夫琅禾费光栅衍射的MATLAB仿真及分析

曾建华，彭亦平，赖徽媛，桑志文，常山

(1.上饶师范学院物理与电子信息学院，江西上饶334001;2.上饶师范学院外国语学院，江西上饶334001)

光的干涉与衍射揭示了光的波动性，是光学课程中的重点和难点。光栅衍射是波动光学中的重要现象，涉及到单缝衍射与多缝干涉，其呈现的总效果为各单缝衍射基础上的多缝干涉［1-2］。光栅衍射条纹受入射光波长、总缝数、单缝宽度、光栅常数、透镜焦距等多种因素的影响，谱线特征变化也很丰富。表现在主极大、次极大的产生，谱线强度及衍射角的变化，主极大的缺级，复色光入射时光栅光谱的产生及条纹越级现象等［3-14］。光栅光谱的产生机理、物理特征和强度分布规律等非常复杂，传统的光学演示实验对实验环境要求苛刻，教室中能做的极为有限，此外，实验中光栅衍射所有谱线特征也难以得到充分展示，因此，学生理解、掌握这部分内容还是有一定的难度。

本文运用MATLAB软件编程［15-16］，通过改变光栅衍射中的缝数N、缝宽b、光栅常数d、透镜焦距f和光波波长λ等参数，得到了半角宽度、主极大条纹间距、衍射谱线锐度等随这些参数改变的变化规律，这些变化体现在光强分布曲线和衍射图样的变化中;同时也探究了光栅衍射中的缺级现象。应用计算机技术对薄膜干涉［17］、光栅衍射等光学现象进行仿真演示，能形象、直观地展示和阐释光学过程及其变化规律，这有助于激发学生的学习兴趣，也能辅助教师的理论和实验教学，最终促进学生对知识点的理解和掌握。

1 光栅衍射原理

具有空间周期性的衍射屏就可以称为衍射光栅。衍射现象通常分为两类:菲涅耳衍射(近场衍射)与夫琅禾费衍射(远场衍射)。由于菲涅耳衍射的计算难度大、夫琅和费衍射的计算相对简便［18］，教材中通常都只讨论夫琅和费光栅衍射。本文应用MATLAB软件也只是仿真、分析了夫琅禾费光栅衍射现象，实验光路如图1(a)所示。S为与纸面垂直的线光源，它位于透镜L1的焦平面上，屏幕放在透镜L2的焦平面上。设透射光栅有N条狭缝，透光部分宽度(即缝宽)为b，不透光部分(即挡光部分)宽度为a，则光栅常数为d=a+b，θ为衍射角，f为透镜焦距。

光栅光谱的光强分布为［1］:

其中

b为缝宽，d为缝间距(即光栅常数)。式(1)包含了两部分:第一部分为多缝干涉因子，所以光栅衍射可以认为是单缝衍射与缝间干涉共同作用、多缝干涉被单缝衍射调制而成的结果。

2 MATLAB模拟光栅衍射的程序代码

基于式(1)采用MATLAB编写了光栅衍射程序，运行后可以生成光栅衍射的光强分布和衍射图样。主程序中设置5个变化参数，分别为缝数N、缝宽b、光栅常数d、透镜焦距f、光波波长lamda(即λ)。xs表示图1(a)中的P点到O的距离。为便于书写，程序中输入N=5，b=0.001 mm，d=0.005 mm，f=70 mm，λ =632.8×10－6mm，在接收屏上选1 000个点。主程序代码如图1(b)所示。

图1 夫琅禾费光栅衍射光路图(a)和MATLAB主程序代码(b)

3 光栅衍射的MATLAB仿真结果分析

在MATLAB仿真计算中，通过改变缝数N、缝宽b、光栅常数d、透镜焦距f、光波波长λ，研究了光栅衍射图样和光强分布随这些参数的变化，并探究了光栅衍射中的缺级现象。

3.1 缝数N对光栅衍射的影响

选定缝宽 b=0.001 mm、光栅常数 d=0.002 5 mm、透镜焦距 f=70 mm、光波波长λ =632.8 nm，改变缝数N，得到光栅衍射的光强分布和图样的变化情况，如图2所示。可以看出，随着缝数N的增大，亮条纹由宽变细，这个变化决定于半角宽度Δθ的定义［1］:

缝数N增大使半角宽度Δθ变小，但在变化中条纹位置不变。图2中还能看到相邻主极大之间有N－1条暗纹和N－2条次极大。光强分布曲线中也显示了单缝衍射的痕迹，曲线的包络和单缝衍射强度曲线的形状相同。

3.2 缝宽b对光栅衍射的影响

选定缝数N=5、光栅常数d=0.01 mm、透镜焦距f=70 mm、光波波长λ=632.8 nm，改变缝宽b并一直保持光栅常数d=b+a=0.01 mm的值不变，得到光栅衍射的光强分布和图样的变化情况，如图3所示。图3中表明缝宽b的变化对光栅衍射影响较大，缝宽b增大，能明显观察到的亮条纹减少，当缝宽b=0.009 mm时只剩下了一条明显的亮条纹。这是由于主极大的强度随缝宽b增大而降低得很快导致的。图3中还能看到主极大的位置、条纹间距和半角宽度没有变。

图2 光栅衍射随缝数N的变化

图3 光栅衍射随缝宽b的变化

3.3 光栅常数d对光栅衍射的影响

选定缝数N=5、缝宽b=0.01 mm、透镜焦距f=70 mm、光波波长λ=632.8 nm，通过改变挡光部分a的值来改变光栅常数d，得到光栅衍射的光强分布和图样的变化情况，如图4所示。随着光栅常数d的增大，主极大的半角宽度及主极大条纹间距减小，它逐渐向中央亮纹靠拢，亮条纹数目变多，出现了更密集的主极大;衍射谱线变窄，锐度变好。通过式(4)也可推断半角宽度Δθ与光栅常数d成反比，所以能观察到图4中的这些现象。

3.4 透镜焦距f对光栅衍射的影响

选定缝数N=5、缝宽b=0.001 mm、光栅常数d=0.002 5 mm、光波波长λ =632.8 nm，改变透镜焦距f，得到光栅衍射的光强分布和图样的变化情况，如图5所示。根据公式［1］:

可知透镜焦距的变化会改变衍射角的正弦值，从而会改变条纹的位置、半角宽度。从图5中可以看出，随着透镜焦距f的增大，主极大亮线的半角宽度也增大，主极大亮纹变宽，次极大的线宽变大，条纹亮度更强，但锐度更差，主极大的位置逐渐远离中央亮纹。

3.5 光波波长λ对光栅衍射的影响

选定缝数N=5、缝宽b=0.001 mm、光栅常数d=0.002 5 mm、透镜焦距f=70 mm，改变光波波长λ，得到光栅衍射的光强分布和图样的变化情况，如图6所示。根据式(4)可知，半角宽度Δθ与λ成正比，所以从图6中能看到随着波长λ增大，主极大条纹变宽，相邻主极大条纹间距增大，主极大条纹向两侧移动。

图4 光栅衍射随光栅常数d的变化

图5 光栅衍射随透镜焦距f的变化

3.6 缺级现象的仿真

选定缝数N=5、透镜焦距f=70 mm、光波波长λ =632.8 nm，缝宽b固定为0.001 mm，接着使光栅常数与缝宽的比值为整数，并通过光栅常数的变化改变这个整数比，仿真探究光栅衍射的缺级现象，如图7所示。当θ角位置同时满足下列关系［1］:

即:

时，应出现某k级明条纹的位置，实际上却是暗条纹，k级明条纹不出现，这种现象就称为缺级现象。在图7中，分别在(a)图的 ±2、±4、… ，(b)图的 ±3、±6、… ，(c)图的 ±4、±8、… ，(d)图的 ±5、±10、…等级数位置出现了缺级现象。

图6 光栅衍射随光波波长λ的变化

图7 缺级现象的仿真

4 结论

根据光栅光谱的关系式，采用MATLAB编写了光栅衍射仿真程序，运行后得到了夫琅禾费光栅衍射的光强分布和衍射图样，研究了夫琅禾费光栅衍射随缝数N、缝宽b、光栅常数d、透镜焦距f和光波波长λ的变化规律。缝数增大，半角宽度Δθ变小，亮条纹由宽变细，但条纹位置不变;缝宽b增大，能明显观察到的亮条纹减少，但主极大的位置、条纹间距和半角宽度没有变;光栅常数d增大，主极大的半角宽度及条纹间距减小，它逐渐向中央亮纹靠拢，衍射谱线变窄，锐度变好;透镜焦距f增大，主极大亮线的半角宽度也增大，主极大亮纹变宽，次极大的线宽变大，条纹亮度更强，但锐度更差，主极大的位置逐渐远离中央亮纹;波长λ增大，主极大条纹变宽，相邻主极大条纹间距增大，主极大条纹向两侧移动。当光栅常数d与缝宽b的比值为整数时，能观察到光栅衍射中的缺级现象。运用MATLAB编程仿真、研究夫琅禾费光栅衍射，克服了实验条件苛刻的限制，形象、直观地展示了光栅衍射的变化规律，这对辅助教师教学、提高学生学习效果等方面具有重要作用。