基于李雅普诺夫直接法的电液力控制系统稳定性研究

陈帅杰，金晓宏,2，黄 浩,2，张邵峰

(1.武汉科技大学冶金装备及其控制教育部重点实验室，湖北 武汉，430081；2.武汉科技大学机械传动与制造工程湖北省重点实验室，湖北 武汉，430081)

电液力控制系统具有控制精度高、承载能力强、响应速度快等优点[1]，被广泛应用于负载模拟器、材料疲劳试验机、机器人、飞行器等设备。电液力控制系统又是一种典型的非线性系统，其传递函数的分子中存在振荡频率较低的二阶微分环节[2]，因此在实际应用中易处于不稳定状态，即使系统受到稳定约束，其性能和响应速度也很有可能降低。

研究人员在力控制系统的稳定性和精度控制方面做了大量工作。例如，徐敬广等[3]在电液力控制系统的前向通道串联两个相同的惯性环节进行系统校正，并分析了系统的稳定性。Truong等[4]将基于定量反馈理论的在线可调力控制器应用于负载模拟器，提高了系统的稳定性和抗干扰能力。Li等[5]针对电机驱动的空气动力负载模拟器中存在非线性摩擦力、受执行器的主动运动扰动和参数不确定性这三个问题，提出一种结合神经网络和并联分布补偿的鲁棒控制器策略，以保证整个闭环系统的稳定性和跟踪精度。赵慧等[6]设计出基于线性矩阵不等式的H∞控制器，提高了电液力系统的频宽，并使系统具有较快的响应速度和较高的稳态精度。Guo等[7]提出一种基于迭代学习机制的输出反馈动态面控制方法，通过几次迭代来优化电液力控制系统的期望轨迹，使输出力收敛到目标曲线，同时还使用李雅普诺夫方法分析了闭环系统的稳定性。Shen等[8]所设计的混合控制器结合前馈补偿和在线自适应逆控制的优点，提高了电液力系统的稳定性，扩展了频率带宽，改善了系统动态特性。上述研究使用先进的控制方法，取得了良好的控制效果，但这些高级控制算法一般比较复杂，在工程应用中难以实现。

本文所研究的电液力控制系统是为了给含有负值弹性刚度负载的位置系统实施加载，负载弹性刚度的变化对系统的稳定性、动态刚度以及稳态精度等会造成不利影响。为此，笔者从能量耗散角度出发，采用基于李雅普诺夫稳定性理论的设计方法对电液力控制系统进行稳定性分析，通过系统的闭环传递函数整理出关于液压缸输出力的三阶非线性方程，利用李雅普诺夫直接法的反演方式求解系统稳定的相关条件，并且根据此条件构造出相应的物理结构补偿模型，来抵消或者削弱不稳定因素对系统的影响，提高系统品质。同时，文中还比较了分别采用物理结构补偿与传统双惯性环节校正时系统的稳定性及动态特性。

1 电液力控制系统的基本原理

图1所示为电液力控制系统的工作原理图。系统主要由伺服放大器、电液伺服阀、液压缸和力传感器构成。在指令电压信号ur作用下，电液伺服阀输出负载流量进入液压缸，其进油腔压力为p1，排油腔压力为p2，液压缸两腔产生与指令信号成比例的压力差pLp1-p2；在pL的作用下，液压缸通过活塞杆将输出力Fg=pLA作用在被控对象上；压力传感器将检测到的输出力的实测值Fg转换为电压信号uf，经反相后反馈到指令端，通过与指令信号ur比较，得出偏差信号ue，实现闭环控制。

图1 电液力控制系统工作原理示意图

Fig.1 Schematic diagram of working principle of electro-hydraulic force control system

2 电液力控制系统的数学模型

根据文献[9]中电液力控制系统各环节的数学方程绘制系统控制框图，如图2所示。

图2 电液力控制系统简化方框图

Fig.2 Simplified block diagram of electro-hydraulic force control system

对图2进行等效变化，可求得从阀芯位移Xv到液压缸输出力Fg的传递函数：

(1)

式中：m为活塞及负载折算到活塞上的总质量，kg；K为负载弹性刚度，N/m；A为液压缸有效活塞面积，m2；B为运动部件黏性阻尼系数，N/(m/s)；Ee为油液有效体积弹性模量，Pa；Kq为阀口流量增益，(m3/s)/m；Vt为液压缸总有效容积，m3；N1=BVt/(4EeA2)+mKce/A2，M1=mVt/(4EeA2)，Z1=KVt/(4EeA2)+BKce/A2+1，V1=KKce/A2，其中Kce为总流量-压力系数，(m3·s)/Pa。

系统的闭环传递函数为：

(2)

式中:Ka为伺服阀放大器增益，A/V；Gsv为伺服阀的传递函数;Kf为力传感器增益，V/N。

通过式(2)整理出电液力控制系统关于液压缸输出力的三阶非线性方程：

(3)

式中：a=mVt/(4EeA2)；b=BVt/(4EeA2)+mKce/A2+mKaKfKqGsv/A；c=KVt/(4EeA2)+BKce/A2+BKaKfKqGsv/A+1；d=KKce/A2+KKaKfKqGsv/A；j=-UrKaKqGsv(ms2+Bs+K)/A。

将Fg记为f，则式(3)可抽象为：

(4)

3 李雅普诺夫稳定性理论在电液力控制系统中的应用

3.1 电液力控制系统的状态空间表示

(5)

此状态方程的平衡点为(-j/d，0，0)，通过坐标变换将平衡点移至坐标原点，令f=f-j/d，代入系统方程后得：

+(d1+d2)f=0

(6)

式中：a1=a，b1+b2+b3=b，c1+c2+c3+c4=c，d1+d2=d；b1=BVt/(4EeA2)，b2=mKce/A2，b3=mKaKfKqGsv/A，c1=KVt/(4EeA2)，c2=BKce/A2，c3=BKaKfKqGsv/A，c4=1，d1=KKce/A2，d2=KKaKfKqGsv/A。

由上述定义可知:a1代表惯性力变化引起的压缩流量对输出力的影响；b1代表黏性力变化引起的压缩流量对输出力的影响；b2代表惯性力变化引起的泄漏流量对输出力的影响；b3代表系统质量的增益对输出力的影响；c1代表弹性力引起的压缩流量对输出力的影响；c2代表黏性力变化引起的泄漏流量对输出力的影响；c3代表系统阻尼的增益对输出力的影响；c4代表液压缸输出力；d1代表弹性力引起的泄漏流量对输出力的影响；d2代表系统刚度的增益对输出力的影响。

(7)

3.2 系统的镇定

取式(6)的李雅普诺夫函数为：

V1(x)=(x1+x2)2+(x1+x3)2+(x2+x3)2

(8)

观察式(8)可知，当x1=-x2、x3=-x1、x2=-x3，即x1=-x1、x2=x1、x3=-x1时，该函数在除了平衡点(0, 0, 0)之外的点都是大于零的，因此满足正定条件。

式(8)展开后可得：

(9)

对式(9)求导，并结合式(7)可得：

=2[2x1x2+3x2x3+x1x3+

(10)

(11)

(12)

(13)

将式(13)代入式(10)，整理得到：

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：e1=1；e2=3；e3=3；e4=1；e5=d2=KKaKfKqGsv/A。

本文选用文献[11]中的系统参数，取系统负载刚度为60 kN/m，根据文献[11]的参数值求出式(16)的各项系数值，如表1所示。

表1 式(16)的各项系数值

由表1可知，b2在二阶系数项中起主导作用，c4在一阶系数项中起主导作用，d1和d2在常值系数项中起主导作用。故式(16)可以简化为如下形式：

(18)

由于式(7)是通过系统的闭环传递函数且将其平衡点变换至坐标原点后得到的，故这里将式(18)转换为传递函数形式：

(19)

4 电液力控制系统结构补偿方案的构造及稳定性分析

4.1 结构补偿方案

假设进油路上的溢流阀起定压作用，则进油压力p10保持不变。在不考虑液压泵的流量脉动、液压缸内外泄漏、管道动态特性以及活塞和负载的黏性阻尼的情况下，系统动力学方程为：

图3 二阶液压补偿器

(20)

式中：M为补偿装置质量，kg；Fg为补偿装置外负载力，N；v为活塞的运动速度，m/s；A0为液压缸活塞的有效面积，m2；p20、p30分别为液压缸出油腔压力和节流阀出油口压力，Pa。

通过节流阀小孔的流量为q0，略去二位二通换向阀泄漏和活塞径向间隙中的泄漏，于是有

q0=A0v

(21)

取节流阀小孔的直径为d、长度为l，液体流过小孔的平均流速为v0，则节流阀小孔层流沿程阻力损失的计算公式为：

(22)

式中：Re为雷诺数；ρ为液体密度，kg/m3。

(23)

活塞运动时的阻尼力

(24)

将式(24)代入式(20)后，进行拉普拉斯变换，得到：

Fg-B0v=Mvs

(25)

液压缸出油腔的液流连续方程为：

(26)

式中：V20为液压缸出油腔的容积，m3；Ee为油液有效体积弹性模量，Pa；q20为液压缸出油流量，m3/s。

节流阀阀口的流量方程为：

(27)

式中：C0为节流阀的节流口流量系数；w为节流阀的节流口面积，m2。

设系统供油压力ps0由溢流阀调定为恒值，回油压力p30为零，不考虑液流在管道中的损失及动态特性，油的温度和密度均为常数，节流阀的负载压力及流量特性为：

Δq20=Kq1Δw+Kc1Δp20

(28)

将式(26)线性化并将平衡工作点移至坐标原点，进行拉普拉斯变换可得：

(29)

当系统正常工作时，节流阀开度变化很小，故可认为Δw=0，于是式(28)可写为：

Q20=Kc1P20

(30)

以P20A作为输出量、力控制系统输出力Fg作为输入量，将式(25)、式(29)、式(30)整理得补偿装置系统传递函数为：

(31)

由于二阶系统的重要参数是系统的无阻尼固有频率和阻尼比，由式(19)可以知道，根据式(31)所构造的二阶液压补偿器的无阻尼固有频率及阻尼比与设计需求相匹配。二阶液压补偿器与电液力控制系统的并联结构如图4所示。

4.2 二阶液压补偿器的稳定性

据式(31)可知，构造的液压补偿器为二阶系统，记式(31)的特征多项式为：

图4 并联结构补偿方案

α2s2+α1s+α0=0

(32)

式中：α2=1,α1=(B0V20+MEeKc1)/(MV20),α0=B0EeKc1/(MV20)。

在式(32)中，阻尼系数B0、油液有效体积弹性模量Ee、液压缸出油腔的容积V20及运动部分质量M皆大于零，同时，由于节流阀的节流口流量系数C0和节流口面积w、节流阀出口压差p20-p30均大于0，故Kc1>0,所以系统特征方程的各系数均大于零。根据劳斯稳定性判据，二阶系统稳定的充分必要条件为α2>0，α1>0，α0>0。由此可知，所构造的二阶液压补偿结构是稳定的。

在液压缸活塞运动过程中，缸内被压缩的液体会产生与活塞位移成比例的复位力，此时被压缩的液体可看作是一个线性液压弹簧，其刚度则为液压弹簧刚度[12]，该值是随着活塞位移的变化而改变的。本系统液压弹簧刚度的计算公式为：

(33)

式中：V1为进油腔容积，m3；V2为出油腔容积，m3。

(34)

根据式(32)、式(34)及图2可以画出加入二阶液压补偿器后电液力控制系统的简化方框图，如图5所示。

图5 加入二阶液压补偿器后的系统简化方框图

Fig.5 Simplified block diagram of the system with second-order hydraulic compensator

5 数值仿真分析

根据电液力控制系统的数学模型，建立Simulink数值仿真模型。设置步长为1×10-5s，采用ode45算法，计算相对误差取1×10-6，按照表2中的参数进行仿真计算。

表2 液压系统参数

从能量耗散的角度来分析，本文所构造的二阶液压补偿器减小了系统综合固有频率ω0处谐振峰值的能量变化，提高了系统的综合阻尼与液压阻尼比，并且在动态过程中随着弹性负载的变化而产生附加的阻尼作用，负载压力变化越剧烈，其阻尼作用就越大，从而改善了系统的稳定性。而常规的双惯性环节设计是在ωm之前串联Gc=1/(s/ω1+1)2的校正环节，其中ω1为校正系数[12]。

图6所示为电液力控制系统在未加入校正环节、加入二阶液压补偿器和加入双惯性环节后的系统伯德图。在判断系统稳定性时，一般情况下系统的相位裕度和幅值裕度越大，系统就越稳定。从图6可以看出，系统加入二阶液压补偿器后的幅值裕度为54.8 dB、相位裕度为108°，与加入双惯性环节校正的系统相比(幅值裕度为18.2 dB，相位裕度为60.2°)，系统稳定性更强。另外，由于系统开环增益较小，故系统的穿越频率仅有0.19 rad/s，从而使该系统的响应速度较慢。

图6 系统伯德图

图7所示为输入指令力以2 kN为幅值作正弦规律变化时的系统输出力与指令力的对比，其中，指令力F01=2sin(6πt) kN，F02=2sin(10πt) kN，F1、F2分别为F01、F02所对应的实际输出力。图8为在不同的方波信号指令力作用下，系统的实际输出力与指令力的对比,其中，指令力F03、F04的周期T=0.5 s，幅值分别为8 kN和2 kN，F3、F4分别为F03、F04所对应的实际输出力。

图7 不同正弦信号指令力作用下系统的输出力

Fig.7 Output forces of the system under different directive forces of sinusoidal signal

图8 不同方波信号指令力作用下系统的输出力

Fig.8 Output forces of the system under different directive forces of square signal

从图7可以看出：正弦信号指令力频率增大时，系统输出响应变快，稳态误差有所增大。当输入正弦信号频率为3 Hz时，系统能够在0.12 s内达到稳态，输出力的幅值误差稳定在2.1%内，系统跟踪性能良好；当输入正弦信号频率为5 Hz时，系统能够在0.09 s内达到稳态，输出力的幅值误差稳定在3.7%内，跟踪性能较好，但是存在发散的可能。从图8可以看出：在相同频率的方波信号指令力作用下，指令力增大会使系统响应品质降低。输入方波信号幅值为8 kN时，系统达到稳态后的超调量最大为5.6%。从以上仿真结果可以得知，加入二阶液压补偿器后的电液力控制系统的响应速度及跟踪性能良好。

由式(33)可知，当活塞处在液压缸两端时，V1、V2取零，此时液压弹簧刚度极大，液压固有频率的值也很大，系统有很好的稳定性，但精度很差。所研究的电液力控制系统的液压弹簧刚度Kh与液压缸活塞位移y的关系如图9所示，可以看出，当活塞处在中间位置时Kh最小，当y=0或y=ymax=100 mm时Kh最大。

图9 Kh与y的关系曲线

系统在二阶液压补偿器的作用下，当液压缸活塞在液压缸右端运动、负载刚度K=60 kN/m时，可计算出活塞位移y为75、85、95 mm处的液压刚度值Kh分别为73.1、105、249 MN/m。当输入指令力为2 kN的阶跃信号时，不同液压刚度下系统的输出力如图10所示。

由图10可以看出：当Kh不同时，系统的超调量和稳态误差都发生改变；系统上升时间都在0.32 s以内，最慢在0.86 s内达到稳态，稳态误差最大为0.09%。

当液压缸活塞位于中间位置时，系统液压刚度Kh=56.3 MN/m。仿真条件设置为：输入指令力为2 kN的阶跃信号，负载刚度K分别为60、300、600 kN/m。此条件下的系统输出力如图11所示。

图10 不同液压刚度下系统的输出力

Fig.10 Output forces of the system with different hydraulic stiffness values

图11 不同负载刚度下系统的输出力

Fig.11 Output forces of the system with different load stiffness values

由图11可以看出：当负载刚度远小于液压刚度时，随着负载刚度的减小，系统响应速度变慢，稳态误差增大，系统性能变差。当负载刚度为600 kN/m时，系统上升时间为0.09 s，输出力能够在0.24 s内达到稳态，输出力幅值误差稳定在0.4%内，系统跟踪性能良好；当负载刚度为300 kN/m时，系统上升时间为0.15 s，输出力能够在0.41 s内达到稳态，输出力幅值误差也能够稳定在0.4%内，但是超调量增加，系统响应变慢；当负载刚度为60 kN/m时，系统上升时间为0.65 s，输出力在0.86 s内达到稳态，输出力幅值误差稳定在0.51%内。

下面对液压缸活塞在接近于行程终端的位置、液压刚度Kh=1440 MN/m、负载刚度K=60 kN/m的系统工况进行分析，此工况下系统的动态特性较差。当输入指令力为2 kN的阶跃信号时，分别加入二阶液压补偿器和双惯性环节以及未加入校正环节的电液力控制系统的输出力如图12所示，系统响应特性如表3所示。

分析表3可以发现，在输入指令力为阶跃信号时，系统在二阶液压补偿器和双惯性环节作用下均能够准确地跟踪期望的输出力。但是与双惯性环节的校正效果相比，系统在二阶液压补偿器作用下的上升时间、峰值时间和调整时间分别缩短了68%、59%和37%，稳态误差减小了0.1个百分点。

图12 不同补偿器作用下的系统输出力

Fig.12 Output forces of the system with different compensators

表3 不同补偿器作用下的系统响应特性

Table 3 Response characteristics of the system with different compensators

系统结构补偿方案上升时间/s峰值时间/s最大超调量/%调整时间/s稳态误差/%二阶液压补偿器0.210.3513.40.860.51双惯性环节0.650.8717.61.360.61未校正0.861.569.90.913.05

6 结论

(1) 根据电液力控制系统工作原理建立了系统的三阶非线性微分方程，采用李雅普诺夫直接法对系统稳定性进行分析，得出满足系统稳定性的条件，并根据数学模型及传递函数构造出二阶液压补偿器的物理模型。

(2)二阶液压补偿器能有效提高系统的稳定性并抑制谐振峰值。与双惯性环节校正效果相比，系统在加入二阶液压补偿器后的幅值裕度和相位裕度得到大幅度的提升，分别达到 54.8 dB和108°。

(3)加入二阶液压补偿器后，对于不同频率的正弦输入信号，系统最慢在0.12 s内达到稳态，最大稳态误差在3.7%以内。当系统输入为频率相同、幅值不同的方波信号时，系统达到稳态后的最大超调量为5.6%，输入幅值增大时，系统响应品质会降低。

(4)负载刚度相同时，液压弹簧刚度的改变导致系统超调量和稳态误差均发生变化，但系统上升时间都在0.32 s以内，最慢在0.86 s内达到稳态，稳态误差不大于0.09%。液压弹簧刚度相同时，在负载刚度远小于液压弹簧刚度的范围内，随着负载刚度的减小，系统响应速度变慢，稳态误差增大，系统品质变差。

(5)当液压缸活塞接近于行程终端位置时，与双惯性环节校正效果相比，系统在二阶液压补偿器作用下的上升时间、峰值时间和调整时间大幅度缩短，稳态误差减小，系统响应更快，动态性能更好。