“植树问题”中真实发生的数学思考

叶锦秀

【摘要】“植树问题”的教学内容是引导学生观察和发现全长与间距、间隔数与棵数之间的关系，通过具体的生活情境，培养学生探索解决问题有效方法的能力。林伟扬老师执教的这一课，整节课充满着观察、推理和交流等各种教学活动，让学生的数学思维充分活跃，然后再通过练习的变式和比较，让学生数学思想方法得到有效渗透的同时，思维得到发散，数学建模及应用能力得到提升，真正做到数学思考在真实发生。

【关键词】阅读与理解;习得方法;变式练习;数学思想方法

对于我这个教龄未满五年的雏儿来说，最为幸运的是教学生涯的开始就遇到了师傅林伟扬老师。林老师舒服可爱的课堂气氛，层层递进的课堂形态，散发着浓浓的“数学味”，这样的味道让初入行的我感受到了数学教学的温暖和魅力，也对数学有很深的向往。在学校期末的“名雁”展示课上，林老师在“植树问题”中扎实有效的知识建构，让我再次感受到了她对数学教学的执着和热爱。

“植树问题”是人教版五年级上册数学广角里的内容，“数学广角”并不是数学课程标准里规定的必学和必考的内容，它承载的责任也并不是“双基”的目标，它起于课标，且高于课标，它很好地体现了数学教学中最有价值的行为——数学思考。所以“植树问题”之于后知后觉类的学生而言，“想说爱你很不容易”。那在林老师的“植树问题”课堂上，又怎样让学生的数学思考真实发生呢？我从以下三点展开分析。

一、审题方式的优化：多种形式表征问题的本源

大多数人拿到文字，首先就是逐字逐句、一字不漏地先读几遍，如果看不懂了，那就再读几遍。所以对大多数人来说，“阅读与理解”是最简单的，也是最容易忽视的，可这样的解题效率不高，也容易抓不准关键信息。面对同一个需要解决的问题，不同的学生理解的层次也是不同的。对于数学广角类型的解决问题，阅读理解不但要能理解题目的关键信息，更要快速与旧知识搭建桥梁，快速地找到解决问题的策略，做好建模准备。如何过“审题关”？请看林老师的教学片段：

教师请全班读题获取数学信息：同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？

师：你们觉得在审题中，有什么要提醒大家的？

生1：每隔5m栽一棵（两端要栽）。

生2：我觉得“一边”也是很关键的词。

教师马上在板书上进行了标注。并提问：“每隔5m栽一棵（两端要栽）”是什么意思？

生1：每两棵树之间距离5m。

生2：5m一段路，这段路的两端都要栽一棵树。（生拿了把尺子作示意两端都要栽）

师介入：你们很厉害啊。是不是觉得用画图更容易理解？你们谁愿意来画一下？

生板演：

师点评：画得很清楚，一眼就看出了每两棵树之间距离5m，也可以说每两棵树之间的间隔5m。

師：那“一边”又是什么意思？

生：说明只种马路的一边。

林老师在这一环节的板书中通过“画横线”“画圈”对关键词进行标注，提高审题效率。林老师本着“以生为本”的教学理念，引导学生充分解读“每隔5m栽一棵（两端要栽）”，并且很机智地抓住学生的生成，恰当地激发了学生的画图需求。学生自发地用了物化的方法将抽象的信息直观化、简单化，也就是我们经常说的数形结合的方法（画简易图），为后面环节的建模做好准备。

二、习得方法的整合：让学生自发的产生数学思想方法的需要

“数学广角”承载着感悟重要的数学思想方法的目标。毋庸置疑，植树问题的数学思想方法在“分析与解答”环节中最能渗透。林老师根据她设计的模型主线——“猜想→探索→归纳推理→建模→应用”，不仅清晰和丰满，且更趋合理和富有魅力，让学生在已有的知识经验、思想与方法中，通过不断地猜想、探索，在“慢感悟”中明白道理。

请看教学片段1：

林老师一开始让学生猜一猜结果大概是几，学生一开始有猜想到答案是22，两端要栽，也有的猜21。

师问：为什么没人猜20？

生：两端都要栽，20肯定错了。

教师追问：那我们用什么方法来探究这个猜想到底正不正确呢？

生1：画图

教师补充：画图就是“数形结合”（教师马上板书）

生2：化繁为简

师：如何化繁为简？

生1：先看看10m可以栽几棵。

生2：我觉得应该简到5m。

师介入：那为什么不研究1m呢？1m不是更简单吗？

生补充：每隔5m种一棵，1m就没意思了，没办法研究。

师：你们这种化繁为简，简到极致，简得太有味道了。

在数学广角的思想方法教学中，学生可分为三层：A.能自发运用数学方法解题;B.听取他人想法能够唤起旧知从而理解;C.不知所云，但能通过一系列探索“后知后觉”。学生能主动把100进行化繁为简，他是属于A类，更说明林老师不但在这节课，在平时的课堂教学中也肯定时时刻刻渗透着数学思想方法。林老师本来预设评价：“你们的这种化繁为简，简得太有意义了”，而学生还未等老师说出口就说“太有味道了”。这样的课堂，这样的生成，教师与学生思维的碰撞这么的真实、有趣，我想，这大抵就是真实的数学味吧。

再看教学片段2：

林老师展示了一位学生探究20m长的路种树图：

听完学生的介绍后，师问：为什么你前面3幅图画了树，后面怎么画了线段图呢？

生：因为我觉得画线段图更简单方便。

师：一个点表示？

生：一个点表示一棵树，一段就是间隔长。就是点段点段点，最后是点。

师：这也就是我们数学上说的一一对应的数学思想方法。你太厉害了，有数学思维。从树图到线段图的过程就是抽象的过程啊！那根据他的图同学们有什么发现？

生1：我发现一个5m种2棵树，2个5m种3棵树，3个5m种4棵树，4个5m种5棵树。

生2：算出间隔数是x，x+1就是树的棵数。

生3：也可以说算出n，n+1就是点数，点数也就是我们的棵树。

师：你归纳得太好了。[教师板书：点（棵树）=段（间隔数）+1]

教师追问：好的，基本模型你们已经找到了，那这个间隔数怎么算呢？

生：我们看这个20m的，就是求20里面有几个5，用除法计算：20÷5=4。

所以有4个间隔，4+1=5，可以種5棵树。

师：直接用二年级的除法知识解决了这道题目！真棒！所以全场100m怎么种树，对于你们来说就很简单了吧？

林老师选取了典型的作品，从学生的角度出发进行分析，让学生告诉学生怎么画图、怎么分析、怎么归纳。树图到线段图就是抽象的过程，树就相当于点，两棵树之间的距离就是段，点段点段……在学生质朴的语言中渗透什么是一一对应思想。甚至在如何求得间隔数的环节，学生竟然能说出来，把新知识转化成旧知识，植树问题的本质就是二年级学习的“包含除”。而学生在自己分析的过程中为了表达更简单准确，也自发地产生了探究需求——公式，用x、n表示间隔数，也就是符号化思想，中学称之为函数思想，为六年级的“数学思考”研究方法打下坚实的基础。所以，我想，一堂数学思考在真实发生的数学课，不仅是让学生会解“植树问题”，也不仅是让学生建成功建模，而是让学生在整个建模的过程中从内心深处感受建模思想的需要。这样的课堂，不但学生习得了知识和方法，与此同时，也成就了教师的成长。

三、练习方式的改变：让数学思想从“有”变得“更有”

对于我们很多的教师而言，巩固新课时最好的方法就是课本的“做一做”，然后就是后面相应的练习题，做完，分析好，这个内容就结束了。而林老师对于植树问题练习的变式，却很好地避免了“低层次重复研究”的泥潭。

1.想一想，填一填

幸福村要在一条1000米长的公路一旁种植香樟树，每隔10米栽一棵（两端都共要栽），一共要栽多少棵香樟树？

我可以先选一个简单的数（ ）米，画图看一看。

两端要栽，所以可以这样画图（）。

我选的（ ）米中，有（ ）个间隔，栽树是（ ）棵。

1000中共有（ ）个间隔，两端都栽，所以一共要栽（ ）棵。

2.画一画，写一写

在下面不同的路线上均匀植树，一共植5棵树，请按照要求画出5棵树（画点表示一棵树），然后写出棵树与间隔数的关系。

（1）两端都栽：

棵树与间隔数关系是（ ）

（2）一端栽另一端不栽：

棵树与间隔数关系是（ ）

（3）在圆形花坛周围栽：

棵树与间隔数关系是（ ）

如果把“建模”当作是一节课的终极目标，那我们的目标就仅仅停留在技能与方法上了。我们的教学目标应该定位让学生在整个建模的过程中从内心深处感受建模思想的需要，建模不过就是手段、是过程罢了。林老师通过这样的变式练习，让学生更加感受到数学思想方法的需要。当然，我们不可能让每一个学生都在这节课上思想爆棚，而是让学生在已有的基础上对数学“更有”成功的喜悦，“更有”用数学眼光分析生活现象的意识，“更有”数学思想来支撑，让“有”变得“更有”。

数学课就像是一部连续剧，所有剧情都是连在一起的，少了哪一集都不行，三年级的知识连着四年级，四年级的知识连着五年级，课中渗透的数学方法也是如此。铺垫到位，学生的脑海里就能浮出之前习得的经验。当然这不是这样一节“植树问题”的课就能解决的，而是通过长期的努力和积淀。或许一节课过去了，好像孩子们的脑子里什么方法都没有掌握，但是这种似有似无的“留白”，其实是一种酵素，终于有一天会在需要的时候浮现出来的。

让我们一起努力吧，关注数学思考的真实发生，给学生一节有“根”的数学课。

【参考文献】

[1]陈登连.问课哪得精如许，为有正宗活起来——听俞正强老师“植树问题”一课的思考[J].小学数学教育，2015（7）：142-143.

[2]贲友林.此案与彼岸Ⅱ[M].江苏;江苏凤凰教育出版社，2015：154-155.

[3]吴成业.“数学广角”中的数学思想方法挖掘——以《植树问题》教学为例[J].教育研究与评论（小学教育教学），2017（9）：80-82

[4]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2012：3-10.