理解结构 建立模型 解决问题

孙祝华

[摘 要]解决数学实际问题是学生在小学阶段的重要学习任务之一。以“比一个数多（少）几的实际问题”教学片段为例，通过解决数学问题来提升学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

[关键词]理解结构;建立模型;解决问题;思维能力

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）17-0018-03

课程标准提出：“使学生能够解释和掌握所学知识，并且能够运用这些知识去解决日常生活和生产劳动的一些实际问题。”解决数学问题能让学生学会理解和分析数学信息，联系并运用已学的数学问题、数学思想、数学技巧来找到解决实际问题的方法。

下面以“比一个数多（少）几的实际问题”教学片段为例进行论述。

【教学片段1】复习两个数相差多少的实际问题并用图片展示（图略），让学生用学过的知识比一比、说一说。

生1：圆形比三角形多6个，列式：13-7=6。

师：说说算式13-7=6的意义和其中每个数表示的意思。

生2：这里减去的7是指7个三角形。

师：这里减去的7表示的是圆形里面与三角形个数相等的7个。

【教学片段2】题目“小英有11朵花，小华比小英多3朵，小华有多少朵花？请用圆片和三角形摆一摆。”

师（在学生一眼就看出小华有14朵后）：如果没有圆片和三角形怎么办？

生1：可以列式 11+3=14。

师（指着11+3=14）：说说每个数表示什么意思。

生2：这11是小英的11朵。

（虽然教师多次纠正学生的错误，指出这11是小华和小英同样多的11朵，但是收效甚微，在下一个环节——学习“比一个数少几”的问题时，学生依旧犯了同样的错误。）

（整节课学生就纠结在了“此11朵非彼11朵”的意义理解里，学生在“绕口令”一样的算理中似乎知道了“比一个数多几用加法计算，比一个数少几用减法计算”，但有没有真正理解这类数学问题的本质就要打上问号了。）

思考：学生能够发现小华的朵数是在与小英的朵数比较，但在摆的过程中只是直觉感知14朵是比11朵多3朵，所以就自动认为这11朵就是条件告知的小英的11朵了，没有真正理解小英的11朵是标准量，小华的朵数是比较量，比较量应该分成两部分：一部分是和标准量同样多的部分，另一部分是比标准量多的部分。而理解“和标准同样多的部分”对低年级学生来说是有一定的困难的，于是就出现了把上面小英的11朵拿来“张冠李戴”的现象，这归根结底是学生没有厘清这类数学问题的基本结构。

策略：解决数学问题一直是数学教学改革的聚焦点之一，专家对此的研究很多，而一线教师则希望这些理念和方法更具有操作性，从而培养学生“解决问题”的核心素养。在解决“求比一个数多（少）几”的实际问题之前，学生已经有了解决“两数相差多少”的实际问题的基础，因此可以采用“螺旋上升”的教学方式，让学生的思维代替简单的重复，用深刻的思维模式达成简约明快的教学结果，解决上述教学片段中出现的教学问题。

【重新设计教学】

一、唤醒旧知

1.唤起比较的有效操作

师（出示一堆圆片和一堆三角形）：这里有两堆图片，怎样看一眼就知道三角形和圆片谁多谁少？多几个？还是少几个？

生1：可以摆一摆，一个三角形对齐一个圆片。

生2：摆完后就能一眼看出谁多谁少了。

（让一名学生上台摆一摆）

2.直观感知○和△的关系

师：从摆好的图中你知道了什么？你是怎么知道○比△多6个的？

3.理解标准量和比较量的关系

师：说一说○可以分成哪两部分？（教师用虚线画出）

生1：7个△和6个○。

师：7个△是圆吗？

生2：7个○和6个○。

师：7个○和上面的7个△比，能发现什么？也可以说成7个○和7个△怎么样？（同样多）6个○是比谁多的部分？谁来完整地说说○可以分成哪两部分？

生3：○可以分成7个和△同样多的○和比△多的6个○。

（教师指名几个学生说一说）

4.专项练：说说比较量可以分成哪两部分

师：谁多？多的可以分成哪两部分？

二、理解结构

出示：

师：从图中能知道什么？要求什么？

师（出示题目：红花有11朵，黄花比红花多3朵，黄花有多少朵？）：谁和谁比？谁多谁少？求多的数还是少的数？多的数怎么求？把哪两部分合起来？

师：算式怎么列？

生1：11+3=14。

师：11、3分别表示什么？如果红花变成30朵，黄花比红花多15朵，也这样摆一摆吗？（学生表示这样做太麻烦了）

师：我给你们介绍一个学习好帮手——纸条图。

师：（1）先摆放哪种花的纸条图？（2）黄花的纸条图和红花的纸条图相比，你觉得是长还是短？为什么？（3）如果把黄花的纸条图分成两部分，你觉得是哪两部分？怎么摆？

师：看着摆好的纸条图说一说黄花的数量怎么求。

生2：把黄花和红花（标准量）同样多的部分和比红花（标准量）多的部分合起來。

师：看着纸条图说说思路，对于算式“30+15=45（朵）”，分别说说30、15分别表示什么。

师：如果没有纸条图，你能在脑海中想出纸条图的摆放方式吗？

师：请你在头脑中想象黄花的朵数是把哪两部分合起来。

三、建立模型

出示练习题：

白兔有15只，灰兔比白兔多5只，灰兔有多少只？

（1）让学生在头脑中想象条形图。

（2）提问：怎么求灰兔的只数？也就是大数怎么求？

[板书：    和标准量同样多的部分  +    比标准量多的部分] [大数]

【反思】

一、构建桥梁，提升认知结构

学习本节课内容之前，学生已有的知识经验是会解决“求一个数比另一个数多（少）几”的实际问题，也就是“已知两个数的大小，进行比较，求出两数相差多少”的实际问题。其中从“大数中去掉和小数同样多的部分”也就是从大数中去掉和标准量同样多的部分是解决这类数学问题的核心，同时这又是解决“求一个数多（少）几”的实际问题的基础。教师通过“唤起比较”的有效操作，让学生不仅回忆了旧知，而且构建了走向新知的桥梁;接着通过直观感知○和△的关系，让学生明确这两个量中，一个是标准量，一个是和它进行比较的，是比较量;在初步建立标准量和比较量的相对概念后，再让学生把比较量分成两部分，即标准量和比标准量多的部分。通过观察实物图，学生能清晰地感知：求多的数就是把两部分合起来，这两部分就是和标准量同样多的部分和比标准量多的部分。这样就通过构建桥梁让学生基于已有的旧知和经验逐渐生成新知。虽然这是两类不同的解决问题类型，但是都属于“两数之间比较”的问题范畴，而且符合学生螺旋上升的认知结构。心理学研究表明：学生的认知结构就是一个不断生成、不断扩充、不断完善的进行时结构，让学生的大脑不断搜索，从杂乱无章的知识储备中寻找已有的旧知基础，通过桥梁作用，从已知探索未知，就能帮助学生的思维从零乱走向有序，从局部走向整体，努力让学生做到用发展（生成）代替简单重复，不断完善学生的认知结构。

二、数形结合，理解问题结构

小学生的思维是从简单、具体的形象逐步向复杂、抽象的概括发展的过程，要让学生的思维不断深刻和深入，教师就要想办法让学生逐步摆脱实物和操作活动：先借助数和图形的有机结合，让学生从纷繁杂乱的物体、颜色、形状等干扰中走出来，知道“已知什么，要求什么”，从而理解这类问题的基本结构;接着把数据改大，让学生觉得继续用摆一摆的方法太麻烦，从而水到渠成地介绍如何用纸条图来解决问题。为了让学生把纸条图和数据对应起来，教师还要让学生深入思考：①先摆放哪种花的纸条图（已知红花30朵）？②黄花的纸条图和红花的纸条图相比，你觉得是长还是短？为什么？③如果把黄花的纸条图分成两部分，你觉得是哪两部分？怎么摆？这样，数量的多少与图形的长短形成了一一对应关系，纸条图之间的组合方式和它们之间的数量关系也建立了一一對应关系，学生的思维很快就在简单具体的红花、黄花的比较事件中逐渐淡化，转移到两条纸条图相应数据对比的数学问题中来。这时，学生的具象思维逐渐向表象思维发展，通过想象“黄花的朵数是把哪两部分合起来？”进一步抽象概括，学生就能理解这类问题的结构，即和标准量同样多的部分和多的部分合起来就是大数，建立解决这类问题的初步模型。

三、建立模型，完善整体结构

在学生的思维从简单走向深刻，从具象逐步向表象发展时，教师还应帮助学生建立解决实际问题的模型，不断让学生有意无意地把数学知识系统化、结构化和整体化，既让学生在探索中学习和成长，又让学生形成自主探索、总结归纳的学习方法。

在练习板块中，教师出示题目后不摆纸条图了，直接让学生在头脑中想象纸条图及对应的数据，这无疑提高了思维的难度和抽象性，迫使一部分学生产生用数学模型来解决这类问题的需求，所以有学生直接说出了“和标准量同样多的部分+比标准量多的部分=要求的大数”这样的初步数学模型。教师通过板书，把数学模型再进一步结构化，并由此推出求小数的数学模型;接着让学生看到题目后首先判断是求大数还是小数，大数怎么求（说出数学模型），小数怎么求（说出数学模型）;最后引导学生将其和已学的“求相差问题”进行比较，对如何解决已学的相差问题也建立数学模型，把它们都整合到“两数比多少问题”这一类解决问题中来，完善这类问题的知识结构，学生以后看到这类问题就会自觉地将其归为一类，并用数学模型来解决。

综上，解决实际问题的教学，应引导学生用全局的观念、整体的结构进行分析和思考，通过联系前后知识，弄清知识结构间的内在脉络;从低年级开始逐步引入纸条图模式来帮助学生解决问题，为以后进一步学习“两数之间的倍数关系”问题和“两数之间的分数（小数）关系”问题做铺垫。学生初步学会建立数学模型后，认识将不断发展，思维将不断深入和深刻，学生的认知将从局部性的“生成性认识”逐步向整体性的“结构性认识”模式发展。

（责编 金 铃）