入乎其内 出乎其外

缪素平

[摘 要]累积经验是学生数学素养发展的必然路径。从数学活动经验的内涵特征入手，在课堂教学中有效落实“活动经验目标”，引领学生在数学活动中积累有效的活动经验，真正建立自己的经验系统，建构属于自己的知识结构，提升自身的数学素养。

[关键词]数学活动经验;内涵特征;方法策略

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）17-0001-03

数学活动经验，不像具体知识那样“看得见、摸得着”，它是一种认识，是个体对自己以往经历的数学活动在认知方面自觉或不自觉的感性概括，是通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。这种认识包括感性知识、情绪体验和应用意识。数学活动经验具有以下特性：

自我性。对于同一个数学活动，即使外部条件相同，每一个学生仍然可能有不同的理解，所获得的数学活动经验也就有所不同，有的较为清晰，有的较为模糊;有的较为丰富，有的较为单一。数学活动经验是属于学习者个人的，隐藏在学习者个人的内心深处，是个性化的。学生参与到教师创设的情境或者生活实际中，在经历数学活动的过程中亲身体验，才能真正地“接受”相应的经验，完成经验累积的过程。数学活动经验是基于学生主体的，属于特定的学习者自己。因此，数学活动经验具有主体性和自我性。

实践性。数学活动经验离不开实践活动，实践活动是经验产生的源泉。只有亲身经历、体验数学活动，学习者才能形成数学活动经验。离开了实践活动就不能形成有意义的数学活动经验。教学中，教师应引导学生探究、思考、预测、推理、抽象、反思，让学生在实践中积累数学活动经验。例如，学习“千克”这个知识时，可让学生亲自到超市、商店等地方去体验物品的“千克”，感受物品的轻重。

动态性。数学活动经验能够反映学生在特定学习环境中或某一学习阶段对学习对象的一种经验认识是感性的、非严格性的。与形式化的数学知识相比，它缺乏明晰的结构体系，既没有明确的逻辑起点，也没有明确的逻辑结构，是隐性的和个性化的。随着学习内容的深入，获得的活动经验也不断变化、不断发展，是动态的、可变的。由于学生个体之间的差异较大，那些没有经过加工的“原始经验”，含有许多主观的、片面的非本质因素，在学习过程中也是可变的。比如，在学习“角的认识”之前，学生在生活中经常接触到“角”，他们认为 “角落”那里尖尖的部分就是“角”，这是学生形成的角的初步经验，含有主观的、片面的非本质因素。等学习了“角”之后，学生才完善、修正对“角”的认识，真正建立角的概念：从一点引出的两条射线所组成的图形。

“入乎其内，故有生气。出乎其外，故有高致。”（王国维《人间词话》）“入”指观察、实践，“出”指得道、总结。同理，学生只有充分参与数学实践活动，经历知识的发生发展过程，才能积累厚实的活动经验。反思目前的课堂教学，发现教师往往不重视学生数学学习过程本身，忽略了促使学生生动活泼地学习和发展的长效性目标。学生学习的经验主要被解题的经验所替代，数学活动经验单一和不足已是一个不争的事实，学生的数学素养并没有得到真正的提高。“活动经验目标”是否能持续健康地向前推进，决定着课程是否能有进一步发展。

一、活动孕伏，延续经验

数学知识的系统性，决定了数学活动经验的积累是一个循序渐进的过程。学生学习数学需要有一个意义建构的过程，这一过程以原有经验为基础，又通常是从操作性的活动开始的，并且所建构的意义最终以经验的形态储存在学生的大脑中，就如陶行知所做的比喻：“我们要有自己的经验做根，以这经验所发生的知识做枝，然后别人的知识才能接得上去，别人的知识方能成为我们知识的一个有机体部分。”教师要抓住时机，做好前期的铺设，并以此为契机引领学生展开新知探究活动。在这过程中，教师要善于抓住学生经验的生长点，在合适的时机开展数学活动。

如教学四年级“平行四边形的认识”时，可引导学生动手操作，通过分一分、画一画、剪拼组合等活动方式，将平行四边形剪拼后转化成其他平面图形。学生在操作活动中积累了剪拼平行四边形的经验，初步感知了转化思想。到了五年级学习“平行四边形的面积”时，学生四年级积累的剪拼平面图形的经验就成了推导面积公式的桥梁，也是学生思维获得突破的有效途径。后续推导三角形、梯形的面积公式时，学生就能够自觉利用已有的活动经验，自主使用剪拼法将其“转化”，从而顺理成章地进行推导。

作为数学教师，应该站在系统的高度整体地看待数学活动经验的积累和运用，寻求知识经验形成的前因后果，让各类活动经验呈一贯性和连续性。学习中，善于抓住學生前期学习中蕴含的经验“生长点”，适时组织学生开展数学活动。

二、操作体验，积累经验

数学活动经验的积累，离不开丰富的数学体验。但在教学中，教师往往会忽略体验的有序性，要么让学生自由体验，要么一手包办，直接替代学生的体验，导致数学活动可有可无，学生的数学活动也支离破碎，杂乱低效。因此，教师要增强数学活动的规划意识，对数学活动进行整体规划和组织，选准展开点，使学生的数学活动经验自然生长。

【教学片段1】厘米的认识

师：请从学具盒中找出1厘米长的小棒，将其放在左手大拇指与食指之间，然后拿掉小棒，手指不要动，看一看1厘米有多长。闭上眼睛，想一想1厘米有多长，再伸手比画1厘米的长度，并用小棒去验证一下，看看比画得准不准。（学生活动，交流）

师：现在把1厘米的长度记在脑子里，并从信封里摸出一个1厘米长的物体。（学生有的摸出一枚1厘米长的钉子;有的摸出棱长为1厘米的正方体;有的摸出火柴盒，并指出它的高是1厘米……）

师：在你的生活中，哪些物体的长大约也是1厘米？

生：语文书的厚度;硬币的宽度;玉米粒的长度……

师（出示铅笔、橡皮、小棒等物品）：你能估一估这些物体大约长几厘米吗？

（学生估完后，用尺验证，修正自己的厘米“经验”）

通过做一做、看一看、记一记、比一比、量一量，能够化静态为动态，化抽象为具体，新知在学生的体验中已经呼之欲出。实验活动时，只有保证学生思维的连贯性和科学性，学生才能拓展视野，拓宽思路，全方位、多角度地获取多样化的信息，积累丰富的数学活动经验。

三、问题质疑，完善经验

数学活动经验的激活，来自于教师的有效引导。根据建构主义理论，学习者的知识建构需要触发经验激活点。教师要设置有效问题，引导学生自主质疑、主动探究，使数学活动更有针对性，也更具思维含量，完善学生的活动经验。

【教学片段2】平面图形的面积关系

师（出示三角形和梯形，引导学生写出面积公式：S=ah÷2和S=（a+b）h÷2）：请大家仔细观察这两个公式，能发现什么？

生1：这两个图形的面积公式都是用底乘以高再除以2。

生2：三角形只有一个底，梯形有两个底。

师：它们之间有没有联系呢？（电脑演示：梯形的上底渐渐缩短）

生3：当梯形的上底缩至0时，就变成了三角形。如果还用梯形的面积公式计算面积，就是S=（a+0）h÷2，也就变成了S=ah÷2，所以，三角形的面积公式也可以从梯形的面积公式推导而来。

师：由此，又能想到什么呢？

生4：长方形和平行四边形的面积公式是不是也可以由梯形的面积公式推导而来呢？

出示：

（学生的提问其实是创造了一种新的法则：任何三角形及规则的四边形的面积都等于上下底之和与高的乘积的一半）

教师引得巧妙、导得合理，学生就会不断提出问题和解决问题，沟通平面图形面积计算之间的联系，构建知识系统，完善面积公式推导的经验。同时，学生还能学会从“高处”、从整体且有条理、完整地分析平面图形的面积计算，让“书越读越薄”。

问题质疑中，学生已有的活动经验不断被激活，本来有缺陷或有漏洞的经验逐渐被修正，粗糙的经验渐渐趋于精致，浅层次的经验获得了有效提升，新生成的数学活动经验很自然地嵌入学生的经验系统里。在问题的驱动下，主动的行为参与，自觉的思维参与，使学生的数学活动经验得到生长。

四、反思交流，总结经验

每个学生在活动中都是以自己的方式理解数学的。因而，要想突破个人数学活动经验的局限性，一个根本的方法是给学生提供“合作交流”的平台，促进个人经验的交流与融合，实现对个人经验的优化和内化。这样的合作交流，既能丰富活动经验的理性意义，又能提高学生自主积累经验的能力。可以说，反思交流提升了活动经验的理性品质，加速了其内化为个体数学素养一部分的进程，提炼了数学活动经验的“内化点”。在教学实践中，通过合作交流旨在完成对个体活动经验的 “四个提升”：把感性的经验逐步理性化，把模糊的经验逐步明晰化，把松散的经验逐步结构化，把知识型的经验逐步策略化。

【教学片段3】平行四边形的面积计算的总结

师：这节课我们探讨了平行四边形面积的计算公式，回忆一下，我们是怎样研究的，中间有没有遇到哪些困难，又是怎样克服的？

生1：我一开始是用数方格的方法计算面积，但太繁杂了，后来就觉得应该研究更简便的方法。

生2：我一眼就能看出“从平行四边形中剪下一个三角形，平移到另一边，就能转化成长方形”。这样通过长方形面积公式推出平行四边形面积公式就方便多了。

生3：只要沿着高剪开就能将平行四边形转化为长方形，所以不一定是剪三角形，也可以剪梯形。

生4：我把平行四邊形转化成长方形后，在比较两个图形的联系时，误以为长方形的长和宽分别对应平行四边形的两条邻边，后来在同桌的帮助下发现了错误。原来长方形的长和宽分别相当于平行四边形的底和高，看来以后学习中还是要细心观察。

师（利用课件再次回顾将平行四边形转化成长方形的过程）：下节课我们将学习三角形的面积计算，你准备怎么研究？（该问题就是将本节课学生积累的数学活动经验进行提炼、推广）

课堂上，引导学生对数学的理解从量的积累到“质”的飞跃，这种经历生成的经验才是最经典的。同时，越是复杂的数学活动越需要有积极的情感和意志相伴，这种体验性成分也是学生数学活动经验不可或缺的组成部分，它对于学生良好人格的塑造具有不可替代的作用。

五、应用拓展，升华经验

积累数学活动经验是数学教学的目标，也是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果，这个过程不是一蹴而就的，也不会一帆风顺，需要在做和思考的过程中不断磨砺、慢慢积淀、逐步积累、渐渐深化。因此，在教学中，教师要让学生自觉应用所学知识解决各种问题，升华经验，从而打磨数学活动经验的“深化点”。学生只有参与了多样化的数学活动，其前期积累的数学活动经验才能在经过多次调用和加工后逐渐内化为概括性更强的经验，进而真正达到理性的领悟，更有效地推广到同类问题的解决中去。

【教学片段4】三角形的面积计算

师：推导平行四边形和三角形的面积公式，都是应用了转化的方法，把还没有学过面积公式的图形转化为已经能求面积的图形。在推导三角形面积公式时，我们用了两个相同的三角形拼成一个平行四边形，然后推导出三角形的面积公式。

师（出示一个三角形）：能不能将一个三角形转化成我们学过的图形？请大家动手试一试。

学生展示多种转化方法：

（学生通过比较三角形和转化后的图形，再次探索三角形的面积公式）

数学活动经验既是数学学习的产物，也是学生进一步认识和实践的基础。在学生积累了丰富的数学活动经验后，引导学生应用经验解决问题，能够累积新的数学经验，使浅层次的活动经验向较高层次的活动经验转化，激发学生的创造潜能，培养学生的创新意识。

“入乎其内， 出乎其外”，“入”是长期累积，“出”是质的飞跃。因此，教师要引导学生探索多种方法、策略，以 “入乎其内”的体验学习为基本载体，以 “出乎其外”的经验感悟为学习目标，用内心的创造与体验来学习数学，只有这样，学生才能“心中悟出始知深”，真正建立自己的经验系统，建构属于自己的知识结构，提升数学素养。

（责编 金 铃）