出弹性均值只有0.37，远远低于全国水平，资本在西部地区的经济生产中占主要地位.由β5的置信区间可以看出，二氧化硫的排放量对东部和西部地区的影响不明确，对中部地区的经济增长具有负向影响.另外，φ2显著不为1，故高等教育规模会直接影响三地区的生产效率水平，但影响程度有所不同.

4.3 生产效率分析

基于上述随机生产前沿模型，分别对三大地区各省市的生产效率进行后验推断，结果见表3.

表3给出了三大地区各省市生产效率的后验推断结果.由均值一列可知，中部地区的生產效率都在0.8以上，平均生产效率最高，西部次之，东部最低，三大地区间的生产效率有一定的差异.整体来看，各省份的生产效率基本都在0.7 以上，只有海南省和河北省的生产效率最低，分别为0.564和0.690，而东部地区的上海和广东，西部地区的重庆和四川以及中部地区的黑龙江和湖北的平均生产效率都在0.9以上，各省市的平均生产效率存在一定的差异.研究期内生产效率的变化趋势为：全国生产效率从2010年到2011年有所上升，之后逐渐下降.东部和西部地区的变化趋势与之一致，但中部地区的生产效率从2010年一直到2015年都是缓慢上升，之后呈缓慢下降的趋势.

4.4 预测

对区域经济生产进行预测的具体做法如下.

假设第i个被解释变量的T个时间点的未观测值为y*i=（y*i1，…，y*iT），i=1，…，N，则满足

y*i=x*iβ-zi+ε*i.    （18）

其中，ε*i与εi相互独立，且ε*i～N（0，h-1IT），x*i是一个T×k的矩阵，对于第i个个体在每个时刻的产出点都包含k个解释变量，非效率zi=（zi1，…，ziT）′是一个T维的向量.对于感兴趣的函数g（·），有

E[g（y*（s）|y）]=1S1∑Ss=S0+1g（y*（s））（19）

其中，y*=（y*1，…，y*N）.

样本的获取方法如下：首先，基于公式（12）-（15）利用Gibbs抽样得到样本β（s），h（s），z（s），φ（s）;其次，将这些样本代入正态分布p（y|y，β（s），h（s），z（s），φ（s））中;最后，从这个正态分布中获得样本y*（s）.

根据上面的数值模拟方法，分别取S1=20000，30000和40000进行后验推断，表4给出了三大地区平均一个省（直辖市）2019年度的实际GDP预测结果.均值和中位数（Median）给出了2019年GDP的点估计值，95%的最大后验置信区间则展现了2019年GDP的一个可能范围.由NSE的值可知，随着样本量的增加，数值标准误差会逐渐的减小.当样本量增加到40000时，后验估计结果与30000个样本的后验估计结果相近，且NSE值相对变化不大，估计结果趋于稳定.三地区的经济产出差距仍然较大，但从2011年以来，三地区的经济产出差距有逐渐减小的趋势.

5 结 论

应用贝叶斯统计方法和Gibbs抽样算法对扩展的随机生产前沿模型参数进行了后验推断，得到了全国和各地区的生产效率，接着分析了地区生产效率的差异和各生产要素对地区经济增长及其生产效率的影响.通过实证研究发现以下结论.

我国经济生产正处于规模报酬不变的阶段.人力资本，特别是劳动力质量是拉动经济增长的重要因素.环境污染对经济生产具有负向影响.高等教育规模对生产效率具有显著的直接影响.

东部和中部地区是劳动力促进经济增长，而西部地区主要还是依靠资本促进经济增长.相对于资本和劳动力，人均受教育水平很大程度上促进了东部和中部地区的经济增长.环境污染（以二氧化硫的排放量作为环境污染量的指标）对中部地区具有显著的负向影响，而对东部和西部地区的影响效果不确定.

从2010年到2011年全国生产效率有所上升，之后逐渐下降，东部和西部地区与全国变化一致，而中部地区的生产效率缓慢上升到2015年之后出现缓慢下降的趋势.对于各区域的平均生产效率，中部地区为最高，西部次之，东部最低，三大地区间的平均生产效率有一定的差异.人均受教育水平和环境污染可能会通过改变经济产出（生产前沿面）而间接地影响生产效率.高等教育规模对生产效率的直接影响显著，且对三地区生产效率的影响程度有所不同.最后，利用Gibbs抽样和蒙特卡洛积分对2019年度三大地区平均一个省（直辖市）的实际GDP进行了预测分析，发现三地区的经济产出差距仍然很大.

根據实证研究结果，在现阶段，对东部和中部地区应提高人均受教育水平，控制污染.对西部地区，在控制污染的同时，加大资本投入，这样可以均衡的提高各区域的经济增长.

未来进一步的研究工作可能包括如下几个方面.变换环境污染量的指标，例如CO2和COD，进一步考察环境污染量对各地区经济增长的影响.对科技创新指标进行量化，研究其对生产效率的影响.在时变随机生产前沿模型下，对经济增长和生产效率进行研究.

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